分式新題型

肖冬云

隨著課改的進(jìn)一步推進(jìn)，近年來中考試題中出現(xiàn)了不少新題型.命題者往往給出一些新情境，設(shè)置一些新問題，要求同學(xué)們充分發(fā)揮閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力解答試題，全面考查同學(xué)們的綜合素質(zhì)，這些試題已成為中考試題中一道亮麗的風(fēng)景線.本題以與分式有關(guān)的創(chuàng)新題為例加以分析，希望對讀者有所啟發(fā).

一、規(guī)律探究型

例1（2007年·杭州市）給定下面一列分式：，-，，，…（其中x ≠ 0）

（1） 把任意一個分式除以前面一個分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（2） 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的這列分式中的第7個分式.

解析：（1） 規(guī)律是任意一個分式除以前面一個分式恒等于 -.

（2） 第7個分式應(yīng)該是 .

例2（2007年·邵陽市）觀察下列等式：

=1-，=-，=-.

將以上3個等式兩邊分別相加得

++

=1-+-+-

=1-

=．

（1） 猜想并寫出： = ．

（2） 直接寫出下列各式的計算結(jié)果：

①+++…+=；

②+++…+=．

（3）探究并計算：+++…+.

解析：（1）=-.

（2） ①+++…+=.

②+++…+=.

（3）+++…+

=

-

+

-

+…+

-

=

-

+

-

+…+

-

=

-

=.

評注：這是一個集計算、分析、歸納、猜想于一體的歸納型探索題，此類問題的設(shè)置有利于考查創(chuàng)新意識和獨立解決問題的能力，有助于引導(dǎo)同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行自覺的探索，有助于提高同學(xué)們的合情推理能力．

二、錯例辨析型

例3（2007年·煙臺市）有一道題：先化簡，再求值：

+

÷，其中“x=-”．小亮同學(xué)做題時把“x=-”錯抄成了“x=”，但他的計算結(jié)果卻是正確的，請你解釋這是怎么回事．

解析：原式 ＝ ×（x2-9）

=x2+9.

當(dāng)x=-或x=時，x2 ＋ 9都是2 016.

評注：本題通過錯例讓同學(xué)們養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣，通過反思形成對數(shù)學(xué)問題的正確認(rèn)識.

三、開放求值型

例4（2007年·大連市旅順口區(qū)）先化簡代數(shù)式÷-1，然后選擇一個使原式有意義的a、b值代入求值.

解析：÷-1

=·-1

= -

=

= .

當(dāng)a=1，b=0時，原式 = =0.

評注：本題答案不唯一，主要考查分式的意義、分式的混合運(yùn)算.在對a、b取值時要考慮到題中分式是否有意義.

四、逆向思考型

例5（2007年·嘉興市）解答一個問題后，將結(jié)論作為條件之一，提出與原問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原問題的一個“逆向”問題．例如，原問題是“若矩形的兩邊長分別為3和4，求矩形的周長”，求出周長等于14后，它的一個“逆向”問題可以是“若矩形的周長為14，且一邊長為3，求另一邊的長”，也可以是“若矩形的周長為14，求矩形面積的最大值”等．

（1） 設(shè)A ＝ -，B ＝ ，求A與B的積.

（2） 提出（1）的一個“逆向”問題，并解答這個問題．

解析：（1）A·B=

-

·

=·

=2x+8.

（2）“逆向”問題1：

已知A·B=2x+8，B=，求A．

解：A=（A·B）÷B

=（2x+8）÷

=.

“逆向”問題2：

已知A·B=2x+8，A=-，求B．

解：B=（A·B）÷A

=（2x+8）÷

-

=（2x+8）÷

=2（x+4）·

=．

“逆向”問題3：

已知A·B=2x+8，A+B=x+10，求（A-B）2 ．

解：（A-B）2 =（A+B）2 -4（A·B）

= （x+10）2-4（2x+8）

=x2+12x+68．

評注：本題為開放題，只要是將“A·B=2x+8”作為條件之一的數(shù)學(xué)問題，都是問題（1）的“逆向”問題． L