任曉金

等腰三角形是一種特殊的三角形，除具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有獨(dú)特的性質(zhì)，即兩底角相等，兩腰相等.正是由于它的特殊性質(zhì)，解答等腰三角形問題時(shí)易產(chǎn)生漏解現(xiàn)象.尤其當(dāng)題目中沒有給出具體圖形時(shí)，更應(yīng)謹(jǐn)慎解題.現(xiàn)分類舉例說明.

一 角不明確時(shí)要分類討論

例1如果等腰三角形的一個(gè)角為50°，那么其他兩角的大小分別為__.

解析：當(dāng)50°的角為頂角時(shí)，則每個(gè)底角的大小為：1/2（180°-50°）=65°.

當(dāng)50°的角為底角時(shí)，另一個(gè)底角也為50°，則其頂角的大小為：180°-2×50°=80°.

故答案應(yīng)為65°，65°或50°，80°.

評(píng)注：在等腰三角形中，如果給定一個(gè)角的度數(shù)，求其他兩角的度數(shù)，求解時(shí)要按頂角或底角進(jìn)行分類討論.

二 邊不明確時(shí)要分類討論

例2等腰三角形的一邊長為5 cm，另一邊長為4 cm，則它的周長為___.

解析：當(dāng)腰長為5 cm，底邊長為4 cm時(shí)，則其周長為：5+5+4=14（cm）.

當(dāng)?shù)走呴L為5 cm，腰長為4 cm時(shí)，則其周長為：5+4+4=13（cm）.

故答案為14 cm或13 cm.

評(píng)注：在等腰三角形中，如果給定兩邊的長，但沒有明確哪個(gè)為腰長哪個(gè)為底邊長，則求解時(shí)要按腰或底邊進(jìn)行分類討論.

三 高不明確時(shí)要分類討論

例3等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則等腰三角形頂角的大小為（）.

A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120°

解析：因?yàn)殇J角三角形的高在三角形的內(nèi)部，而鈍角三角形的高可能在三角形的外部，所以本題應(yīng)分兩種情況求解.

（1）銳角三角形.如圖1所示，AB=AC，∠ABD=30°.

因?yàn)锽D是AC邊上的高，所以∠ADB=90°.

由三角形的內(nèi)角和為180°，則

∠A=180°-∠ADB-∠ABD=60°.

（2）鈍角三角形.如圖2所示，AB=AC，∠ABD=30°.

因?yàn)锽D是AC邊上的高，所以∠ADB=90°.

由三角形的內(nèi)角和為180°，則

∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=60°.

所以∠BAC=180°-∠BAD=120°.

故應(yīng)選D.

評(píng)注：由于等腰三角形腰上的高可在等腰三角形內(nèi)部，也可在等腰三角形外部，因此當(dāng)?shù)妊切窝系母邲]有明確在三角形內(nèi)部或外部時(shí)，應(yīng)分類討論.

四 其化情況的分類討論

例4等腰三角形底邊長為6，一腰上的中線把其周長分成兩部分，兩部分的差為2，則其腰長為（）.

A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 以上都不對

解析：如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，腰AC上的中線BD把周長分成兩部分，兩部分的差為2.若設(shè)腰長AB=AC=x，則AD=DC=1/2x.

當(dāng)（AB+AD）-（BC+DC）=2時(shí)，即x+1/2x-6+1/2x=2，則x=8；

當(dāng)（BC+DC）-（AB+AD）=2時(shí)，即6+1/2x-x+1/2x=2，則x=4.

所以腰長為8或4.故應(yīng)選C.

溫馨提示：等腰三角形的兩解必須滿足“三角形的內(nèi)角和等于180°”和“三角形兩邊的和大于第三邊”這些條件.請思考如下問題：

1. 如果等腰三角形的一個(gè)角為120°，那么其他兩角的大小分別為___.（答案：30°，30°）

2. 等腰三角形的一邊長為4 cm，另一邊長為9 cm，則它的周長為__.（答案：22 cm）