九問無理數(shù)

孫　虹

１． 為什么要研究無理數(shù)？

答：從有理數(shù)到無理數(shù)，是數(shù)的范圍的一次重要擴(kuò)充．如果只有有理數(shù)，一些簡單的幾何圖形都無法研究．例如，我們將無法表示出邊長為１的正方形的對角線長、圓的周長和面積，甚至連簡單的方程ｘ２ ＝ ２都無法求解．

２． 無理數(shù)與有理數(shù)有什么區(qū)別？

答：主要區(qū)別有兩點(diǎn)．一是把無理數(shù)與有理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)．根據(jù)這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)家把無理數(shù)定義為“無限不循環(huán)小數(shù)”；而有理數(shù)能寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)．比如 ＝１．４１４ ２…，?仔 ＝ ３．１４１ ５９２ ６…．二是所有的無理數(shù)都不能寫成兩個整數(shù)之比，而所有的有理數(shù)卻都可以寫成兩個整數(shù)之比．根據(jù)這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)家把無理數(shù)叫做“非比數(shù)”，而把有理數(shù)叫做“比數(shù)”．因此所有的有理數(shù)都可以表示成分?jǐn)?shù)的形式，而無理數(shù)則不能．這里分?jǐn)?shù)的分子與分母都是整數(shù)，且分母不能是０．

３． 怎樣把一個無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)？

答：下面給同學(xué)們介紹一種簡單的方法．

設(shè)ｘ ＝ ０．３６３ ６…，則１００ｘ ＝ ３６．３６３ ６…（一個循環(huán)節(jié)有２個數(shù)字乘１００，有３個數(shù)字就要乘１ ０００，…）．后式減去前式，得９９ｘ ＝ ３６．所以ｘ ＝，即０．３６３ ６… ＝．

４． 無理數(shù)是不是包括正無理數(shù)、０、負(fù)無理數(shù)？

答：由于受到思維定勢的影響，有些學(xué)生錯誤地認(rèn)為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)之間應(yīng)有０，殊不知０是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．因此，關(guān)于無理數(shù)的分類，只有正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)兩類．

５． 帶根號的數(shù)都是無理數(shù)嗎？

答： 其實(shí)就是有理數(shù)２， 也是有理數(shù)２，可見帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)．當(dāng)然，帶根號的數(shù)有許許多多都是無理數(shù)，例如 、 、 、 等．它們都有一個共同的特點(diǎn)，那就是開方開不盡．

６． 無理數(shù)都是用根號形式來表示的數(shù)嗎？

答：圓周率π是無理數(shù)，但它并不是用根號形式表示的；又比如０．１０１ ００１ ０００ １…（小數(shù)點(diǎn)后每兩個１之間依次增加一個０）也是無理數(shù)，但它也是不帶根號的無理數(shù)．

７． 無理數(shù)與有理數(shù)的乘積是無理數(shù)嗎？

答：任何無理數(shù)與0相乘其積仍為0，故無理數(shù)與有理數(shù)之積不一定是無理數(shù)．但是無理數(shù)與有理數(shù)的和（或差）一定是無理數(shù)．

８． 兩個無理數(shù)的和、差、積、商仍是無理數(shù)嗎？

答：兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)．如（－ ）＋ ＝ ０， － ＝ ０，２ ? ＝ ６， ＝ ２，這些計(jì)算結(jié)果都是有理數(shù)．

９． 數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，還有什么需要強(qiáng)調(diào)說明的？

答：（１）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，可以規(guī)定一個數(shù)的相反數(shù)和絕對值，可以比較數(shù)的大小．這些與在有理數(shù)范圍內(nèi)的意義是一樣的．

（２）有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．

（３）在有理數(shù)范圍內(nèi)，總能進(jìn)行四則運(yùn)算和乘方運(yùn)算，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不僅總可以進(jìn)行四則運(yùn)算和乘方運(yùn)算，而且正數(shù)和零總可以進(jìn)行開平方運(yùn)算．

（４）同學(xué)們在學(xué)習(xí)有理數(shù)時，知道有理數(shù)總可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不一定表示有理數(shù)．引進(jìn)無理數(shù)之后，有理數(shù)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的．L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>