巧用勾股定理解題

黃海東

勾股定理及其逆定理是幾何和代數的聯(lián)系紐帶之一.在以后學習到的幾何計算及幾何證明中，常要利用勾股定理列出方程或方程組來解決問題.本文著重對有關的解題技巧作一些闡述，供讀者參考.

有些題目固然能直接應用勾股定理求出某些線段長或列出等式，但離求解的目標還有一定的距離，這時，往往需要與其他數學知識的聯(lián)用.

例1直角三角形一條直角邊的長為11，另外兩條邊的長均為自然數，則該直角三角形的周長為（）.

A. 121 B. 122C. 132D. 144

分析：本題條件不多，解這類題可利用整數的性質及分解因式，列出方程組進行求解.

解：設斜邊長為c，另一直角邊長為b，則c2-b2=112=121.

故（c-b）（c+b）=121.因b、c均為自然數，c-b

所以周長為11+b+c=11+121=132，選C.

評析：本題也可求出b、c，再求周長.讀者不妨思考一下已知的直角邊長為合數（比如為12）的情形，得到的結果會有許多種，也比較有趣.

在翻折問題中，通常是利用圖形翻折的性質（如翻折后有關線段的長度不變，一些角相等等），由勾股定理列出方程，求出有關的量.

例2如圖1，將矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交 AD于點E.已知AD=8，AB=4.求△BDE的面積.

分析：利用翻折圖形的對應角相等，對應邊相等，得到△BDE為等腰三角形，CD=C′D，從而AE=C′E.要求S△BDE，只要求出BE即可.因此設BE=x，則C′E=8-x，由勾股定理可列出方程，從而使問題得到解決.

解：由題意得C′D=CD=AB=4，C′B=CB=AD=8，∠C′BD=∠CBD=∠ADB.

∴△BDE為等腰三角形，BE=DE.

設BE=x，則C′E=8-x，DE=x.

在Rt△DEC′中，由勾股定理得（8-x）2+42=x2.

解之得x=5.所以S△BDE= BE·C′D=10.

評析：翻折問題中，總是有不少相等的邊和角，也有全等的三角形.解題時一定要先找出這些關系.

例3如圖2，矩形ABCD中，AB=3，BC=9 .將矩形沿EF翻折，使點B落在點D處，A點落在A′處.求BF的長.

分析：由圖形翻折的性質，得到AE=A′E.設AE=x，則DE=9-x.在Rt△A′DE中，可用勾股定理列出方程，然后加以解決.

解：由題意得AE=A′E，A′D=AB=3，∠DFE=∠BFE=∠DEF.

∴△DEF為等腰三角形，DE=DF=BF.

設AE=x，則DE=9-x.在Rt△A′DE中，x2+32=（9-x）2.解之得x=4.

∴BF=DE=9-4=5.

評析：矩形的折疊問題中，通過兩邊平行可得到等腰三角形，如例2中的△BDE和本例中的△DEF.一定要注意這個特點.

有些題目中雖然沒有可利用的直角三角形，但探求的結論與勾股定理的形式相似，可通過條件的轉化，構造直角三角形解決問題.

例4如圖3，在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點.DE、DF分別交AC、BC于E、F，DE⊥DF.求證：AE2+BF2=EF2.

分析：雖然 AE、BF、EF不在同一個三角形中，但從結論可以看出，只要把這三條線段集中到某個直角三角形中，問題即可得到解決.

證明：如圖4，延長ED至P，使DP=ED，連BP，則△ADE≌△BDP（SAS）.AE=BP，∠A=∠DBP.

∵∠A+∠ABC=90°，

∴∠FBP=∠DBP+∠ABC=90°.

連接FP.在Rt△FBP中，BP2+BF2=FP2.故AE2+BF2=FP2.

∵FD為EP的中垂線，∴FP=FE.AE2+BF2=EF2.

評析：當問題中有中線或過中點的線段時，通常會將其延長一倍，以構造全等三角形.

練習 1. 如圖5 ，四邊形ABCD中，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°.AB=2，CD=1. 求BC和AD的長.

提示：延長BC、AD交于點E.∠E=30°.AE=2AB=4.同理CE=2CD=2.在Rt△ABE中，BE2=AE2-AB2=12，BE=2 ；在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=3，DE= .

２. 如圖6，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形.∠ACB=∠DCE=90°.D是AB邊上一點.求證：（1）△ACE≌△BCD.（2）AD2+AE2=DE2.

提示：（1）利用SAS.（2）易知∠BAC=45°，又由（1）知∠EAC=∠B=45°.

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