勾股定理續(xù)新篇　借圖發(fā)揮通一類

畢　艷　趙書江

兩千多年前的教育家孔子曾經(jīng)說過：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆.”意思是說，一個(gè)人學(xué)習(xí)，如果只知死記硬背，而不加以思考、消化，那他就毫無(wú)收獲.圖1是證明勾股定理的常用圖形，實(shí)質(zhì)是：分別以一直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積之和等于以斜邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積.它是證明勾股定理的有力依據(jù).那么，如果把圖中的正方形換為其他圖形，會(huì)得到什么結(jié)論呢？

思索1：把圖1中的正方形換成正三角形，那么，分別以兩直角邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正三角形面積之和是否等于以斜邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正三角形的面積呢？

探究：如圖2，△ABC中，∠C=90°，△ABD、△BCE、△ACF均為正三角形.判斷S△ＢＣＥ+S△ACF是否等于S△ABD.

因?yàn)椤鰽BD、△BCE、△ACF均為正三角形，所以由正三角形面積公式知，S△ABD=AB2，S△ACF=AC2，S△BCE=BC2.Ｓ△ACF+Ｓ△BCE=AC2+BC2=·（AC2+BC2），又因?yàn)锳C2+BC2=AB2，所以S△ABD=S△ACF+S△BCE.

思索2：圖1、圖2中分別是正方形和正三角形，如果換成正六邊形，是否有相應(yīng)的結(jié)論呢？

探究：如圖3，△ABC中，∠C=90°，六邊形ABDEFG、六邊形BCHMNP、六邊形CAOQRT均為正六邊形.判斷S2＋S３＝S１ 是否成立．

因?yàn)槊總€(gè)正六邊形均由六個(gè)全等的正三角形組成，所以其面積為Ｓ＝６×ａ２（ａ表示正六邊形的邊長(zhǎng)）.故S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2.S2+S3=BC2+AC2=·（BC2+AC2）.又因?yàn)锳C2+BC2=AB2，所以S1=S2+S3.

思索3：再向前推進(jìn)一步，就是以直角三角形各邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)作正n邊形，是否有類似的結(jié)論呢？

回答是肯定的，因?yàn)檎齨邊形的面積與其邊長(zhǎng)的平方都有類似的關(guān)系.由于現(xiàn)在所學(xué)知識(shí)及篇幅所限，思索3的問題留給讀者自己探究.

思索1至思索3，由課本中一幅圖經(jīng)過修改得出一系列的結(jié)論或者說更一般的結(jié)論.如果對(duì)于課本的每一題都如此這般進(jìn)行思考，同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)一定會(huì)有很大的提高.思維在人們認(rèn)識(shí)客觀世界、進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造中具有重要的作用.古今中外成功者的事例無(wú)不證明了這一點(diǎn).牛頓思考蘋果落地發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，波義爾思考紫羅蘭發(fā)明了指示劑……一個(gè)人從接受知識(shí)到運(yùn)用知識(shí)，實(shí)際上就是一個(gè)記與識(shí)、學(xué)與思的過程.學(xué)是思的基礎(chǔ)，思是學(xué)的深化，這正如人攝取食物一樣．只學(xué)不思，那是不加咀嚼，囫圇吞棗，食而不化，難以吸收，所學(xué)知識(shí)無(wú)法為“己有”.只有學(xué)而思之，才能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通.

如圖4，分別以直角三角形三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示.確定S1、S2、S3之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文