攻破實數(shù)的“錯誤防線”

張朋溫

《實數(shù)》一章概念較多.同學(xué)們初學(xué)時,若理解不深,掌握不牢固,解題時就會出現(xiàn)錯誤.本文就同學(xué)們作業(yè)中常見的錯誤舉例加以剖析.

例1 4的平方根是.

錯解:因為22=4,所以 4的平方根是2 .

剖析:錯解在于沒有正確理解“一個正數(shù)有兩個平方根,且互為相反數(shù)”.這里忽視了(- 2)2 = 4這一點.

正解:因為(±2)2 = 4,所以4的平方根是±2.

例2 計算=.

錯解: = ±.

剖析:錯解的原因是混淆了平方根與算術(shù)平方根兩個概念.這里表示的算術(shù)平方根,應(yīng)為正值.

正解:=.

例3 計算=.

錯解:=- 5 .

剖析:由(-5)2 = 25, 則表示25的算術(shù)平方根,應(yīng)為正值.

正解:== 5.

例4 的平方根是.

錯解:因為(±4)2 = 16,所以的平方根是±4.

剖析:表示16的算術(shù)平方根,即=4.此題實際上是求4的平方根.

正解:的平方根是±2.

例5 27 的立方根是.

錯解:27的立方根是 ±3 .

剖析:錯解的原因是將平方根與立方根兩個概念混淆了.一個正數(shù)的立方根仍為正數(shù).

正解:因為33=27,所以27的立方根為 3 .

例6 試比較0.3與的大小.

錯解:0.3>.

剖析:錯解的原因是沒有理解“正的純小數(shù)的算術(shù)平方根比它本身大”.

正解:因為0.3 ==,而<,所以0.3<.

例7 若·=0成立,則 a 的值為.

錯解:由題意知,a-1=0或a-2=0.

所以a=1或a=2,即a的值為1或2 .

剖析:錯解忽視了負數(shù)沒有算術(shù)平方根.本題中,字母的每一個值都必須保證每個因式都有意義.

正解:由題意知a-1=0或a-2=0,所以a=1或a=2.

當a=1時,a-2=-1< 0.由于負數(shù)沒有算術(shù)平方根,因此a=1舍去.

故a=2.

例8 判斷下列說法是否正確.正確的打“√”,錯誤的打“×”.

(1)帶根號的數(shù)都是無理數(shù); ()

(2)無理數(shù)就是開方開不盡而產(chǎn)生的數(shù);()

(3)有限小數(shù)都是有理數(shù),無限小數(shù)都是無理數(shù). ()

錯解:(1)√;(2)√;(3)√.

剖析:(1)判斷一個數(shù)的性質(zhì),要根據(jù)數(shù)的定義或數(shù)的實質(zhì)意義,不能只看形式.如,雖帶有根號,但其結(jié)果為2,即=2,而2是有理數(shù).故上述說法是錯誤的 .

(2)目前我們學(xué)習(xí)的無理數(shù)有三種形式:① 開方開不盡的數(shù),比如?等;②圓周率π;③無限不循環(huán)小數(shù),如0.202 002 000 2….所以,開方開不盡的數(shù)都是無理數(shù),但無理數(shù)并不都是開方開不盡的數(shù).故上述說法是錯誤的.

(3)“有限小數(shù)都是有理數(shù)”是對的,而“無限小數(shù)都是無理數(shù)”的說法不正確.無限小數(shù)包括兩部分:一部分是無限循環(huán)小數(shù),屬于有理數(shù);另一部分是無限不循環(huán)小數(shù),屬于無理數(shù).故上述說法是錯誤的.

正解:(1)×;(2)×;(3)×.

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