王明建　王桂花

文［1］、［2］給出了一對(duì)非常優(yōu)美的姐妹不等式：

設(shè)a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1,則有：

(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥(76)3 (1)

(1b+c+a)(1c+a+b)(1a+b+c)≥(116)3 (2)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時(shí)取等號(hào).

文［3］把(1)推廣到n元的情形，設(shè)ai(i=1,2,…，n)都是正數(shù)，且∑ni=1ai=1(n≥2),則有

∏ni=1(11-ai-ai)≥(n2-n+1n(

n-1))n (3)

并給出了證明.

關(guān)于不等式(2)，文［1］提出的猜想是：

設(shè)ai(i=1,2,…，n)都是正數(shù)，且∑ni=1ai=1(n≥2)，則有∏ni=1(11-ai+ai)≥(n2+n-1n(n-1))n(4)

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an=1n時(shí)取等號(hào).

此猜想不成立，現(xiàn)舉出反例如下：

當(dāng)n=4時(shí)，我們?nèi)1=a2=0.49,a3=a4=0.01,此時(shí)，左邊=∏ni=1(11-ai-ai)=(10.51+0.49)2(10.99+0.01)2=6.25023774…<6.26.

而右邊=(nn-1+1n)n=(43+14)4=(1912)4=6.28479038…>6.28.

因?yàn)?.26<6.28，所以，左邊<右邊.

即當(dāng)n=4時(shí)，不等式(2)的推廣式不成立.

我們從極限的角度來思考，當(dāng)n>3時(shí)，取x1=x2→0.5,x3=x4=…=xn→0,對(duì)左邊取極限，有

limxi→0.5∏2i=1(11-xi+xi)·limxi→0∏ni=3(11-xi

+xi)=2.52×1n-2=6.25.、而當(dāng)n取正整數(shù)，且趨于無窮時(shí)，對(duì)右邊取極限，有l(wèi)imn→+∞(1+2n-1n(n-1))n=e2=7.38904616….

所以，當(dāng)n>3時(shí)，不等式(2)不一定成立.

參考文獻(xiàn)

［1］魏烈斌.不等式中的一對(duì)姐妹花［J］.數(shù)學(xué)通訊.湖北.2007，5.P45-46.

［2］趙思林，潘超.一個(gè)不等式的簡(jiǎn)捷證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.江西，2007，10.P12-13.

［3］王明建.一個(gè)優(yōu)美不等式的推廣及證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.江西，2008，2.P17-18.

［4］匡繼昌.常用不等式［M］.山東科學(xué)技術(shù)出版社.2004，1.P10-11.

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