林再生

近幾年高考對(duì)三角變換的考查要求有所降低，而對(duì)三角函數(shù)這一章的內(nèi)容考查有逐步加強(qiáng)的趨勢(shì)，主要表現(xiàn)在對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查上有所加強(qiáng).對(duì)三角函數(shù)圖像進(jìn)行變換是研究三角函數(shù)性質(zhì)的有效途徑.本文將以課本的一道三角函數(shù)習(xí)題為例探求函數(shù)變換對(duì)定義域的影響.有興趣的讀者還可探求函數(shù)變換對(duì)值域的影響.

1.課本習(xí)題及教學(xué)用書解法展示

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教版數(shù)學(xué)必修4習(xí)題1.5A組第3題如下：

不畫圖，直接寫出下列函數(shù)的振幅、周期與初相，并說(shuō)明這些函數(shù)的圖像可由正弦曲線經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到(注意定義域)：

(1)y=8sin(x4-π8),x∈［0，+∞)；

(2)y=13sin(3x+π7),x∈［0，+∞).

配套教師教學(xué)用書提供如下解答和說(shuō)明：

(1)振幅是8，周期是8π，初相是-π8.

先把正弦曲線y0=sinx,x∈R向右平行移動(dòng)π8個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y1=sin(x-π8)，x∈R的圖像；再把函數(shù)y1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y2=sin(x4-π8)，x∈R的圖像；再把函數(shù)y2的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的8倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y3=8sin(x4-π8)，x∈R的圖像；最后把函數(shù)y3的圖像在y軸左側(cè)部分抹去，就得到了函數(shù)y=8sin

(x4-π8)，x∈［0,+∞)的圖像.

(2)解答類似(1)，在此從略.

評(píng)注：了解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量與函數(shù)解析式的關(guān)系，并認(rèn)識(shí)函數(shù)y=Asin

(ωx+φ)的圖像與正弦曲線的關(guān)系.

2.習(xí)題的設(shè)計(jì)意圖探究

習(xí)題題目特別用括號(hào)注明注意定義域，若根據(jù)教學(xué)用書上的說(shuō)明，此題是為了讓同學(xué)們鞏固

三角函數(shù)圖像的變換，注意定義域是為了讓同學(xué)們注意了解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量與函數(shù)解析式

的關(guān)系，其中有一點(diǎn)應(yīng)特別注意的是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)定義域一般為［0,+∞).

但筆者認(rèn)為此題未能體現(xiàn)實(shí)際物理量定義域與y=Asin(ωx+φ)定義域的區(qū)別，此題并不能強(qiáng)調(diào)實(shí)際物理量的取值為［0,+∞).若要強(qiáng)調(diào)實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞)，設(shè)計(jì)一道實(shí)際應(yīng)用題比較妥當(dāng).

一般而言，函數(shù)或三角函數(shù)在進(jìn)行變換過(guò)程中，定義域也可能隨之變化.習(xí)題在目標(biāo)函數(shù)后注明了定義域?yàn)椋?,+∞)，并在題目括號(hào)中注明注意定義域.筆者認(rèn)為編者編此習(xí)題的初衷是讓同學(xué)們鞏固三角函數(shù)圖像的變換，并了解與掌握三角函數(shù)圖像變換對(duì)函數(shù)定義域的影響.

3.探求三角函數(shù)圖像變換對(duì)函數(shù)定義域的影響

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b中的A，ω,φ,b變化時(shí)，對(duì)函數(shù)圖像的形狀和位置會(huì)產(chǎn)生影響，

A和ω確定圖像形狀，φ和b確定圖像與坐標(biāo)的位置關(guān)系.

3.1 三角函數(shù)圖像振幅變換對(duì)函數(shù)定義域的影響

由A的變化引起的圖像變換稱為振幅變換，它實(shí)質(zhì)上是縱向的伸縮.

若將正弦曲線y=sinx,x∈R的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的A(A>0)倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=Asinx的定義域仍為R.

若將函數(shù)y=sinx,x∈［m,+∞)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的A(A>0)倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=Asinx的定義域也為［m,+∞).

若將函數(shù)y=sinx,x∈(-∞,n］的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的A(A>0)倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=Asinx的定義域也為(-∞,n］.

若將函數(shù)y=sinx,x∈［m,n］的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的A(A>0)倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=Asinx的定義域也為［m,n］.

上述函數(shù)的定義域中的閉區(qū)間改為開區(qū)間，結(jié)論一樣成立.

3.2 三角函數(shù)圖像周期變換對(duì)函數(shù)定義域的影響

由ω的變化引起的圖像變換稱為周期變換，它實(shí)質(zhì)上是橫向的伸縮.

若將函數(shù)y=sinx,x∈R的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的ω(ω>0)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sinωx的定義域也為R.

若將函數(shù)y=sinx,x∈［m,+∞)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的ω(ω>0)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sinωx的定義域?yàn)椋踡ω,+∞).

若將函數(shù)y=sinx,x∈(-∞,n］的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的ω(ω>0)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sinωx的定義域?yàn)?-∞，nω］.

若將函數(shù)y=sinx,x∈［m,n］的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的ω(ω>0)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sinωx的定義域?yàn)椋踡ω,nω］.

上述函數(shù)的定義域中的閉區(qū)間改為開區(qū)間，結(jié)論一樣成立.

3.3 三角函數(shù)圖像相位變換對(duì)函數(shù)定義域的影響

由φ的變化引起的圖像變換稱為相位變換，它實(shí)質(zhì)上是一種左、右平移變換.

若將正弦曲線y=sinx,x∈R的圖像上所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin(x+φ)的定義域也為R.

若將正弦曲線y=sinx,x∈［m,+∞)的圖像上所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin(x+φ)的定義域?yàn)椋踡-φ,+∞).

若將正弦曲線y=sinx,x∈(-∞，n］的圖像上所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin(x+φ)的定義域?yàn)?-∞，n-φ］.

若將正弦曲線y=sinx,x∈［m，n］的圖像上所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin(x+φ)的定義域?yàn)椋踡-φ，n-φ］.

3.4 三角函數(shù)圖像上下平移對(duì)函數(shù)定義域的影響

由b的變化引起的變換稱為上、下平移變換.將三角函數(shù)圖像進(jìn)行上、下平移變換時(shí)，易知其定義域不會(huì)發(fā)生變化.

4.變換對(duì)定義域影響的推廣

4.1 若將函數(shù)y=f(x)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的A(A>0)倍(橫坐標(biāo)不變

)，得到函數(shù)y=Af(x)的定義域不會(huì)發(fā)生變化.

4.2 若將函數(shù)y=f(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的ω(ω>0)倍(縱坐標(biāo)不變

)，得到函數(shù)y=f(ωx)的定義域的起點(diǎn)值和終點(diǎn)值分別是原函數(shù)定義域的起點(diǎn)值和終點(diǎn)值的1ω.

4.3 若將函數(shù)y=f(x)的圖像上所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位

，得到函數(shù)y=f(x+φ)的定義域的起點(diǎn)值和終點(diǎn)值分別是原函數(shù)定義域的起點(diǎn)值減φ和終點(diǎn)值減φ.

4.4 若將函數(shù)y=f(x)的圖像上所有點(diǎn)向上(當(dāng)b>0時(shí))或向下(當(dāng)b<0時(shí))平移|b|個(gè)單位，得到函數(shù)y=f(x)+b的定義域不會(huì)發(fā)生變化.

5.課本習(xí)題的另解

解：(1)為了得到函數(shù)y=8sin(x4-π8),x∈［0,+∞)，只需將函數(shù)y3=sin(x4-π8),x∈［0,+∞)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的8倍(橫坐標(biāo)不變)；為了得到函數(shù)y3，只需將函數(shù)y2=sin(x-π8),x∈［0,+∞)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍(縱坐標(biāo)不變)；為得到函數(shù)y2，只需將函數(shù)y1=sinx,x∈［-π8,+∞)的圖像上所有點(diǎn)向右平移π8個(gè)單位.

(2)為了得到函數(shù)y=13sin(3x+π7),x∈［0,+∞)，只需將函數(shù)y3=13sin3x,x∈［π21,+∞)的圖像上所有點(diǎn)向左平移π21個(gè)單位；為了得到函數(shù)y3，只需將函數(shù)y2=13sinx,x∈［π7,+∞)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的13倍(縱坐標(biāo)不變)；為了得到函數(shù)y2，只需將函數(shù)y1=sinx,x∈［π7,+∞］的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的13倍(橫坐標(biāo)不變).

6.一類新編題

通過(guò)對(duì)這道課本習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)，我們可以以此為背景新編出一類習(xí)題.此類習(xí)題在教學(xué)時(shí)有助于同學(xué)們對(duì)函數(shù)定義域的進(jìn)一步深刻理解，也可以對(duì)函數(shù)變換(三角函數(shù)變換)加深鞏固，更可能成為高考考察三角函數(shù)部分的新視角.

6.1 已知函數(shù)y=sin(2x-π3),x∈(π3,2π3)，將其圖像上所有點(diǎn)向右平移π3個(gè)單位，可得(D).

A.函數(shù)y=sin(2x-2π3),x∈(0,π3)

B.函數(shù)y=sin(2x-2π3),x∈(2π3,π)

C.函數(shù)y=-sin2x，x∈(π6,π2)

D.函數(shù)y=-sin2x，x∈(2π3,π)

6.2 為了得到函數(shù)y=sin(2x-π3),x∈［π3,2π3］，只需(A).

A.將函數(shù)y=sin2x,x∈［π6,π2］的圖像上所有點(diǎn)向右平移π6個(gè)單位

B.將函數(shù)y=sin(x-π3),x∈［π6,π3］的圖像上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變

C.將函數(shù)y=sin(x-π3),x∈［π6,π3］的圖像上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變

D.將函數(shù)y=3sin(2x-π3),x∈［π,2π］的圖像上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的13倍，橫坐標(biāo)不變

6.3 關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+π3),x∈［-2π,2π］，有下列命題：

①將函數(shù)f(x)的圖像所有點(diǎn)向上或向下平移π3個(gè)單位，其定義域不發(fā)生變化；

②將函數(shù)f(x)的圖像所有點(diǎn)向左或向右平移π3個(gè)單位，其定義域不發(fā)生變化；

③將函數(shù)f(x)的圖像所有點(diǎn)向橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，其定義域不發(fā)生變化；

④將函數(shù)f(x)的圖像所有點(diǎn)向縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，其定義域不發(fā)生變化；

⑤將函數(shù)f(x)的圖像所有點(diǎn)向橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，其定義域?yàn)椋?π,π］.

以上命題正確的是 ①④⑤ .

上述習(xí)題只要應(yīng)用本文的一些探究結(jié)論，便可迎刃而解，在此不再詳解.

7.習(xí)題學(xué)習(xí)的感悟

通過(guò)對(duì)這一道課本習(xí)題的深入學(xué)習(xí)，筆者對(duì)習(xí)題的背景與解法提出了個(gè)人見解，在學(xué)習(xí)之余新編了一類習(xí)題，應(yīng)該說(shuō)在學(xué)習(xí)之余自己也受益匪淺.

對(duì)于上述一類新編題，第一，題目的設(shè)計(jì)與課程評(píng)價(jià)目標(biāo)相一致，命題切實(shí)體現(xiàn)高中新課程

理念，說(shuō)明命題的科學(xué)性；第二，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，突出了試題的能力要求；第三，試題的素材與解答對(duì)所有考生都具有公平 性，避免需要特殊背景知識(shí)和特殊答題方式.這說(shuō)明上述新編題是一類具有很強(qiáng)的生命力、符合新課程理念的創(chuàng)新性試題.

新教材只是提供了學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的基本線索.教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際，充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際進(jìn)行拓展與創(chuàng)新，并提出了一些重要的研究問(wèn)題，再創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.這順應(yīng)了新課標(biāo)理念，也符合新課標(biāo)精神.

創(chuàng)新性學(xué)習(xí)是指引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、有效地參與學(xué)習(xí)，在動(dòng)態(tài)中探索未知，獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，尋找有創(chuàng)意的解決問(wèn)題的方法的學(xué)習(xí).作為一名數(shù)學(xué)教育工作者，應(yīng)積極主動(dòng)在課堂教學(xué)、習(xí)題解答、聽課評(píng)課中去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并尋求創(chuàng)新性解法，對(duì)素材進(jìn)行提煉、總結(jié)，相信一定會(huì)有所收獲.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文