圖形相似復(fù)習(xí)導(dǎo)航

楊大為

一、知識(shí)解讀

1. 相似圖形 形狀相同、大小不一定相同的圖形，叫做相似圖形.

2. 相似多邊形 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形，叫做相似多邊形.

相似多邊形的定義也是判定兩個(gè)多邊形相似的重要依據(jù).

3. 成比例線段 對(duì)于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即 ＝ （或a∶b＝c∶d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

4. 相似三角形的定義 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比，也叫相似系數(shù)，通常用字母k表示.全等三角形是相似比為1的特殊的相似三角形.

5. 相似三角形的判定方法 三角形相似的判定方法和三角形全等的判定方法類似，角相等不變，只是將“對(duì)應(yīng)邊相等”改為“對(duì)應(yīng)邊成比例”.

二、考點(diǎn)例析

◆◆考點(diǎn)1：相似形的性質(zhì)◆◆

例1 （2008年諸暨市）已知A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)如圖1所示，E是DE和AC延線的交點(diǎn)，若△ABC和△ADE相似，則E點(diǎn)的坐標(biāo)是 .

解析： 將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為三角形的邊長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)，容易求得E（4，－3）.

例2 （2008年重慶市）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為2∶3，則S△ABC ∶ S△DEF為（）.

A. 2∶3 B. 4∶9 C.∶D. 3∶2

解析： 直接考查相似三角形最基本的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方.選B.

◆◆考點(diǎn)2：相似形的識(shí)別◆◆

例3 （2008年安徽?。┤鐖D2，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC，CD于點(diǎn)P，Q.

（1） 請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1的除外）.

（2） 求BP ∶ PQ ∶ QR.

解析： （1） △BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.

（2） ∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，

∴BC=AD=CE，AC∥DE，所以 = = .

由△PCQ∽△RDQ，DR=RE，可得 = = = .

所以QR=2PQ.BP=PR=PQ＋QR=3PQ.

∴BP ∶ PQ ∶ QR=3∶1∶2.

◆◆考點(diǎn)3：相似形的實(shí)際應(yīng)用◆◆

例4 （2008年陜西?。╆?yáng)光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹(shù)的高度（這棵樹(shù)底部可以到達(dá)，頂部不易到達(dá)）.他們帶了以下測(cè)量工具：皮尺、標(biāo)桿、一副三角尺、小平面鏡.請(qǐng)你在他們提供的測(cè)量工具中選出所需工具，設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案.

（1） 所需的測(cè)量工具是： .

（2） 請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出測(cè)量示意圖.

（3） 設(shè)樹(shù)AB的高度為x m，請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)（用小寫(xiě)英文字母表示）求出x.

解析： （1） 皮尺、標(biāo)桿.

（2） 測(cè)量示意圖如圖4.

（3） 如圖4，測(cè)得標(biāo)桿DE ＝ a m，樹(shù)的影長(zhǎng)AC ＝ b m，標(biāo)桿的影長(zhǎng)EF ＝ c m.

由△DEF∽△BAC，可得 = .

即 = .解得x= （m）.

◆◆考點(diǎn)4：圖形的放大與縮小◆◆

例5 （2008年寧德市）如圖5，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格中，有形如帆船的圖案①和半徑為2的⊙P．

（1） 將圖案①平移，使A點(diǎn)平移到點(diǎn)E，畫(huà)出平移后的圖案.

（2） 以點(diǎn)M為位似中心，在網(wǎng)格中將圖案①放大2倍，畫(huà)出放大后的圖案，并在放大后的圖案中標(biāo)出線段AB的對(duì)應(yīng)線段CD.

（3） 在（2）所畫(huà)的圖案中，線段CD被⊙P所截得的弦長(zhǎng)為 ．（結(jié)果可保留根號(hào)）

解析： （1） 平移變換是全等變換，只改變位置，不改變大小和形狀.平移后的圖案如圖6.

（2） 位似變換只改變圖形的大小，不改變圖形的形狀.放大后的圖案如圖6所示.

（3） 線段CD被⊙P所截得的弦長(zhǎng)為2 .

◆◆考點(diǎn)5：相似形的綜合應(yīng)用◆◆

例6 （2008年蘇州市）如圖7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12，動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿DC以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB以每秒2個(gè)單位的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1） 梯形ABCD的面積等于 .

（2） 當(dāng)PQ∥AB時(shí)，P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)的時(shí)間等于 .

（3） 當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，求P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)的時(shí)間.

解析： （1） 36. （2） s.

（3） 當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，有兩種情況.

① 如圖8，當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，設(shè)P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)x s．

作DE⊥BC于E，則PQ∥DE．

∴ = ， = .解得x= （s）.

② 如圖9，當(dāng)QP⊥CD時(shí)，設(shè)P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)x s．

顯然△QPC∽△DEC．

∴ = ， = .解得x= （s）.

綜上所述，當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P離開(kāi)D點(diǎn)s或s．

（2008年肇慶市）如圖10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，D三點(diǎn)，CB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E.

（1） 求證AE=CE.

（2） EF與⊙O相切于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若CD=CF=2 cm，求⊙O的直徑.

（3） 若 =n（n>0），求sin∠CAB.

答案或提示：（1） 連接DE，證明DE是AC的垂直平分線． （2） AE=2cm． （3） sin∠CAB= .

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。