展現(xiàn)概念形成過程，幫助學(xué)生理解概念

胡愛民

概念是人們對事物本質(zhì)的認識，是邏輯思維的基本單元和形式。人類對外部世界的正確認識，是在概念的不斷形成、發(fā)展與完善中，在舊的概念向新的概念不斷重組、轉(zhuǎn)化和更新中實現(xiàn)的。所以，概念的變化與發(fā)展，反映了人類認識世界的進步和發(fā)展。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生從生動的直觀到抽象的思維，形成一系列數(shù)學(xué)概念，這些數(shù)學(xué)概念的真理性又返回數(shù)學(xué)實踐中接受檢驗。在這個過程中，數(shù)學(xué)概念經(jīng)過了不斷的發(fā)展與變化，正是這種概念的發(fā)展與變化，使學(xué)生的認知不斷地實現(xiàn)“同化”與“順應(yīng)”，認知結(jié)構(gòu)不斷重組、優(yōu)化，學(xué)生的思維得到進步和發(fā)展。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要正確把握概念表現(xiàn)出的不同方面，充分展現(xiàn)概念的形成過程，從而幫助學(xué)生真正地理解概念。

一、動手操作中展現(xiàn)概念形成過程，幫助學(xué)生自主建構(gòu)概念。

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個建立在經(jīng)驗基礎(chǔ)上的主動建構(gòu)的過程，而且小學(xué)生的思維處在具體運演階段，其對于概念的理解是建立在直觀形象的基礎(chǔ)之上的，所以在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師必須給學(xué)生充分動手操作的機會，在動手操作中展現(xiàn)概念的形成過程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成過程中形象而生動的性質(zhì)，充分展現(xiàn)概念發(fā)生、發(fā)展、形成的過程；讓學(xué)生充分經(jīng)歷“個性化”的定義過程，以便使學(xué)生對概念的自主建構(gòu)和真正理解成為可能。

例如長方體的長、寬、高的概念的形成過程。

首先，學(xué)生動手操作，利用小棒和橡皮泥制作一個長方體，其棱(小棒)和頂點(橡皮泥)一目了然。

其次，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果我們拿掉其中的一根小棒，還能看出這個長方體的大小嗎?學(xué)生拿掉其中一根小棒后發(fā)現(xiàn)，根據(jù)剩下的11條棱，我們?nèi)匀荒軌蚩闯鲩L方體的大小。

再次，引導(dǎo)學(xué)生思考：最多可以拿走多少根小棒，最少剩下哪幾根小棒，我們?nèi)匀豢梢钥闯鲩L方體的大小?讓學(xué)生想一想，試一試。

最后，學(xué)生通過動手實踐后發(fā)現(xiàn)，最多拿走9根小棒，剩下相交于同一個頂點的3根小棒后，仍然可以確保我們看出一個長方體的大小。

這樣，長方體的長、寬、高的概念便水到渠成地得出。此時概念的獲得過程是學(xué)生自主建構(gòu)概念的活動過程，原本抽象的數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的動手實踐中得以自主建構(gòu)，概念的形成更加外顯，概念的獲得更加鮮活，概念的抽象變得形象，概念的理解更加深刻。

二、反面例證中展現(xiàn)概念形成過程，幫助學(xué)生全面認識概念。

沒有比較就沒有鑒別。一個數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中初步形成之后，如果缺少相應(yīng)的“變式”的理解，將會是模糊的、不全面的。只有通過正面的強化理解與反面的對比認識的互相溝通，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷從“立”到“破而后立”的螺旋式上升的認識過程，才能真正幫助學(xué)生建立起對數(shù)學(xué)概念的深刻理解。同時幫助學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上，進一步溝通核心概念及其相關(guān)概念的聯(lián)系，起到舉一反三、觸類旁通的學(xué)習(xí)效果。

例如三角形的概念的形成過程。

首先，讓學(xué)生準備好各種平面圖形卡片(如圖1)，引導(dǎo)學(xué)生思考：將所有這些圖形分成幾類，你會怎么分?為什么?學(xué)生能夠容易地得到：可以將三角形單獨分為一類，因為它們都是有三條線段的圖形。

其次，針對“三條線段”的圖形，我們可以出示反例(如圖2)：這兩個圖形也是由三條線段組成的，它們是三角形嗎?為什么?學(xué)生意識到，三角形不僅僅是由三條線段組成，而且是由三條線段圍成的。

再次，針對“三條線段圍成”，我們進一步出示反例(如圖3)：像這樣，由三條線段圍成的圖形是三角形嗎?很顯然，這時的三條線段沒有首尾相連，因而組成的圖形不是三角形。

最后，為了強調(diào)“首尾相連”，我們可以繼續(xù)出示反例(如圖4)：像這樣，你認為它們是不是符合首尾相連的要求，是三角形嗎?這時，學(xué)生會認識到，三條線段沒有全部首尾相連，還有一個缺口，沒有封閉。

通過反例，激起學(xué)生認知沖突，促使學(xué)生在層層遞進的矛盾解決中建立起數(shù)學(xué)概念，豐富對數(shù)學(xué)概念的理解，形成對數(shù)學(xué)概念全面、深刻的理解。

三、概念限制中展現(xiàn)概念形成過程，幫助學(xué)生逐步抽象概念。

我們可以通過概念的限制，把一個外延較大而內(nèi)涵小的概念逐步豐富變化為一個外延小而內(nèi)涵豐富的新的概念。概念的限制過程就是一個強抽象的過程，它立足于已有概念，引入新的特征或條件得到新的概念，使新的概念成為原概念的一個特例。概念的限制過程既展示了概念的逐步抽象過程，又向?qū)W生滲透了獲取知識的方法。

如“因數(shù)”、“公因數(shù)”、“最大公因數(shù)”等概念的認識過程。

從學(xué)生的認知規(guī)律和知識的邏輯體系考慮，我們首先學(xué)習(xí)了“因數(shù)”的概念，此時學(xué)生能夠求出一個數(shù)的因數(shù)。在此基礎(chǔ)上，我們就可以求出兩個或更多數(shù)的因數(shù)，其中它們共有的因數(shù)即為“公因數(shù)”。這時的“公因數(shù)”的概念就是利用概念的限制，縮小了“因數(shù)”概念的外延得到的一個新的概念。同理，我們繼續(xù)縮小“公因數(shù)”概念的外延，將“公因數(shù)”限制在“最大”的條件內(nèi)，得到“最大公因數(shù)”的概念。

因為概念的限制過程注重將未知轉(zhuǎn)化為已知，由已知得到未知，立足原有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)，所以，利用概念的限制來獲得和認識新的概念，知識發(fā)展脈絡(luò)會更順暢，認識過程會更符合學(xué)生學(xué)習(xí)的心理特點和認知規(guī)律。

四、類比推理中展現(xiàn)概念形成過程，幫助學(xué)生形象理解概念。

類比推理是根據(jù)兩個對象具有某些相同的屬性。其中有一個對象還有另外某個屬性，從而推論出另一個對象也可能具有這個屬性。它是一種根據(jù)事物的相同點，從已知到未知，探求新知識的方法，非常便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解和生成新的數(shù)學(xué)概念，擴大認識成果，啟發(fā)學(xué)生認知。

例如在教學(xué)“梯形”概念時，“只有一組對邊”和“一組對邊”有何不同，學(xué)生理解起來十分困難。如何幫助學(xué)生理解呢?

首先，引導(dǎo)學(xué)生比較“老師會用筷子吃飯”和“老師只會用筷子吃飯”這兩個句子有什么不同?學(xué)生認識到，“會用筷子吃飯”就是說老師除了會用筷子吃飯外，還能夠用其他的東西吃飯，比如勺子、叉子等等，而“只會用筷子吃飯”就是說老師除了筷子，就不會用其他的東西吃飯。這樣，學(xué)生在熟悉的生活情境中，理解了“有……”和“只有……”的區(qū)別。

其次，理解“梯形”的概念，并把它與“平行四邊形”的概念進行對比。有了前面的鋪墊，學(xué)生認識到，梯形和平行四邊形都有兩組對邊，但是平行四邊形的兩組對邊都要平行，而梯形的兩組對邊中，只有一組對邊平行。另一組對邊不平行。另有學(xué)生補充，如果不強調(diào)“只有一組”的話，那兩組對邊平行時我們也可以說其中有一組對邊平行。這樣，學(xué)生對于梯形的概念有了更明確的認識。

為了認識和解釋某些數(shù)學(xué)概念，我們往往可以找出另一種和它相似的事實或原理，然后通過類比推理進行說明。類比推理可以把未知的變成已知的、深奧的變成淺顯的，這有利于學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)概念之間的相似點去認識新的數(shù)學(xué)概念，有利于啟發(fā)學(xué)生思維，起到舉一反三、觸類旁通的學(xué)習(xí)效果。