半?yún)?shù)回歸模型獨(dú)立情形的分離法估計(jì)

陳乃輝

(中央財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,北京 100081)

半?yún)?shù)回歸模型獨(dú)立情形的分離法估計(jì)

陳乃輝

(中央財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,北京 100081)

對(duì)半?yún)?shù)回歸模型,用L2最佳逼近加矩估計(jì)的方法,推出其非參數(shù)部分的依L2與強(qiáng)相合聯(lián)合收斂意義下的估計(jì),及參數(shù)部分的強(qiáng)相合與相合漸近正態(tài)估計(jì),并設(shè)計(jì)實(shí)行了一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn).

半?yún)?shù)回歸模型;隨機(jī)函數(shù)逼近;矩估計(jì);相合漸近正態(tài)性

1 引言

上世紀(jì)八十年代由Engle等[1]提出了如下的半?yún)?shù)回歸模型(以回歸函數(shù)的形式表現(xiàn))

對(duì)此國(guó)內(nèi)外學(xué)者多有很好的研究[26],其中的思想方法,是采用兩階段的想法相繼將半?yún)?shù)回歸模型化為非參數(shù)回歸模型與參數(shù)回歸模型分別予以解決,于后一階段一般運(yùn)用最小二乘方法,而于前一階段有各種不同的手法,如核估計(jì)法[2],最近鄰估計(jì)法[3]與小波估計(jì)法[4,6]等.

本文研究半?yún)?shù)回歸模型(1.1)在X與(Z1,···,Zd)相互獨(dú)立的情形,采用分離方法對(duì)其估計(jì),即將模型的非參數(shù)部分與參數(shù)部分的估計(jì)完全分開而互不干涉地進(jìn)行,而后合為對(duì)半?yún)?shù)回歸函數(shù)的L2收斂強(qiáng)相合估計(jì).該文的其它特點(diǎn)有:(a)各定理的題設(shè)條件比較簡(jiǎn)明、自然;(b)非參數(shù)部分的估計(jì)是全局性的解析函數(shù);(c)所及光滑參數(shù)為多項(xiàng)式的次數(shù),它的確定原則為在樣本容量足以支撐的前提下盡量取大,這相較于窗寬、懲罰系數(shù)、節(jié)點(diǎn)等光滑參數(shù)要簡(jiǎn)易.

本文的敘述分6節(jié).第1節(jié)為該文內(nèi)容、思想概述及有關(guān)定義,第2節(jié)為回歸函數(shù)的非參數(shù)部分與參數(shù)部分估計(jì)途徑的分離,第3、4節(jié)為分別對(duì)非參數(shù)部分與參數(shù)部分的估計(jì),第5節(jié)最終給出整個(gè)回歸函數(shù)的估計(jì),其是在L2與強(qiáng)相合之聯(lián)合意義下收斂的,第6節(jié)為佐證該文的理論結(jié)果,設(shè)計(jì)實(shí)行了一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn).

本文用到如下定義.

定義1.1設(shè)實(shí)隨機(jī)變量X,Y∈L2(?,F,P)[7],記

定義1.2若(R,B(R),L)為概率空間,x∈R,?δ＞0成立

則稱x為測(cè)度L的增長(zhǎng)點(diǎn).

定義1.3作矩陣的簡(jiǎn)約記法為

2 非參數(shù)部分與參數(shù)部分估計(jì)途徑的分離

定理2.1若Y,X,Z1,···,Zd,W為概率空間(?,F,P)上的實(shí)隨機(jī)變量,Y關(guān)于X,Z1,···,Zd的回歸函數(shù)及Y關(guān)于X,Z1,···,Zd,W的函數(shù)分別為

3 非參數(shù)部分的估計(jì)

定理3.1若題設(shè)同定理2.1,且由X誘導(dǎo)出的測(cè)度PX有無(wú)窮多個(gè)增長(zhǎng)點(diǎn),xn∈L2(R,B(R), PX)(n∈N),PX還滿足下列三個(gè)條件之一:

(A)代數(shù)多項(xiàng)式全體在L2(R,B(R),PX)中稠密;

(B)存在有限區(qū)間[a,b]?R,使PX{[a,b]}=1;

(C)對(duì)Lebesgue測(cè)度的密度函數(shù)ρ(x)滿足存在常數(shù)C＞0,使ρ(x)≤Ce?x2(x∈R),另記

4 參數(shù)部分的估計(jì)

5 回歸函數(shù)的估計(jì)

6 模擬實(shí)驗(yàn)

表1 參數(shù)估計(jì)對(duì)比

在(Z1,Z2,Z3)分別取值(0.5,1,0.2),(?4,50,12.8)時(shí),它們關(guān)于X的函數(shù)圖象的對(duì)比圖(不帶星號(hào)線為被估計(jì)函數(shù),帶星號(hào)線為估計(jì)函數(shù))分別為圖a,圖b.如是結(jié)果,可以作為本文理論的佐證.

圖a圖像的對(duì)比圖

圖b圖像的對(duì)比圖

[1]Engle R,Granger C,Rice J,et al.Nonparametric estimates of the ralation between weather and clectricity sales[J].J.Amer.Statist.Assoc,1986,81:310-320.

[2]Speckman P.Kernel smoothing in partial linear models[J].J.R.Statist.Soc.B,1988,50:413-436.

[3]洪圣巖.一類半?yún)?shù)回歸模型的估計(jì)理論[J].中國(guó)科學(xué):A輯,1991,21(12):1258-1272.

[4]錢偉民,柴根象.半?yún)?shù)回歸模型小波估計(jì)的強(qiáng)逼近[J].中國(guó)科學(xué):A輯,1999,29(3):233-240.

[5]薛留根.半?yún)?shù)回歸模型中誤差方差估計(jì)的Berry-Esseen界[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,48(1):157-170.

[6]胡宏昌,胡迪鶴.半?yún)?shù)回歸模型小波估計(jì)的強(qiáng)相合性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2006,49(6):1417-1424.

[7]布洛克威爾.時(shí)間序列的理論與方法[M].2版.田錚,譯.北京:高等教育出版社,2003.

[8]陳乃輝.隨機(jī)自變量多項(xiàng)式回歸函數(shù)的估計(jì)問題[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2009,29:(3):297-308.

[9]莫國(guó)端,劉開第.函數(shù)逼近論方法[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[10]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006.

[11]趙選民.半?yún)?shù)回歸模型非參數(shù)分量L1模估計(jì)的最優(yōu)收斂速度[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1997,13(2):6-11.

On separated estimation for semiparametric regression model under independent case

CHEN Nai-hui

(School of Applied Mathematics,The Central University of Finance and Economics,Beijing100081,China)

By using method of best approximation moment estimate,the estimate of non-parameter section for semiparametric regression model is put out and its kind achieve the join of L2convergence and strong consistent, the estimate of parameter section for the model is put out and its kind achieve strong consistent and consistent asymptotic normality.Lastly,a analog experiment is designed and practised.

semiparametric regression model,random functional approximation,moment estimate,consistent asymptotic normality

O212

A

1008-5513(2009)04-0654-11

2008-11-11.

陳乃輝(1959-),副教授,研究方向：概率統(tǒng)計(jì).

2000MSC:62G08,62G20,41A10