臧楓葉

相似三角形部分是初中幾何內(nèi)容的重要組成部分,并且它的應(yīng)用也貫穿了初三幾何知識的始終,應(yīng)用它可以解決許多幾何問題,比如證角相等、線段相等、線段成比例，求線段的比等知識。因此，學(xué)好這部分內(nèi)容對以后解決問題至關(guān)重要。

我在多年的教學(xué)中，經(jīng)過長期的摸索、實踐，認(rèn)為學(xué)好這部分內(nèi)容的關(guān)鍵是尋找所需的相似三角形，也在實踐中總結(jié)也了幾條證相似三角形的方法。下面就如何尋找相似三角形談自己的幾點看法，供大家商榷。

一、三點定位法

所謂“三點定位法”，就是根據(jù)要證線段的比例式，觀察其兩個比的兩個前項和后項是否分別為同一個三角形的兩邊;或第一個比的前、后項與第二個比的前、后項是否分別為同一個三角形的兩邊，確定需證的相似三角形。

例1．已知，如圖，Rt△ABC中,CD 是斜邊上的高,求證CD2﹦AD?DB

分析:從待證式入手,欲證 CD2﹦AD?DB， 先化成例式, 即 , 第一個比中的前后兩項CD、AD中的三點構(gòu)成△ADC；第二個比中的前后兩項DB、CD中的三點構(gòu)成△CDB,需證△ ADC∽CDB,由Rt△ABC可證∠A﹢∠B﹦90°;CD是高,可證Rr△ACD中∠ACD﹢∠A﹦90°. 所以,∠ACD﹦∠B, 加上兩個直角,故可證△ADC ∽△CDB,從而命題得證.

二、 等線段代換法

如果所證的比例式中的四條線段不在兩個相似三角形中，而圖中又隱含有相等線段（如等腰三角形、正方形、中點、中垂線、同圓半徑等圖形），常可考慮等線段代換。

例2．如圖，△PQR是等邊三角形,∠APB﹦120°,求證AQ?RB﹦QR2

分析:欲證AQ?RB﹦QR2,化成比例式 ,而A、B、Q、R四點共線，不構(gòu)成三角形，而已知條件中△PAR為等邊三角形，所以知PQ﹦PR﹦QR,這樣比例式可變?yōu)榱?,故可證△APQ∽△PBR.而從等邊△PQR可知∠PQR﹦∠PRQ﹦60°,即∠AQP﹦∠PRB﹦120°,而條件中有∠APB﹦120°,加上∠A為公共角,故可證△APQ∽△PBR, 故命題得證.

三、等積代換法

如果所證比例式中的四條線段不在兩個相似三角形中，而圖中又含有等積式的基本圖形（如相交弦定理、切割線定理等圖形）通?？梢钥紤]等積式代換。

例3．已知，如圖⊙O和⊙O′都經(jīng)過點A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q、M，交AB的延長線于N,求證PN2﹦NM?NQ

分析:從待證式PN2﹦NM?NQ入手,三條線段在同一直線上,不構(gòu)成三角形,故可從MN?NQ著手,從圖上可以看出,NQ和NA為⊙O′的兩條割線,由此可知MN?NQ﹦NB?NA,故待證式換成PN2﹦NB?NA,即,由上面的“三點定位法”可知，需證△PNB∽△ANP,故可連PB、PA，從條件NP為⊙O的切線可知，∠NPB﹦∠NAP，加上∠ANP=∠NAP，故△PNB∽△ANP，所以命題得證.

四、等比例代換

如果所證比例式中的四條線段不在兩個相似三角形中，而應(yīng)用等線段代換、等積代換又難以解決，則可考慮等比代換。

例4．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AE=EC，連DE，延長交AB的延長線于F,求證;AB?AF=AC?DF.

分析:要證AB?AF=AC?DF,即證,須證△ABC∽△DAF,從圖形結(jié)合條件判定是不可能的(△ABC是直角三角形,△DAF顯然不是直角三角形),因此可考慮等比代換,從 入手,易證△ABC∽△DBA,知 ,需證 ,變?yōu)樽C△DAF∽△FBD,而E是AC的中點,AD⊥BC,∠BAC=90°,所以∠FAD=∠C,∠EDC=∠FDB,又∠F為公共角,故△FDA∽△FDB.

等比代換通常通過平行線轉(zhuǎn)換比,或通過兩對三角形相似尋找中間比達(dá)到目的.

經(jīng)過多年的實踐,學(xué)生利用我所總結(jié)的四條結(jié)論解決相關(guān)的問題,覺得遇到問題有處入手了,解決問題的思路寬了,解題容易了.這樣不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強了自信心,而且提高了學(xué)生的解題能力，可以說在教學(xué)中起到了事半功倍的效果。

（河北省宣化縣賈家營興華中學(xué)）