杜士連

【摘要】數(shù)學(xué)源自于生活,生活離不開數(shù)學(xué),只有從探索知識(shí)的來源中學(xué)習(xí),體會(huì)“數(shù)學(xué)家”的創(chuàng)造性愉悅,才能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,若能恰當(dāng)?shù)亟沂緮?shù)學(xué)知識(shí)的形成過程, 展示數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維過程,滲透數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維方法,就能有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高他們分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力,進(jìn)而促進(jìn)他們思維能力和整體素養(yǎng)的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)、知識(shí)來源、探索、思維能力

Let the student feeling become aware mathematics knowledge source of the formation

Du Shilian

【Abstract】Mathematics comes from the life, the life cannot leave mathematics, only then studies from the exploration knowledge's origin, realized “mathematician” the creativity is joyful, can stimulate student's creative thinking. In mathematics classroom instruction, if can promulgate mathematics knowledge appropriately the forming process, demonstrated that the mathematician discovered mathematics rule the thinking process, the seepage mathematics discovery's thought method, can stimulate the student to study mathematics effectively the interest, enhances them to analyze, the solution mathematics question ability, then promotes their power of thought and the overall accomplishment development.

【Key words】Mathematics, the knowledge originate, the exploration, the power of thought

新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào):數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要重視教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí),而且還要揭示獲取知識(shí)的思維過程, 探索知識(shí)形成的來源,讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程,發(fā)展探索性能力,感受"數(shù)學(xué)家"創(chuàng)造性的愉悅,從而有效地調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,并最終形成學(xué)生獨(dú)立分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生探索性思維能力。

著名美國(guó)心理學(xué)家奧蘇貝爾指出“學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)是以教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來的?！睂W(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生心理結(jié)構(gòu)在一定條件下,經(jīng)學(xué)習(xí)過程而相互作用的產(chǎn)物。它的形成,須經(jīng)過一定的學(xué)習(xí)過程。這個(gè)學(xué)習(xí)過程是新知識(shí)同原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)知識(shí)經(jīng)過“同化”或“調(diào)整”, 不斷形成和發(fā)展新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的復(fù)雜過程。因此,教學(xué)中,我們要立足于教材,對(duì)教材進(jìn)行剖析,加工,重新組織,形成相對(duì)完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)知過程,并在這個(gè)過程中,既考慮數(shù)學(xué)知識(shí)的科學(xué)性,又考慮學(xué)生的可接受性,進(jìn)而,充分再現(xiàn)概念的形成過程,再現(xiàn)定理、公式的發(fā)現(xiàn)推證過程、展示例習(xí)題的分析解決過程,經(jīng)過探索知識(shí)的來源,努力提高學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思維水平和認(rèn)知能力,優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.再現(xiàn)概念的形成之源,培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維能力

傳統(tǒng)的知識(shí)教學(xué)觀認(rèn)為,概念僅僅是思維的基礎(chǔ),因而在概念教學(xué)中,往往忽略概念及其定義的形成過程,教學(xué)中表現(xiàn)為壓縮概念的形成過程,而現(xiàn)代教學(xué)觀認(rèn)為,概念既是思維的基礎(chǔ),又是思維的結(jié)果。在概念及其定義形成或產(chǎn)生之前,往往存在著生動(dòng)活潑的思維過程,而這個(gè)過程恰恰是進(jìn)行探索性思維能力的培養(yǎng),促進(jìn)素質(zhì)全面發(fā)展的極好素材和契機(jī)。

因此,概念教學(xué)不應(yīng)簡(jiǎn)單給出定義,應(yīng)恰當(dāng)?shù)卣故酒湫纬傻倪^程,拉長(zhǎng)概念教學(xué)中被壓縮了的“知識(shí)鏈”,讓學(xué)生積極參與下定義的過程。教學(xué)中注意揭示概念的產(chǎn)生背景,展示概念的形成過程,再現(xiàn)“數(shù)學(xué)家的思維過程”。具體操作程序是:

( 1 )創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生探索動(dòng)機(jī)和求知欲望;

(2)揭示概念產(chǎn)生的背景,讓學(xué)生了解定義的合理性和必要性;

(3)暴露概念的形成過程,讓學(xué)生綜合概括定義的本質(zhì)屬性;

(4)鞏固和加深概念理解,讓學(xué)生在變式和比較中活化思維。

如“圓”的概念的教學(xué),按照以下符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的過程安排教學(xué),就充分展開了學(xué)生的思維。①實(shí)例——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境。引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想生活中“圓”的有關(guān)的許多實(shí)例把生活中的具體的“圓”逐步引向數(shù)學(xué)中抽象的“圓”,并借以激發(fā)學(xué)生的求知欲望和學(xué)習(xí)興趣。②演示——揭示過程。 師生合作演示,用一根(定長(zhǎng)〉繩子,將一端固定,拉緊另一端,在黑板(平面)上旋轉(zhuǎn)一周,畫出一條封閉的曲線。這個(gè)畫圖過程完全呈現(xiàn)給學(xué)生,進(jìn)而讓學(xué)生充分感知這一過程。③歸納——兩種定義。先引導(dǎo)學(xué)生概括歸納出“圈”的描述性定義。最后再啟發(fā)學(xué)生修正并運(yùn)用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義:圓是平面上到定點(diǎn)的距離等長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。這里,就充分揭示了“圓”的概念的形成過程, 并讓學(xué)生積極參與這一過程。

再現(xiàn)概念形成,豐富感知,由于借助實(shí)物、教具、圖片等,讓學(xué)生動(dòng)用眼、耳、口、手等多種感官,通過看、聽、說、畫等多種形式,共同參與形成某個(gè)概念的活動(dòng)。不僅激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情趣,而且這種聯(lián)合傳遞能強(qiáng)化進(jìn)入大腦的信息并建立多種聯(lián)系的通道。

感知概念來源于生活實(shí)踐,從感知始。中學(xué)生的思維正從形象思維向抽象思維過渡,因此,概念教學(xué)必須聯(lián)系實(shí)際,讓學(xué)生對(duì)概念所描述的對(duì)象有盡可能多的感知。否則,感知貧乏將使概念的形成缺少形象思維的支持,學(xué)生便難于理解,只會(huì)機(jī)械記憶,不會(huì)理解運(yùn)用。再現(xiàn)概念的形成之源, 這不僅使教學(xué)直觀生動(dòng),又浮現(xiàn)了“數(shù)學(xué)家的思維過程”,使學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)家”的發(fā)現(xiàn)感,還發(fā)展了學(xué)生思維,促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化,培養(yǎng)了學(xué)生的探索性思維能力。

2.再現(xiàn)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)推證之源,培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維能力

數(shù)學(xué)教科書的編寫,往往把其發(fā)展、證明思路的猜想、嘗試、分析等都省略去,這時(shí)老師就要啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生去探索,分析當(dāng)時(shí)前人是如何發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的,來誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性。新課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為,那些被壓縮隱去的知識(shí)發(fā)生過程,往往是培養(yǎng)學(xué)生探索性思維能力的極好素材或途經(jīng)。規(guī)律課教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生參與這樣一段生動(dòng)活潑,激發(fā)情趣的思維過程,應(yīng)該貫徹“既教猜想結(jié)論,又教發(fā)現(xiàn)證明”的教學(xué)原則。

著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞曾高呼:“我們必須先發(fā)現(xiàn)定理后再去證明它,我們應(yīng)當(dāng)先猜測(cè)到證明的思路然后才能作出證明?！币虼?在教學(xué)中,應(yīng)根據(jù)教材、學(xué)生等實(shí)際情況,積極創(chuàng)設(shè)探究情境,以充分再現(xiàn)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程,證明思路的猜想過程,證明方法的嘗試過程,使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程,即提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在自主探索與合作交流中體驗(yàn)成功喜悅或經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),進(jìn)而形成學(xué)生完整合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

比如,“多邊形內(nèi)角和定理”的教學(xué),可作如下設(shè)計(jì):

(1)創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)探索欲望,教師:三角形的內(nèi)角和是多少?四邊形的內(nèi)角和又是多少?后者用何種方法求得的?你能探求一下五邊形的內(nèi)角和嗎?

(2)鼓勵(lì)大膽猜想,指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方法。教師:從四邊形、五邊形內(nèi)角和的探求方法中,能給你什么啟發(fā)呢?學(xué)生:連對(duì)角線的方法轉(zhuǎn)化為三角形。教師:你能否用列表法給出多邊形內(nèi)角和與它們的邊數(shù)、化歸為三角形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系?從中你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你猜一猜n邊形內(nèi)角和有何結(jié)論?

(3)再現(xiàn)思維過程,探索論證方法。教師:我們?nèi)绾悟?yàn)證或推斷上面猜想的結(jié)論呢?既然多邊形問題可轉(zhuǎn)化為三角形問題,那不同的轉(zhuǎn)化方法,就可能產(chǎn)生不同的效果,上面我們是用從一頂點(diǎn)出發(fā)連對(duì)角線的方法來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo),還有其它方法嗎?由三角形的構(gòu)成條件知,在已知一邊(多邊形的邊)的情況下,只需再另找一點(diǎn)即可構(gòu)成三角形,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo),請(qǐng)問這點(diǎn)該如何定呢?你能給出一般性回答嗎?學(xué)生:一點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系有三種:點(diǎn)在多邊形邊上,點(diǎn)在多邊形邊內(nèi),點(diǎn)在多邊形外,在邊上又有兩種情況:一是頂點(diǎn),二是非頂點(diǎn)。教師:哪一種對(duì)獲取證明最簡(jiǎn)潔? 至此,教材中"在多邊形內(nèi)任取一點(diǎn)"的思維過程得以充分自然的再現(xiàn)。最后,師生共同完成定理的證明過程。

(4)反思探索方法,優(yōu)化思維過程。教師:從上面的探索過程中,我們發(fā)現(xiàn)化歸思想起很大作用,但是,又是什么啟發(fā)我們用這種思想指導(dǎo)解決問題呢?原來,我們選取考察幾個(gè)具體的多邊形,它發(fā)現(xiàn)特殊情況下的解決方法,再把它運(yùn)用到一般問題的解決中,這實(shí)質(zhì)上是一種特殊化思想,它對(duì)探求解題策略有著重要的作用,我們?cè)賮砜疾煲幌率阶? n邊形內(nèi)角和=nxI80°-360°,你能設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形來解釋它嗎?對(duì)于n邊形內(nèi)角和= (n-1) x 180°-180°,又是怎樣的幾何解釋呢通過這樣四個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué),不僅使學(xué)生獲得了知識(shí),而且更重要的是有效地發(fā)展了學(xué)生的探索性思維能力。

再現(xiàn)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與推證過程,這樣就大大豐富了學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu),使學(xué)生對(duì)規(guī)律知識(shí)的認(rèn)識(shí)更清晰、穩(wěn)定,運(yùn)用更加靈活,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的愉悅,學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣,提高學(xué)生分析、解決數(shù)學(xué)規(guī)律問題能力,促進(jìn)學(xué)生探索思維能力的發(fā)展。

3.探索例題、習(xí)題的轉(zhuǎn)化之源,培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維能力

傳統(tǒng)教學(xué)觀認(rèn)為,數(shù)學(xué)問題教學(xué)就是“題型+方法”的機(jī)械模式化的大運(yùn)動(dòng)量解題技能的訓(xùn)練,這種教學(xué)方式必將導(dǎo)致“題?！?造成學(xué)生“聽懂但不會(huì)做”的現(xiàn)象,帶來學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過重, 知識(shí)技能僵化,思維能力發(fā)展低層次的后果。新課標(biāo)數(shù)學(xué)教學(xué),數(shù)學(xué)問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心, 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的就是要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)分析和解決實(shí)際問題。由于數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題大多是紛繁復(fù)雜,形式多變的,僅靠模式化的"解題套路"的訓(xùn)練是難以應(yīng)付的,唯有教給學(xué)生解決問題的思考方法、策略,才是達(dá)到上述目的的最佳途徑。這就是探究知識(shí)的轉(zhuǎn)化之源。比如習(xí)題“已知梯形ABCD, AD∥BC,對(duì)角線AC=8, BD=6,上底AD=3,底為BC=7,求梯形ABCD的面積?”同學(xué)們思考如何去轉(zhuǎn)化求解呢?師分析:這一問題,要獲取解決方法,首先需要探索宏觀解題策略,而在探索解題策略的思維活動(dòng)中,化歸思想的指導(dǎo)將思維定向轉(zhuǎn)化成求一個(gè)三角形的面積:其次是如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化,即化歸方法的選擇。由轉(zhuǎn)化目標(biāo)是三角形,所以平移對(duì)角線AC或BD,平移后你能證明△BDE的面積與梯形ABCD面積相等嗎?這個(gè)△BDE有什么特點(diǎn)呢?顯然滿足勾股定理,從而達(dá)到求這個(gè)梯形面積的目的。

通過問題的變式教學(xué),尤其是讓學(xué)生探索解題方法的活動(dòng),使其真正認(rèn)識(shí)到求解該問題的實(shí)質(zhì)是等積變換,即要在保持面積不變的情形下實(shí)現(xiàn)目標(biāo),而化歸的手段是“平移梯形的對(duì)角線交底邊延長(zhǎng)線于一點(diǎn)”,作輔助線是為“梯形演變?yōu)橐粋€(gè)三角形”這個(gè)三角形三邊也滿足直角三角形的轉(zhuǎn)化目標(biāo)。這樣的教學(xué)突出了解決問題方法的選擇思考探索過程,再現(xiàn)了探索問題的思維過程,有效地避免“題海戰(zhàn)術(shù)”,減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān),提高了學(xué)生的探索性思維和綜合解題能力。

數(shù)學(xué)教育與心理學(xué)研究表明:知識(shí)是在“探源”中消化、理解、掌握的,能力是在“探源”中培養(yǎng)、發(fā)展、提高的,因此,數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們應(yīng)切實(shí)重視“探源”教學(xué),優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu),增強(qiáng)學(xué)生素養(yǎng)?！皵?shù)學(xué)源自于生活,數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活”。只有這樣讓學(xué)生親自經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)生活中問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用,這樣才能得到不同層次的發(fā)展。也實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué);人人都能獲得必需的數(shù)學(xué);”不同的人在數(shù)學(xué)中得到不同的發(fā)展。

收稿日期:2009-09-12