培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的思考與嘗試

尹文運(yùn)　邊軍輝

一、培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性

目前數(shù)學(xué)教育“重知識(shí)輕文化”的傾向十分明顯。大學(xué)數(shù)學(xué)教育多半以講授數(shù)學(xué)知識(shí)及其應(yīng)用為主,對(duì)于數(shù)學(xué)在思想、精神及人文方面的一些內(nèi)容很少涉及。數(shù)學(xué)教學(xué)中存在重結(jié)論不重證明、重計(jì)算不重推理、重知識(shí)不重思想的傾向;而學(xué)生為了應(yīng)付考試,也常以“類(lèi)型題”的方式去學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)。這些傾向和做法一定程度上影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和能力素質(zhì)的提高。

大學(xué)數(shù)學(xué)教育既是科學(xué)素質(zhì)的教育,同時(shí)也是一種文化素質(zhì)的教育。大學(xué)數(shù)學(xué)課程不僅要傳授知識(shí),更要傳授數(shù)學(xué)精神和近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法,以提高學(xué)生的思維能力,鍛煉其意志品質(zhì),培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。所謂數(shù)學(xué)素養(yǎng),概括地講就是指靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的理論和方法觀(guān)察、分析、解決問(wèn)題的能力,具體地講包括看問(wèn)題的數(shù)學(xué)角度、有條理的理性思維、邏輯推理的能力和習(xí)慣、合理地量化和簡(jiǎn)化的素質(zhì)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)正是使人終生受益的精華,因此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)對(duì)教師來(lái)講比教會(huì)學(xué)生做題更重要。

事實(shí)上,數(shù)學(xué)不僅是一種重要的工具或方法,也是一種思維模式,即數(shù)學(xué)式的理性思維;數(shù)學(xué)不僅是一門(mén)科學(xué),也是一種文化,即數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)不僅是一些知識(shí),也是一種素質(zhì),即數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,如何有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué),如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),已成為數(shù)學(xué)教育工作者普遍關(guān)注和潛心探索的一個(gè)重要課題。在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中貫徹?cái)?shù)學(xué)思想、精神,提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)勢(shì)在必行,這是每一個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者的莊嚴(yán)使命。我們以“培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)”為課題進(jìn)行了兩年多的探討、實(shí)踐、研究,取得了一定的進(jìn)展,也得到了一些經(jīng)驗(yàn)。

二、如何培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

我們始終秉持寓創(chuàng)新性于科學(xué)性之中,寓思想性于知識(shí)性之中,寓素質(zhì)教育于數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程之中的基本原則,通過(guò)以下幾個(gè)方面的工作努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)要突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)

抽象性、精確性及應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的特點(diǎn),在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要突出這些特點(diǎn),努力培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

數(shù)學(xué)的抽象性比較集中地體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的概念、定理、命題中,正是高度的抽象性幫助我們抓住了事物的共性和本質(zhì)。把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程,它要求人們善于把問(wèn)題中的次要因素、次要關(guān)系、次要過(guò)程拋在一邊,抽出主要因素、主要關(guān)系和主要過(guò)程,而后化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種方法加以拓展,學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中遇到各種問(wèn)題和表象時(shí),就能進(jìn)行有條理的理性思維,從而抓住事物和問(wèn)題的本質(zhì),潛移默化中逐步地形成認(rèn)識(shí)客觀(guān)世界的正確方法。

數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)為數(shù)學(xué)定義的準(zhǔn)確性、推理和計(jì)算的邏輯嚴(yán)格性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。教學(xué)中要有意識(shí)地加強(qiáng)精確性訓(xùn)練,使學(xué)生思維嚴(yán)密,表述簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確。極限定義的講授就是一個(gè)最好的例證。

廣泛的應(yīng)用性也是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一。正像著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出的那樣:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,日用之繁,數(shù)學(xué)無(wú)處不在?！备叩葦?shù)學(xué)中涉及應(yīng)用很廣泛,比如講函數(shù),可以舉工薪階層納稅問(wèn)題,個(gè)人應(yīng)交稅款與薪金所得之間就是一個(gè)分段函數(shù);講導(dǎo)數(shù),可以舉拉船靠岸問(wèn)題和人在月球上能跳多高等學(xué)生感興趣的問(wèn)題;講概率可以舉抽簽問(wèn)題和生日問(wèn)題;還有諸如購(gòu)物、控制體重、靜脈輸液、抵押貸款、火箭速度等等問(wèn)題都可以用作實(shí)踐性教學(xué)的素材。通過(guò)應(yīng)用性?xún)?nèi)容教學(xué),不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,而且使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)了應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決身邊的問(wèn)題,潛移默化之中提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映在人的意識(shí)中并經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果,是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過(guò)程的提煉、抽象、概括和升華,是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí),是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂。所謂數(shù)學(xué)方法,就是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式,是指在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下,為數(shù)學(xué)活動(dòng)提供思路和邏輯手段以及具體操作原則的方法,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本策略和程序。

在教學(xué)中要重視化歸、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想的滲透,比如概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、方法的思考過(guò)程、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、思路的探索過(guò)程、規(guī)律的揭示過(guò)程等等,都是蘊(yùn)藏著向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法、訓(xùn)練思維的極好素材。

例如在講完不定積分之后可對(duì)各種積分方法進(jìn)行歸納小結(jié),概括指出積分計(jì)算的指導(dǎo)思想實(shí)際上就是化歸思想,即化未知為已知,使知識(shí)向舊知識(shí)轉(zhuǎn)化的思想方法。我們首先要熟記基本積分公式及法則,然后對(duì)于一般的、復(fù)雜的積分,則可通過(guò)恒等變換(三角、代數(shù))、第一換元法、第二換元法、分部積分法以及其它方法(如其它變量替換、待定系數(shù)法等)轉(zhuǎn)化為基本積分進(jìn)行計(jì)算,從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的,而換元法、分部法以及其它各種方法則只是在積分計(jì)算中實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段而已。

再如數(shù)的概念的擴(kuò)充,從自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)、分?jǐn)?shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)等是通過(guò)類(lèi)比思想實(shí)現(xiàn)的。通過(guò)類(lèi)比,整數(shù)的運(yùn)算法則逐漸推廣到更大的數(shù)域中去了,從而發(fā)明和建立起了數(shù)學(xué)分析和復(fù)變函數(shù)等各門(mén)學(xué)科。又如講完數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)后,可類(lèi)比得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的有關(guān)結(jié)論;二重積分和三重積分乃至曲線(xiàn)積分、曲面積分的概念和計(jì)算都可以用定積分去類(lèi)比。類(lèi)比法的應(yīng)用使學(xué)生加深了對(duì)前后知識(shí)的聯(lián)系的理解,對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起到了事半功倍之效。

通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的滲透,可以深深地激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的興趣和研究,使學(xué)生逐步接觸到數(shù)學(xué)乃至自然科學(xué)的精髓。

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)要注重?cái)?shù)學(xué)史的教學(xué)

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)的歷史,是數(shù)學(xué)家們克服困難和戰(zhàn)勝危機(jī)的記錄,是蘊(yùn)涵了豐富數(shù)學(xué)思想的歷史。在授課中適當(dāng)?shù)刎灤?shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)人物的介紹,可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展、思想法方法的形成、科學(xué)探索的艱辛,這些都有助于學(xué)生掌握和理解數(shù)學(xué)的概念、理論和方法,從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中可以介紹無(wú)理量的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、微積分和非歐幾何的創(chuàng)立、費(fèi)馬大定理的證明等經(jīng)典史料,學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的過(guò)程中就能領(lǐng)會(huì)其中所蘊(yùn)涵的深刻的哲理,這不是通過(guò)學(xué)習(xí)通常的教科書(shū)中被“包裝”過(guò)的定理就能輕而易舉得到的。在授課中適當(dāng)穿插數(shù)學(xué)人物的介紹,可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家的曲折人生和在數(shù)學(xué)上作出的杰出貢獻(xiàn),領(lǐng)略大師的精神風(fēng)采和人格魅力,達(dá)到數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人格修養(yǎng)的雙重提高。

在授課中要適當(dāng)穿插介紹數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的聯(lián)系以開(kāi)拓學(xué)生視野,豐富學(xué)生知識(shí)面。數(shù)學(xué)與自然科學(xué)、哲學(xué)、藝術(shù)等其他學(xué)科之間存在著廣泛的聯(lián)系,甚至是很多學(xué)科的基礎(chǔ)和生長(zhǎng)點(diǎn),它對(duì)人類(lèi)文明的發(fā)展起著巨大的作用。比如海王星的發(fā)現(xiàn)過(guò)程就是數(shù)學(xué)和天文學(xué)關(guān)系密切一個(gè)很好的例證;“阿基里斯追不上烏龜”的著名哲學(xué)問(wèn)題,恰好體現(xiàn)了有限與無(wú)限的數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)與物理學(xué)更是密不可分,牛頓、笛卡兒等人既是著名的數(shù)學(xué)家也是著名的物理學(xué)家。

在授課中還要適時(shí)介紹數(shù)學(xué)分支、最新的發(fā)展及對(duì)人類(lèi)文明的深刻影響,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和人文價(jià)值,培養(yǎng)大學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)、文化素養(yǎng)和勇于創(chuàng)新的精神。比如二十世紀(jì)七、八十年代華羅庚教授大力提倡和推廣的優(yōu)選法、統(tǒng)籌法對(duì)實(shí)際生產(chǎn)生活產(chǎn)生了巨大的影響;吳文俊教授創(chuàng)立的數(shù)學(xué)機(jī)械化方法在500米射電望遠(yuǎn)鏡的研究和智能計(jì)算機(jī)的輔助設(shè)計(jì)等方面得到了廣泛應(yīng)用。

通過(guò)以培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo)的數(shù)學(xué)實(shí)踐,學(xué)生們普遍反映數(shù)學(xué)課較以前有了思想深度,給他們留下長(zhǎng)久的思想激蕩和對(duì)知識(shí)的深刻理解。學(xué)生們體會(huì)到在學(xué)習(xí)了大學(xué)數(shù)學(xué)后思維方式、分析處理問(wèn)題的方法和以前相比有了較大的不同,看待問(wèn)題與事物更客觀(guān)、理性,處理問(wèn)題更加合理、全面,這種思維方式不僅對(duì)他們的學(xué)習(xí)有幫助,同時(shí)其影響也延伸到了日常生活中,使他們處理日常生活中的關(guān)系與問(wèn)題時(shí)也更加成熟。

可見(jiàn),通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授、數(shù)學(xué)觀(guān)念的培養(yǎng)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的熏陶,學(xué)生在一定程度上形成了一種“現(xiàn)代數(shù)學(xué)頭腦”,他們?cè)谟^(guān)察問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的每一個(gè)過(guò)程中,都帶有鮮明的“數(shù)學(xué)色彩”,這就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。重素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)明顯拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離,使學(xué)生開(kāi)闊眼界,感受到了數(shù)學(xué)之美,領(lǐng)略了數(shù)學(xué)大家的風(fēng)采,了解了數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系和數(shù)學(xué)各分支產(chǎn)生的背景及其最新發(fā)展。重素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思想、方法、文化有了一個(gè)全面的、深刻的了解,學(xué)生在一定程度上具備了數(shù)學(xué)的理性思維方式、邏輯推理能力和合理地量化、簡(jiǎn)化及運(yùn)籌帷幄的素質(zhì)。

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