妙不可言的撕不裂數(shù)

小　七　小　璐

同學(xué)們，認(rèn)識了“對稱數(shù)““倍回文數(shù)”以及“鏡反數(shù)”等一系列數(shù)后，是不是發(fā)覺數(shù)的世界真的很有趣、很奇妙呢!在這里，數(shù)字不再只是一堆枯燥的數(shù)字，而是一個個可愛的小精靈，吸引著我們?nèi)ヌ骄?，破譯它們的奧秘。

今天，我們請來了一位神秘的嘉賓——掑不裂數(shù)。

撕不裂數(shù)是怎樣的一種數(shù)呢?首先我們來看一個四位數(shù)9801，9801不僅是一個“倍對稱數(shù)”，它還有哪些更有趣的特性?細(xì)心的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)，如果我們把9801截成兩段“98”與“01”，相加之后的和再自乘，得到的仍是9801，即(98+01)²=9801。怎么樣，是不是很有意思?我們把9801就叫做撕不裂數(shù)。

撕不裂數(shù)是一種奇怪的數(shù)，如果把它從中間分成兩個數(shù)，再將它們加起來，然后將它們的和自乘，結(jié)果得到的仍然是原來的數(shù)，這種數(shù)就叫做撕不裂數(shù)，也叫喀氏數(shù)。(它是印度數(shù)學(xué)家喀普利卡最先發(fā)現(xiàn)的，所以人們把這種怪?jǐn)?shù)命名為“喀普利卡數(shù)”，簡稱“喀氏數(shù)”，也稱為“分和累乘再現(xiàn)數(shù)”。)

撕不裂數(shù)不僅存在于四位數(shù)中，其它位數(shù)的數(shù)也有。美國數(shù)學(xué)家亨特就發(fā)現(xiàn)了一個八位數(shù)的撕不裂數(shù)：60481729，(6048+1729)²=60481729。瞧，把它攔腰切斷，再揉合一起，最后只要翻個身(自乘)，便又完好無損地站到我們面前了。這簡直如“分尸再續(xù)”的魔術(shù)一般，令人驚奇、贊嘆!

像這樣撕不裂的自然數(shù)并不多，具有類似性質(zhì)的四位數(shù)，還有沒有了呢?我們可以采用下面的方法尋找：

設(shè)四位數(shù)的前兩位(千位數(shù)與百位數(shù))為x，后兩位(十位數(shù)與個位數(shù))為y，于是這個四位數(shù)就是：100x+y，按照題意，就是要使等式成立：(x+y)²=100x+y，y只能夠是0，1或25。我們把這些結(jié)果代入上式：

當(dāng)y=0時，x=0或100，這組解不符合所設(shè)的條件；

當(dāng)y=1時，x=0或98(0不合題意，舍去)；

當(dāng)y=25時，x=20或30。

因此，具有這種有趣性質(zhì)的四位數(shù)，除了9801以外，還有3025和2025兩個，即(20+25)²=2025，(30+25)²=3025。

那么，兩位數(shù)中、六位數(shù)中有沒有撕不裂的數(shù)呢?我們可以模仿上面的方法尋找得到：兩位數(shù)中只有一個撕不裂數(shù)：81，(8+1)²=81；六位數(shù)中有兩個：494209和998001，(494+209)²=494209，(998+001)²=998001。

通過上面的例子我們發(fā)現(xiàn)，兩位數(shù)中的撕不裂數(shù)有81，四位數(shù)中的撕不裂數(shù)有9801，六位數(shù)中的撕不裂數(shù)有998001，根據(jù)這些數(shù)形式上的結(jié)構(gòu)特征，試猜想八位數(shù)99980001是撕不裂數(shù)嗎?十位數(shù)中有撕不裂數(shù)嗎?同學(xué)們，你能發(fā)現(xiàn)這里有什么規(guī)律嗎?

我們可以發(fā)現(xiàn)撕不裂數(shù)都是偶位數(shù)，從中間分成兩個數(shù)后，其中一個個位數(shù)是8的數(shù)前面都是9，另一個個位數(shù)是1的數(shù)前面都是0，當(dāng)然81除外。

一般地，2n(n>1)位數(shù)中都有一個撕不裂數(shù)，它們從前往后分別由(n-1)個9，一個8，(n-1)個0，一個1組成，即99……99800，……001的形式。

上面我們只討論了偶位數(shù)中的撕不裂數(shù)，人們還發(fā)現(xiàn)，除三位數(shù)中沒有撕不裂數(shù)外，其他奇位數(shù)中同樣有撕不裂數(shù)，只是奇數(shù)位先在數(shù)首補0，湊成偶數(shù)位后再從中間截開。如：

五位數(shù)中的88209，(88+209)²=88209；

七位數(shù)中的7441984，(744+1984)²=7441984；

九位數(shù)中的493817284，(4938+17284)²=493817284；

十一位數(shù)中的20408122449，(20408+122449)²=20408122449；……

想一想：

你能寫出一個2010位數(shù)的撕不裂數(shù)嗎?

(參考答案)

它是從前往后分別有：1004個9，一個8，1004個0，一個1組成。即99……99800……001形式。