張新成

“函數(shù)的概念”是《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1》(北師大版)第二章的教學內(nèi)容,全國高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎獲得者羅文靜老師在教學這節(jié)課時,并沒有照本宣科,而是以問題為基礎(chǔ)構(gòu)建了學生主動學習的教學過程,引導學生從特殊到一般進行歸納總結(jié),既讓學生經(jīng)歷了概念的形成過程,又達到促進學生轉(zhuǎn)變學習方式的目的,充分體現(xiàn)了新課改的教學理念。

一、創(chuàng)設問題——激發(fā)學生主動學習興趣

〔問題1〕(多媒體展示)北京時間2007年10月24日18時05分,萬眾矚目的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星成功發(fā)射,在“嫦娥一號”飛行期間,我們時刻關(guān)注著“嫦娥一號”離月球表面的距離y隨時間t是如何變化的,在數(shù)學上我們用函數(shù)來描述這種運動變化中的數(shù)量關(guān)系。

“嫦娥一號”衛(wèi)星大約在發(fā)射后216小時運行在距月球表面200 km的圓形軌道上,即有y=200 t (t≥216),根據(jù)初中函數(shù)定義,此時,距離y是時間t的函數(shù)嗎?要解決這個問題,就必須再進一步研究函數(shù)的本質(zhì)。

〔賞析〕羅老師以學生感興趣的事件——“嫦娥一號”探月衛(wèi)星成功發(fā)射,來引入新課,不僅能提高學生主動學習的興趣,而且滲透了數(shù)學意識和數(shù)學觀念,達到激活學生原有知識的目的;更為巧妙的是羅老師從中創(chuàng)設的問題1,引發(fā)了學生的認知沖突,為下一步用集合語言來描述函數(shù)作好了鋪墊,起著承上啟下的作用。

二、確定問題——引導學生主動觀察思考

〔問題2〕(多媒體展示)一枚炮彈發(fā)射后,經(jīng)過26 s落到地面擊中目標。 炮彈的射高為845 m,且炮彈距地面的高度h(單位:m)隨時間t(單位:s)變化的規(guī)律是:

h=130t-5t2。(*)

師:你能得出炮彈飛行5秒、10秒、20秒時距地面多高嗎?其中,時間t的變化范圍是什么?炮彈距離地面高度h的變化范圍是什么?

生:炮彈飛行時間t的變化范圍是數(shù)集A={t|0≤t≤26},炮彈距地面的高度h的變化范圍是數(shù)集B={h|0≤h≤845}。

師:A與B之間有關(guān)系嗎?

生:我覺得應該有一種對應關(guān)系。

師:對。從問題的實際意義可知,對于數(shù)集A中的任意一個時間t,按照對應關(guān)系(﹡),在數(shù)集B中是否都有唯一確定的高度h和它對應?

生:是。

〔問題3〕(多媒體展示)近幾十年來,大氣層中的臭氧迅速減少,因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題。圖1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979年到2001年的變化情況。

師:圖中曲線中時間t的變化范圍是多少?臭氧層空洞面積s的變化范圍是多少?

……

〔問題4〕 (多媒體展示)國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低,恩格爾系數(shù)越低,生活質(zhì)量越高。 表1中恩格爾系數(shù)隨時間(年)變化的情況表明,“八五”計劃以來,我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化。

師:恩格爾系數(shù)與時間之間的關(guān)系是否和前兩個實例中的兩個變量之間的關(guān)系相似?如何用集合與對應的語言來描述這種關(guān)系?

……

〔賞析〕羅老師在這里沒有按照教材的安排,從集合的觀點出發(fā)直接引出函數(shù)的定義,而是精選了與本節(jié)課主題密切相關(guān)的三個實際問題,這就給學生創(chuàng)造了主動觀察思考的條件和空間,充分體現(xiàn)了羅老師創(chuàng)造性運用教材的新課程理念。對于這三個問題,教師主要引導和組織學生觀察和思考,不僅讓學生分別體會到了用解析式刻畫變量之間的對應關(guān)系、用圖像刻畫變量之間的對應關(guān)系、用表格刻畫變量之間的對應關(guān)系和初步感知了函數(shù)中蘊涵著集合與對應關(guān)系的屬性,而且激活了學生的思維,調(diào)動了學習的主動性。

三、提煉問題——引導學生主動合作交流

師:以上三個實例有什么不同點和共同點?

(學生活動:先讓學生自主探究,再分小組討論交流)

生1: 歸納以上三個實例,可看出其不同點是:問題2是用解析式刻畫變量之間的對應關(guān)系,問題3是用圖像刻畫變量之間的對應關(guān)系,問題4是用表格刻畫變量之間的對應關(guān)系。

生2:其共同點是:(1)兩個集合之間都有一種確定的對應關(guān)系;(2)對于A中的每一個x,按照某種對應關(guān)系f,在數(shù)集B中都有確定的y值和它對應。

師:這個同學歸納得準確不準確呢?我們先來思考下面這個問題:

[問題5] (多媒體展示)下面四個圖像表示的對應關(guān)系有沒有和上述三個問題不同的?

生3:應該是A吧,因為我發(fā)現(xiàn)兩個不同的x對應了相同的y。

生4:不對,問題3中就有兩個不同的x對應了相同的y,我覺得應該是B,一個x只能對應一個y,上述三個實例都有這個特點。

……

[賞析]能否歸納出三個實例的共同點和不同點是學生能否從集合的觀點理解函數(shù)的關(guān)鍵,在這里,羅老師為學生創(chuàng)設了先自主探究,再分小組討論、交流的學習情境,既有效地化解了學習的難點,又調(diào)動了全體學生學習的主動性;特別是當學生出錯時,教師并沒有直接予以糾正,而是巧妙地出示問題5,讓學生從圖像中自己發(fā)現(xiàn)錯誤,這樣的處理,不但使學生深化了對函數(shù)概念中的集合與對應關(guān)系的理解,真正成為了知識的意義建構(gòu)者,而且進一步體會到數(shù)形結(jié)合的方法,從而豐富了解決數(shù)學問題的經(jīng)驗和方法。

四、延伸問題——引導學生主動嘗試歸納

師:在三個實例中,大家用集合與對應的語言分別描述了兩個變量之間的依賴關(guān)系,其中一個變量都是另一個變量的函數(shù), 你能否用集合與對應的語言來刻畫函數(shù),抽象概括出函數(shù)的概念呢?

(首先讓學生嘗試歸納,然后師生共同概括)

生:一般地,設A,B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就把對應關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù),記作f ∶A→B或y=f(x),x∈A。此時,x叫做自變量, 集合A叫做函數(shù)的定義域;集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。

師: 在函數(shù)的定義中有哪幾個要點?

生:在函數(shù)的定義中有下面三個要點:

(1)函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B上的一種對應;

(2)集合A中數(shù)的任意性,集合B中數(shù)的唯一性;

(3)值域由定義域和對應關(guān)系唯一確定。

〔賞析〕從三個問題中引伸、抽象出用集合與對應的語言描述函數(shù)的定義,對大部分學生而言會比較困難,這時,羅老師沒有自己包辦,而是先鼓勵學生嘗試,再由師生共同完成,這個活動過程看似平淡,實際上體現(xiàn)了教者注重讓學生經(jīng)歷函數(shù)概念的概括過程,重視學生歸納、概括能力的培養(yǎng)的現(xiàn)代教學理念。

綜觀整堂課,第一個顯著的特點是教師扮演著組織、引導和與學生合作的角色,注重為學生搭建自主探究、討論、交流的平臺,通過這個平臺,不但激發(fā)了學習主體的探索精神和創(chuàng)造力,而且有效地促進了學習方式的轉(zhuǎn)變,改變了原來單一的、被動的學習行為,構(gòu)建了旨在發(fā)揮學生主體性的多樣化學習方式,充分體現(xiàn)了教師是學生學習的組織者、引導者、促進者和合作者,學生是活動的主體的現(xiàn)代教學理念。第二個顯著的特點是整個教學過程以問題為載體,緊緊圍繞函數(shù)概念的本質(zhì)引導學生分析、探究、歸納,概括出用集合與對應的觀點描述函數(shù)的定義和深化對函數(shù)概念的理解,讓學生經(jīng)歷了函數(shù)概念形成的四個階段:感知認識階段、分析本質(zhì)屬性階段、概括形成定義階段、應用與強化階段,有效地實現(xiàn)了學生對函數(shù)概念和本質(zhì)的意義建構(gòu)。(作者單位:江西省高安市教育局教研室) ■

□責任編輯周瑜芽

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