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      疊加法計算各向異性電介質(zhì)平板電容器電容

      2010-01-26 07:04:04鄭永紅
      物理通報 2010年9期
      關(guān)鍵詞:電介質(zhì)高等教育出版社極板

      鄭永紅

      (北京信息科技大學(xué)理學(xué)院 北京 100085)

      電容器是現(xiàn)代電工技術(shù)和電子技術(shù)中的重要元件,在實際中有著廣泛的應(yīng)用[1].電容是電容器的重要參數(shù),根據(jù)不同需要,電容器的形狀以及電容器內(nèi)所填充的電介質(zhì)也不同.平板電容器是最常見的一種電容器,大學(xué)物理教學(xué)中,討論過真空平板電容器、各向同性平板電容器電容的計算.本文根據(jù)平板電容器的串并聯(lián)公式,介紹求解各向異性平板電容器電容的疊加法.利用此方法,進(jìn)一步討論當(dāng)電容器中充有線性和指數(shù)各向異性電介質(zhì)時,電容器電容的計算. 為大學(xué)生提供了一種求解各向異性電介質(zhì)平板電容器電容的方法.

      1 各向同性平板電容器電容

      真空中平板電容器,平板的面積為S,兩平板相距為d(S?d2),如圖1所示.設(shè)兩極板的面電荷密度為±σ,則極板間的電場強(qiáng)度為[2]

      圖1

      (1)

      由(1)式,兩極板間的電勢差為

      (2)

      再根據(jù)電容的定義

      (3)

      可見,平板電容器的電容,與極板的面積S成正比,與極板間距d成反比.那么,當(dāng)極板間充滿各向同性的電介質(zhì)時,電介質(zhì)的介電常量為ε,如圖2所示,則電容器的電容為[3]

      (4)

      圖2

      2 平板電容器電容疊加法

      多個平板電容器并聯(lián),如圖3所示.此時電容器總電容為

      C=C1+C2+C3

      (5)

      圖3

      圖4

      設(shè)電介質(zhì)的介電常量為ε(x),即ε是x的函數(shù),可以把電介質(zhì)取成如圖4所示許許多多的窄條,每一窄條相當(dāng)于各向同性的電介質(zhì).設(shè)此窄條電容為dC,則根據(jù)電容器的并聯(lián)原理,此時電容器的電容為dC的疊加,圖中a為極板的長度.

      (6)

      多個平板電容器串聯(lián),如圖5所示.此時總電容為

      (7)

      圖5

      (8)

      圖6

      3 各向異性電介質(zhì)平板電容器電容的計算

      3.1 線性各向異性電介質(zhì)

      利用上述電容的疊加原理,可以計算線性各向異性電介質(zhì)分布的平板電容器的電容.

      (9)

      由平板電容的疊加法,根據(jù)(6)式,有

      (10)

      電容器中充有此種電介質(zhì)時,電容器電容是真空電容器電容的1.5倍.

      (11)

      由平板電容的疊加法,根據(jù)(8)式,有

      (12)

      所以,總電容C最后由(12)式得

      (13)

      電容器中充有此種電介質(zhì)時,電容器的電容是真空的1.44倍.可見,隨x分布線性電介質(zhì)比填充隨y分布線性電介質(zhì),對電容器電容的影響較大些.

      3.2 指數(shù)各向異性電介質(zhì)

      (14)

      由平板電容的疊加法,根據(jù)(6)式,有

      (15)

      通過計算電容器中充有此種電介質(zhì)時,電容器的電容是真空的1.7倍.

      (16)

      由平板電容的疊加法,根據(jù)(8)式,有

      (17)

      所以,總電容C最后由(17)式得

      (18)

      電容器中充有此種電介質(zhì)時,電容器的電容是真空的1.59倍.可見,隨x分布指數(shù)電介質(zhì)比填充隨y分布指數(shù)電介質(zhì),對電容器電容的影響較大些.指數(shù)電介質(zhì)比線性電介質(zhì)對電容的影響更大些.

      4 結(jié)論

      根據(jù)各向同性電介質(zhì)平板電容器電容的公式,利用平板電容器電容的疊加原理,計算了各向異性線性電介質(zhì)、指數(shù)電介質(zhì)電容器的電容.從計算的結(jié)果可以看出,當(dāng)平板電容器中充有線性各向異性電介質(zhì)時,隨x分布線性電介質(zhì)比填充隨y分布線性電介質(zhì),對電容器電容的影響較大些;當(dāng)平板電容器中充有指數(shù)各向異性電介質(zhì)時,隨x分布指數(shù)電介質(zhì)比填充隨y分布指數(shù)電介質(zhì),對電容器電容的影響較大些.總體來說,如本文中所給出的電價常量ε的函數(shù)關(guān)系,指數(shù)電介質(zhì)比線性電介質(zhì)對電容的影響更大些.

      參考文獻(xiàn)

      1 趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)(上冊).北京:高等教育出版社,2008.156

      2 程守洙,江之永.普通物理學(xué)(2).北京:高等教育出版社,2008.98

      3 馬文尉,周雨青,等.物理學(xué)教程(上冊).北京:高等教育出版社,2006.56

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