鄭永紅
(北京信息科技大學(xué)理學(xué)院 北京 100085)
電容器是現(xiàn)代電工技術(shù)和電子技術(shù)中的重要元件,在實際中有著廣泛的應(yīng)用[1].電容是電容器的重要參數(shù),根據(jù)不同需要,電容器的形狀以及電容器內(nèi)所填充的電介質(zhì)也不同.平板電容器是最常見的一種電容器,大學(xué)物理教學(xué)中,討論過真空平板電容器、各向同性平板電容器電容的計算.本文根據(jù)平板電容器的串并聯(lián)公式,介紹求解各向異性平板電容器電容的疊加法.利用此方法,進(jìn)一步討論當(dāng)電容器中充有線性和指數(shù)各向異性電介質(zhì)時,電容器電容的計算. 為大學(xué)生提供了一種求解各向異性電介質(zhì)平板電容器電容的方法.
真空中平板電容器,平板的面積為S,兩平板相距為d(S?d2),如圖1所示.設(shè)兩極板的面電荷密度為±σ,則極板間的電場強(qiáng)度為[2]
圖1
(1)
由(1)式,兩極板間的電勢差為
(2)
再根據(jù)電容的定義
(3)
可見,平板電容器的電容,與極板的面積S成正比,與極板間距d成反比.那么,當(dāng)極板間充滿各向同性的電介質(zhì)時,電介質(zhì)的介電常量為ε,如圖2所示,則電容器的電容為[3]
(4)
圖2
多個平板電容器并聯(lián),如圖3所示.此時電容器總電容為
C=C1+C2+C3
(5)
圖3
圖4
設(shè)電介質(zhì)的介電常量為ε(x),即ε是x的函數(shù),可以把電介質(zhì)取成如圖4所示許許多多的窄條,每一窄條相當(dāng)于各向同性的電介質(zhì).設(shè)此窄條電容為dC,則根據(jù)電容器的并聯(lián)原理,此時電容器的電容為dC的疊加,圖中a為極板的長度.
(6)
多個平板電容器串聯(lián),如圖5所示.此時總電容為
(7)
圖5
(8)
圖6
利用上述電容的疊加原理,可以計算線性各向異性電介質(zhì)分布的平板電容器的電容.
(9)
由平板電容的疊加法,根據(jù)(6)式,有
(10)
電容器中充有此種電介質(zhì)時,電容器電容是真空電容器電容的1.5倍.
(11)
由平板電容的疊加法,根據(jù)(8)式,有
(12)
所以,總電容C最后由(12)式得
(13)
電容器中充有此種電介質(zhì)時,電容器的電容是真空的1.44倍.可見,隨x分布線性電介質(zhì)比填充隨y分布線性電介質(zhì),對電容器電容的影響較大些.
(14)
由平板電容的疊加法,根據(jù)(6)式,有
(15)
通過計算電容器中充有此種電介質(zhì)時,電容器的電容是真空的1.7倍.
(16)
由平板電容的疊加法,根據(jù)(8)式,有
(17)
所以,總電容C最后由(17)式得
(18)
電容器中充有此種電介質(zhì)時,電容器的電容是真空的1.59倍.可見,隨x分布指數(shù)電介質(zhì)比填充隨y分布指數(shù)電介質(zhì),對電容器電容的影響較大些.指數(shù)電介質(zhì)比線性電介質(zhì)對電容的影響更大些.
根據(jù)各向同性電介質(zhì)平板電容器電容的公式,利用平板電容器電容的疊加原理,計算了各向異性線性電介質(zhì)、指數(shù)電介質(zhì)電容器的電容.從計算的結(jié)果可以看出,當(dāng)平板電容器中充有線性各向異性電介質(zhì)時,隨x分布線性電介質(zhì)比填充隨y分布線性電介質(zhì),對電容器電容的影響較大些;當(dāng)平板電容器中充有指數(shù)各向異性電介質(zhì)時,隨x分布指數(shù)電介質(zhì)比填充隨y分布指數(shù)電介質(zhì),對電容器電容的影響較大些.總體來說,如本文中所給出的電價常量ε的函數(shù)關(guān)系,指數(shù)電介質(zhì)比線性電介質(zhì)對電容的影響更大些.
參考文獻(xiàn)
1 趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)(上冊).北京:高等教育出版社,2008.156
2 程守洙,江之永.普通物理學(xué)(2).北京:高等教育出版社,2008.98
3 馬文尉,周雨青,等.物理學(xué)教程(上冊).北京:高等教育出版社,2006.56