衛(wèi)星發(fā)射情況的數(shù)理分析

何崇榮

(黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

在地球表面發(fā)射一顆衛(wèi)星，若發(fā)射速度v<7.9 km/s，則衛(wèi)星會落回地面；若發(fā)射速度v=7.9 km/s，衛(wèi)星恰好能繞地球做勻速圓周運動，即軌道為圓；若發(fā)射速度7.9 km/s11.2 km/s，衛(wèi)星的軌道為雙曲線.

對于發(fā)射速度v=7.9 km/s時，衛(wèi)星的軌道是圓，這一點很好理解.但當發(fā)射速度v<7.9 km/s以及v>7.9 km/s時，衛(wèi)星的軌道是什么形狀，就不容易理解了.而衛(wèi)星運動軌道的理論計算相對復(fù)雜，本文利用Mathcad軟件很好地模擬了衛(wèi)星的發(fā)射情況.

1 在地球表面發(fā)射的衛(wèi)星的運動軌道分析

圖1

設(shè)地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，衛(wèi)星到地心的距離為r，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，發(fā)射速度為v.以地心為坐標原點建立如圖1所示的直角坐標系，則衛(wèi)星運動的動力學(xué)方程為

式中

對于在地球表面發(fā)射的衛(wèi)星，其軌道半徑

r≈R

于是就有

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

2 地球同步衛(wèi)星的軌道分析

地球同步衛(wèi)星的軌道平面為什么只能與赤道所在平面共面，對此有些資料是這樣講的：假設(shè)人造地球衛(wèi)星能在圖7所示的平面內(nèi)運動，它受到的萬有引力的一個分力提供它做勻速圓周運動的向心力，它的另一個分力會將衛(wèi)星拉到赤道所在的平面內(nèi)，所以同步衛(wèi)星的軌道平面只能與赤道平面共面.

這種解釋是不嚴格的，因為按這個理論，根據(jù)運動的獨立性，衛(wèi)星既跟地球同步，又不斷向下加速，到達赤道平面后會繼續(xù)向下運動，即向下減速，于是衛(wèi)星就關(guān)于赤道平面上下運動.而同步衛(wèi)星的軌道是固定的.那么對于P點一顆人造衛(wèi)星，其軌道應(yīng)該是怎樣的呢？

圖7

設(shè)衛(wèi)星距地心的距離為r，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為R，建立如圖8所示的直角坐標系，則衛(wèi)星運動的動力學(xué)方程為

即

圖8

于是利用Mathcad軟件模擬得到在緯度為30°，距地心距離r=2R處的衛(wèi)星的運動軌道，如圖9所示.所以地球同步衛(wèi)星的軌道平面不可能與零緯度以外的緯線圈所在平面共面，只能與赤道所在平面共面，并且它的軌道半徑，運行速度都是確定值.

圖9

注：文中衛(wèi)星的軌道圖全部是利用Mathcad軟件畫出的.