輝志文

(鳳慶二中 云南鳳慶 675900)

分類思想在解析綜合性問題尤其是學(xué)科內(nèi)綜合問題時常常用到,是考查學(xué)生綜合分析能力、邏輯推理能力、探索能力和嚴謹?shù)某绦蛩伎寄芰Φ囊环N思想方法.

下面是分類思想在物理解題中運用的幾個入門示例.

1 某一物理量取值不同,分類討論該物理量

由某一物理量的取值不同,使得物理過程不同,需要采用不同的物理規(guī)律,導(dǎo)致待求物理量表達式表示不同的物理意義,需要分類討論.

【例1】如圖1所示,金屬棒a在高h處從靜止釋放,沿粗糙的弧形導(dǎo)軌滑到底部進入光滑水平導(dǎo)軌.水平導(dǎo)軌處于豎直向下的勻強磁場中其右側(cè)靜止放置另一導(dǎo)體棒b,a、b的質(zhì)量均為m.已知兩導(dǎo)體棒始終未相碰,且達到穩(wěn)定后,b棒以v勻速向右運動.試求:

(1)棒a在弧形導(dǎo)軌上克服摩擦力做的功;

(2)若在原水平導(dǎo)軌右側(cè)接寬度減半的光滑平行導(dǎo)軌,且棒b進入窄軌道后經(jīng)過時間t達到穩(wěn)定狀態(tài),則此過程中產(chǎn)生的電能是多少[1]?

圖1

分析:在光滑水平導(dǎo)軌上,b最終以v勻速向右運動,且達到穩(wěn)定狀態(tài).所以無論b還是a都應(yīng)該處于平衡狀態(tài),故a最終也以v勻速向右運動,此時a、b所受的安培力大小相等,方向相反,系統(tǒng)動量守恒,有

結(jié)合動量守恒及動能定理解得棒a在弧形導(dǎo)軌上克服摩擦力做功W摩為

由于窄軌道接在弧形軌道右側(cè),a、b都在弧形軌道上達到第一次穩(wěn)定速度,即速度都為v.當(dāng)b進入窄軌道后,直到a也即將進入窄軌道前,a受到的安培力為b的2倍.若經(jīng)過t后a還在原軌道,動量不守恒,但磁通量 Υ不變,且整個過程中通過兩棒的電荷量q相同.對a,當(dāng) Δt※0時,由動量定理得

求和得

同理,對b得

可解得

由于b從靜止開始,且a、b之間的能量靠安培力傳遞,故b獲得的能量是安培力做功的結(jié)果,屬于回路中產(chǎn)生的電能,則

當(dāng)a在原軌道運動的時間t1

小結(jié):E電大于初動能是因為所求的是整個回路產(chǎn)生的電能,它包括回路消耗的電能、轉(zhuǎn)化中先轉(zhuǎn)化為電能、再轉(zhuǎn)化為動能的部分,故出現(xiàn)電能大于初動能,不是創(chuàng)造了能量,能量是守恒的.這是發(fā)電機、電動機結(jié)合的模型.

2 分類討論比較復(fù)雜的非數(shù)值問題

對比較復(fù)雜的非數(shù)值問題,采用數(shù)學(xué)規(guī)律分析時,需要討論數(shù)學(xué)方程的解是否與物理事實一致.

【例2】長為L,質(zhì)量為M的圓柱形木棒豎直放置,在其頂部套有質(zhì)量為m的鐵環(huán),當(dāng)棒與環(huán)相對滑動時環(huán)與棒間有大小恒為kmg(k>1)的摩擦力.現(xiàn)突然在棒的下端給棒一個很大的沖擊力,使棒在瞬間具有豎直向上的速度 v0.求棒上升的最大高度[2].

分析:以地球為參照物,取向上為正方向,對環(huán)和棒受力分析,并運用牛頓運動定律結(jié)和運動學(xué)公式且假設(shè)環(huán)與棒在時間 t內(nèi)的相對位移恰等于棒長,得

解得

其中

若(1)式t存在兩個相等的實數(shù)根,即

時,環(huán)與棒恰不分離,解得

此時(1)式的解為

棒與環(huán)相對運動的末速度就是棒做豎直上拋運動的初速度,棒能上升的最大高度為

其中

若(1)式無實根,即

若(1)式存在兩個不相等的實數(shù)根,即

時,說明環(huán)與棒在還沒獲得相同速度時就已經(jīng)分離,此時環(huán)與棒的加速度都發(fā)生突變,變?yōu)?g,且此后恒為-g,即環(huán)與棒分別做豎直上拋運動.所以(1)式兩根中,較大的根與物理事實不符,應(yīng)舍去.

此時

3 分類討論涉及恢復(fù)系數(shù)的碰撞問題

【例3】光滑水平面上有大小相同的A、B兩球,質(zhì)量分別為m1、m2.開始時B球靜止,A球沿兩球連心線方向以速度v0向B球運動并發(fā)生碰撞.已知兩球在形變恢復(fù)階段的相互作用沖量是形變壓縮階段相互作用沖量的K倍,試求:

(1)兩球形變最大時各球的速度v1、v2;

(2)碰后各球的速度[3]v1′、v2′.

分析:此題涉及到恢復(fù)系數(shù)問題,由于恢復(fù)系數(shù)取值不同導(dǎo)致碰撞類型和碰后兩物體運動情況不同,需要分類討論.

4 分類討論涉及形式相同的定理公式

例如對萬有引力定律及庫侖定律教學(xué)就需要分類討論.第一,兩個定律雖然形式相同,但使用范圍不同,有質(zhì)量的物體間都存在萬有引力;庫侖定律只適用于點電荷間的相互作用.第二,場源不同,萬有引力相互作用較弱;電場相互作用相對較強.

總之,分類討論思想是研究和解決物理問題的重要思想方法之一,是一種邏輯推理方法之一,也是科學(xué)研究中最常用最基本的方法之一.我們常以“物以類聚”來認識自然界中成千上萬的事物,又以“分門別類”來研究紛繁復(fù)雜的事物對象,這其實就是分類討論思想方法在認識事物時的具體運用.所以今天我們學(xué)習(xí)分類討論思想,不僅僅為了解決物理問題,而是在學(xué)習(xí)一種進行科學(xué)研究的本領(lǐng)及方法論.

1 王良調(diào),等.聯(lián)想解題.長春:吉林人民出版社,2000:750～752

2 胡開文,等.北大考典(物理).北京:北京大學(xué)出版社,2005:71～72

3 陳一生.大學(xué)物理(上冊).天津:天津大學(xué)出版社 :61～ 63