多層圓線圈在電磁計算中的等效半徑

張 歡 馬全喜

(中國地質(zhì)大學(xué)長城學(xué)院物理教研室 河北保定 071000) (河北大學(xué)物理學(xué)院 河北 保定 071002)

在有關(guān)電磁計算中常常涉及到圓形線圈;在匝數(shù)很多時就需要將繞線分別排布于多層之中,即繞線在徑向有一定的厚度.設(shè)繞線分布在半徑從 R1到R2的圓環(huán)狀空間內(nèi),在 R1接近 R2時往往用其平均半徑代替等效半徑進行計算.但是當(dāng)R1和R2有較大差別時,用平均半徑進行計算就會產(chǎn)生較大的誤差.可見針對不同電磁問題討論等效半徑的不同形式是有實際意義的.

涉及到圓線圈的電磁計算有很多,最典型的情況有兩類:一是勵磁類線圈,如亥姆霍茲線圈即屬此類;二是探測類線圈,如根據(jù)電磁感應(yīng)規(guī)律測量磁感應(yīng)強度時所用的小線圈即屬此類.兩類線圈工作原理不同,其等效半徑的具體表達形式也就不同.但當(dāng)R1趨近 R2時,二者都趨于平均半徑.下面就兩類典型情況分別進行討論.

1 勵磁類線圈和探測類線圈的等效半徑

(1)勵磁類線圈的等效半徑 ROL

勵磁類線圈的基本作用是在線圈通電流時在線圈內(nèi)外空間產(chǎn)生相應(yīng)的磁感應(yīng)強度,俗稱“電生磁”.設(shè)繞線均勻分布,討論線圈對稱中心 O點附近的磁場.如圖 1所示.N匝繞線均勻地分布于厚度為R2-R1的圓環(huán)狀空間內(nèi),線圈通電流為 I,任取半徑r(R1

磁感應(yīng)強度的貢獻

整個線圈在 O點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度

設(shè)等效半徑為ROL,則 BO應(yīng)與半徑為 ROL.電流為 NI的一匝線圈在O點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度相等 ,由此可得

圖 1 等效半徑推導(dǎo)圖

(2)探測類線圈的等效半徑 ROt

探測類線圈的基本工作原理是將線圈放在交變磁場中適當(dāng)位置.根據(jù)電磁感應(yīng)規(guī)律,在線圈兩端將產(chǎn)生一感生電動勢反映線圈所在位置附近磁感應(yīng)強度的方向和大小,俗稱“磁生電”.與對 ROL分析類似,設(shè) N匝繞線均勻分布于 R2-R1的環(huán)狀空間內(nèi),且在線圈處磁場均勻,則在 r到r+dr的微環(huán)內(nèi)匝數(shù)為

其中B為線圈處的磁感應(yīng)強度,θ是線圈法向與B的夾角.整個線圈的磁通匝鏈數(shù)該微環(huán)對磁通匝鏈數(shù)的貢獻

它應(yīng)與 N匝繞線集中于半徑為 ROL的圓對應(yīng)的磁通匝鏈數(shù) NBπROL2cosθ相等,由此可得等效半徑

2 等效半徑隨比值變化而變化的規(guī)律

為了方便,設(shè) R2為 10 cm,R1分別為 1 cm,2 cm,…9 cm,即比值從 0.1變到 0.9.對于兩類線圈分別計算出對應(yīng)的等效半徑,并以 為參考將對應(yīng)的 ROL和ROt與之比較,求出對應(yīng)的相對差別 δ ,結(jié)果列于表 1 中.其中

表1

由表 1 可見,在 R1與 R2差別較大時,不論是 ROL還是 ROt都與有較大差別;但當(dāng) R1與 R2差別較小時二者都十分接近 .為了更加明確地說明這一趨勢,我們還對 R1=9.8 cm時的等效半徑進行了計算,結(jié)果是 ROL=9.899 7 cm,相對差別為0.003%;ROt=9.900 2 cm,相對差別為 0 .002%.我們還將有效半徑 R 和 R 隨比值變化趨勢曲線作于圖 2

OLOt中,圖 2 更直觀形象地表達了上述變化規(guī)律.

圖 2 有效半徑 R 與 R 隨比值的變化Ot OL

3 從數(shù)學(xué)上說明在 R1趨近于 R2時等效半徑趨于平均半徑的必然性

(1)在 R1※R2的條件下對 ROL求極限,設(shè)

在 R1※R2時,t-1※0顯然成立,利用關(guān)系

經(jīng)以上分析可見,在 R1※R2條件下,和 ROL及ROt極限相等,得到如上結(jié)論應(yīng)當(dāng)說就是順理成章的了.R2顯然成立.

4 結(jié)果討論

以上推出了一般情況下勵磁類線圈和探測類線圈的等效半徑具體表達式,對于有關(guān)電磁計算、特別是在 R1和 R2有較大差別時具有一定的實用價值.對于更一般的情況,例如布線不均勻,磁場不均勻等,可以采取類似方法獲得對應(yīng)結(jié)果,本文不再加以討論.