楊武金

(中國人民大學，北京1008 72)

容納矛盾的邏輯何以可能？

楊武金

(中國人民大學，北京1008 72)

經(jīng)典邏輯否定矛盾存在，堅持矛盾律的至上性。弗協(xié)調邏輯限制矛盾律的作用。相干弗協(xié)調邏輯主張存在真矛盾，這和辯證邏輯是一致的，否定邏輯矛盾但承認辯證矛盾。在有窮域中，矛盾律還是有用的，但對于整體性、辯證性、復雜性問題的把握，就需要限制矛盾律的作用，承認辯證矛盾。

矛盾；弗協(xié)調邏輯；經(jīng)典邏輯；辯證邏輯

在傳統(tǒng)邏輯或經(jīng)典邏輯視野里，矛盾律是最為重要的原則，邏輯矛盾必須被排除。所以，一切能容納矛盾的邏輯都必然是對傳統(tǒng)邏輯或經(jīng)典邏輯的否定，是對矛盾律的批評、批判、否定或超越。

一、經(jīng)典邏輯對矛盾的拒斥

弗協(xié)調邏輯（paraconsistent logic）作為一種非經(jīng)典邏輯，從根本上是對經(jīng)典邏輯中不可動搖的矛盾律加以限制的結果。如果說直覺主義邏輯從根本上對排中律進行了限制，那么弗協(xié)調邏輯也可以說是從根本上對矛盾律進行了否定?？梢赃@樣講，對于任何邏輯系統(tǒng)，如果我們限制了矛盾律在其中的作用范圍，那么這個系統(tǒng)就屬于弗協(xié)調邏輯。

什么是矛盾律呢？從對象語言的角度看，矛盾律是指同一個對象不能同時既是又不是，不能既具有又不具有某個性質。準確地說，在一個給定的可能世界w中，對于任一命題A，或者A不能成立，或者，-A不能成立，即在給定的可能世界w中，序對A和-A至多有一個是成立的。從元語言的角度看，矛盾律是指，相互否定的兩個命題不能都是真的，其中必有一個是假的。矛盾律用公式來表示，就是-(A Λ-A)，其中-A表示與A相矛盾或者相反對的斷定。根據(jù)矛盾律，如果同時對互相否定的兩個命題加以肯定，沒有從中否定一個，就會出現(xiàn)“自相矛盾”的錯誤。在經(jīng)典邏輯看來，矛盾是不可能的，必須從我們的思維中排除出去，當然也就必須從一個邏輯系統(tǒng)中排除出去。所以，一個經(jīng)典邏輯系統(tǒng)必然具有協(xié)調性即不矛盾性。協(xié)調性即不矛盾性定理是經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的一個基本元定理。

在西方邏輯發(fā)展史上，存在兩種根本對立的邏輯傳統(tǒng)：一是赫拉克利特傳統(tǒng)，使用流變范疇，在邏輯中允許有意義的真矛盾，并依靠有意義的真矛盾。赫拉克利特（Heraclitus）說：“我們踏入又不踏入同一條河流，我們存在又不存在?！盵1]“組合是整體又不是整體，是聚集又是分散，是協(xié)調又相抵觸。一出于萬物，萬物出于一?！盵2]認為世界不是一個協(xié)調的系統(tǒng)，于是，人們不能從中獲得一致的知識。赫拉克利特傳統(tǒng)通常又稱為辯證法傳統(tǒng)，近代的黑格爾是其中最為杰出的代表人物。二是亞里士多德傳統(tǒng)，使用固定范疇，在邏輯中禁止矛盾，認為矛盾律是一切原理中最為根本的原理（也稱“無矛盾原理”）。亞里士多德說：“一切意見中最為確實的是，對立的陳述不能同時為真。”[3]亞里士多德的這一思想在整個現(xiàn)代經(jīng)典邏輯中普遍得到了認同，認為邏輯就是協(xié)調的、一致的、不矛盾的，而包含矛盾的邏輯是不可能的。亞里士多德傳統(tǒng)最早可追朔到巴門尼德（Parmenidean），他堅持認為世界是協(xié)調的，并且人們關于世界的知識也必須相應地是一致的，所以，所有矛盾都必須被排除。[4]亞里士多德傳統(tǒng)后來基本上成為整個西方思想的主流。在現(xiàn)代，堅持“無矛盾原理”最突出的代表人物是波普爾（Popper），他說：“科學是按照矛盾不能被允許和可以避免這一假設而推進的，因而發(fā)現(xiàn)矛盾就會迫使科學家盡一切努力去消除它；不錯，一旦承認了矛盾，所有的科學就必然瓦解?！盵5]“千萬不要認可一種矛盾?！薄叭绻覀儨蕚淙萑堂?，那么批判以及一切人類智力進步都必定同歸于盡。”[6]矛盾被看成是洪水猛獸，必須加以排除。

二、弗協(xié)調邏輯能夠容納真矛盾

亞里士多德傳統(tǒng)在邏輯史上幾乎一直占據(jù)著統(tǒng)治地位，協(xié)調性或者不矛盾性原理成為許多邏輯學家不可置疑的信條，但這卻未必符合實際情況。從經(jīng)典邏輯系統(tǒng)來看，證明矛盾律時假設了鄧斯·司各脫規(guī)則（從矛盾能夠推出一切），即如果矛盾律不成立（互相矛盾的命題可以同時為真），則矛盾就會推出一切，于是邏輯系統(tǒng)就會失去意義，所以，互相矛盾的命題不能都真，矛盾律必須成立。但是，憑什么假設矛盾就能推出一切呢？憑什么互相矛盾的命題就不能都真呢？當代分析哲學家維特根斯坦曾經(jīng)說：“事實上，即使在目前階段，我也要預言，總有一天會出現(xiàn)包含矛盾的數(shù)學演算研究，那時，人們將會真正感到自豪，因為他們已經(jīng)從協(xié)調性的束縛下解放出來了?！盵7]認為存在著能夠容納矛盾的邏輯系統(tǒng)。

雷歇爾（Rescher）利布蘭登（Brandom）在《不協(xié)調邏輯》一書中，首先肯定了矛盾在邏輯系統(tǒng)中的地位，對矛盾律在邏輯中的地位表示懷疑。他們說：“自亞里士多德時代以來，在西方傳統(tǒng)思想主流中，差不多所有邏輯學家和相關的哲學家都存在著對不協(xié)調性的恐懼。他們幾乎一致地拒斥本體論和邏輯推理范圍內的矛盾，堅持認為如果容忍不協(xié)調將必然帶來認識上的災難?！盵8]但是這種見解是缺乏根據(jù)的。實際上，“對本體論上的矛盾加以斷然排斥，在事物的系統(tǒng)描述中決不是必要的，甚至也許是不需要的?！盵9]肯定客觀世界本身可以是矛盾的，而人們的思維卻可以是不矛盾的?！凹俣ㄓ羞@樣一種（不協(xié)調的）世界的存在，決不會引起邏輯上的混亂。對于不協(xié)調的世界，人們的推理可以是完全有說服力的和有條理的。思想不必帶上其對象的性質：對于醉酒者精神狀態(tài)的研究，可以是清醒的，對于不協(xié)調性的研究同樣也可以是協(xié)調的。”[10]

科斯塔在1958年就開始闡述研究矛盾理論的重要性。他認為，矛盾理論不能片面排除，因為一個理論對公理的選擇是自由的，而且許多理論在其初始假設中本來就含有矛盾。他認為，協(xié)調理論和不協(xié)調理論有同樣的邏輯地位。不協(xié)調理論的惟一不同點就是，不協(xié)調理論必須建立在不同于經(jīng)典邏輯的邏輯系統(tǒng)的基礎之上，否則它們就會變成不足道的。通過對希爾伯特數(shù)學上的存在概念的思考，科斯塔提出了數(shù)學上的容忍理論：“從語法和語義的角度來說，任何理論都是可允許的，因為它不是不足道的。廣義地說，在數(shù)學上存在著并非不足道的系統(tǒng)?！盵11]

在弗協(xié)調邏輯看來，矛盾雖然是可以容納的，但是，并非矛盾就能推出一切，即從A和-A兩個互相矛盾的命題，一般不能推出任意命題B。

我們知道，在經(jīng)典邏輯看來，矛盾可以推出一切。因為在經(jīng)典邏輯看來，矛盾是不可能的，矛盾必假，包含著矛盾的系統(tǒng)必然是有問題的。經(jīng)典邏輯把推理關系看成是一種充分條件關系，又把充分條件關系看成是一種蘊涵關系。即一個充分條件的命題只有當其前件為真并且后件為假時才是假的，否則都是真的。一個推理只有當前提真實并且結論虛假時才是不成立的，否則都是正確的推理。所以，一個充分條件命題當其前提為假時必然是真的，一個推理當其前提虛假時也必然是正確的。既然矛盾必假，所以，從相互矛盾的兩個命題A和-A，可以推出一切命題B。用公式來表示就是：{A，-A}是|=pB，也可以表示為：AΛ-A→B。該公式又稱為鄧斯·司各脫（Duns Scotus）規(guī)則，因為經(jīng)盧卡西維茨證明，中世紀邏輯學家鄧斯·司各脫（1266～1308年）已經(jīng)知道該規(guī)則。

對于經(jīng)典邏輯來說，如果矛盾律在其中不普遍有效，而矛盾又能推出一切，那么任何公式都可以說是一個系統(tǒng)中的定理，這樣的系統(tǒng)通常被稱為“擴散性的”，其中，AΛ-A→B被稱為“擴散性的”推導，它使整個邏輯系統(tǒng)變得沒有意義，即不足道的。所以，對于經(jīng)典邏輯來說，既然矛盾能夠推出一切，所以，矛盾律在其中必須普遍有效。但是對于弗協(xié)調邏輯來說，由于矛盾律在其中不普遍有效，所以，從矛盾不能推出一切。

波普爾認為，矛盾是不可能被容納的，因為“如果承認了兩個互相矛盾的陳述，那就一定要承認任何一個陳述；因為從一對矛盾陳述中可以有效地推導出任何一個陳述來?！盵12]固守從矛盾能夠推出一切這個鄧斯·司各脫規(guī)則，是波普爾否定矛盾存在甚至否定辯證法的科學性的根本性論據(jù)。

波普爾首先用析取附加律（p→pvq)和選言推理的否定肯定式（（pvq）Λ-p→q)來證明鄧斯·司各脫規(guī)則。假定我們有兩個互相矛盾的前提：

（a）現(xiàn)在太陽高照。

（b）現(xiàn)在沒有太陽。

從這兩個前提出發(fā)，可以推出任何一個陳述，如“愷撒是叛徒”。

我們從前提(a)，按照析取附加律，可推出結論：

（C）現(xiàn)在太剛高照v愷撒是叛徒。

然后取(b)和(c)為前提，按照選言推理的否定肯定式，可推出結論：

（d）愷撒是叛徒。

波普爾還用另外一種方式來證明鄧斯·司各脫規(guī)則的正確性。一個規(guī)則是聯(lián)言推理的分解式：p Λ q→p。另一個規(guī)則是“間接還原規(guī)則”，即如果a Λ b→c成立，則a Λ-c→b也成立。該規(guī)則的變形為：如果a Λ-b→c成立，則aΛ-c→b成立。該變形在c碰巧等同于a時，有以下規(guī)則：如果aΛ-b→a成立，則aΛ-a→b成立。根據(jù)聯(lián)言推理的分解式，顯然a Λ-b→a是成立的。所以，顯然，aΛ-a→b必然成立，即鄧斯·司各脫規(guī)則是成立的?？傊?，從互相矛盾的兩個前提可以演繹出任何一個結論來。

波普爾通過分析指出，構造一個鄧斯·司各脫規(guī)則在其中不成立的邏輯系統(tǒng)是可以的。但是他認為，這樣的系統(tǒng)只能是一種極弱的系統(tǒng)，在其中只剩下很少幾條普通推理規(guī)則，甚至連分離規(guī)則（從A成立和A→B成立，可以推出B成立）在其中都不能成立。他說：“在我看來，這樣一種系統(tǒng)對于那些特別熱衷于構造形式系統(tǒng)的人們來說也許會有某種興趣，但對于引出推論來卻毫無作用?！盵13]這里，波普爾所考慮的邏輯系統(tǒng)是不能容納矛盾而且鄧斯·司各脫規(guī)則在其中又不能成立的系統(tǒng)，顯然，這樣的系統(tǒng)對于推論來說沒有什么意義：不過，雖然鄧斯·司各脫規(guī)則在其中不能夠成立，但是能夠容納矛盾的邏輯系統(tǒng)即弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)卻是有重要意義的。

根據(jù)矛盾不能推出一切，經(jīng)典命題邏輯中的有些蘊涵怪論如AΛ-A→B就不再是弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)中的定理。既然矛盾也可能是真的，即AΛ-A不常假，所以，公式AΛ-A→B不是永真式，不是重言式。

但是，有些蘊涵怪論如A→（B→A）卻可以是弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)中的定理。這個怪論意味著，如果一個命題是真的，那么任何命題都蘊涵這個命題，即真命題為任何命題所蘊涵。該公式通過求范式可以得到如下變換：

(1)-Av（-BvA)(運用公式(A→B)←→-BvA)

(2)（-AvA)v-B(運用交換律、結合律)

(3)---(-AvA)-B(運用公式--A←→A)

(4)-(Av-A)vB(運用公式-(-AvA)←→AΛ-A)

(5)(AΛ-A)→-B(運用公式(A→B)←→BvA)

最后結果好像意味著，又回到了矛盾推出一切的這個怪論上去了。但是，也應該看到，我們在變換中所用到的公式，如--A←→A，這一公式本身在弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)中都不一定成立，因為A→--A不一定是弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)中的定理。

所以，在弗協(xié)調邏輯看來，矛盾律不普遍有效，矛盾是可以容納的，但是，從矛盾并不能推出一切。否則，一個邏輯系統(tǒng)就是擴散性的，沒有意義的或者說是平庸的、平凡的。雅斯可夫斯基指出，弗協(xié)調邏輯在本質上是“并非過完備的矛盾系統(tǒng)”。首先，弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)是“矛盾系統(tǒng)”，因為它包含了兩個互相矛盾的命題。但是，弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)卻不是“過完備系統(tǒng)”，因為過完備系統(tǒng)是指那些其中所有公式都能成立的系統(tǒng)。對于弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)來說，如果所有公式都是其中的定理，那么這樣的系統(tǒng)就是不足道的、無意義的。而弗協(xié)調邏輯則是研究那些足道的、有意義的邏輯系統(tǒng)，所以并非所有公式都是其中的定理。所以，弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)是不協(xié)調的但卻是有意義的系統(tǒng)。

這就是說，弗協(xié)調邏輯能夠容納矛盾，而且能夠容納真矛盾，但并不是說它就能夠容納任何意義上的矛盾，它不能容納會導致一個邏輯系統(tǒng)擴散或變得沒有意義的矛盾。就科斯塔所建立的弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)Cn(1≤n≤ω)來說，C1能夠容納經(jīng)典邏輯系統(tǒng)C0所不能容納的矛盾AΛ-A，C1相對于C0來說是不協(xié)調的，但是系統(tǒng)C1就其本身來說，它還是協(xié)調的，系統(tǒng)Cn(2≤n≤ω)的情況也是這樣。

總之，弗協(xié)調邏輯能夠容納矛盾，但是否認從矛盾可以推出一切。所以，弗協(xié)調邏輯系統(tǒng)是能夠容納矛盾的系統(tǒng)但同時也是足道的即有意義的系統(tǒng)。

三、辯證邏輯的基本性質

科斯塔所發(fā)展起來的弗協(xié)調邏輯屬于一種弱的弗協(xié)調邏輯。二十世紀七、八十年代以后，普里斯（Priest）特和盧特列（Routley）等人發(fā)展出一種比較強的弗協(xié)調邏輯，即相干弗協(xié)調邏輯。強的弗協(xié)調邏輯與弱的弗協(xié)調邏輯比較起來，它所強調的是肯定“真矛盾”的存在。普里斯特和盧特列認為，真矛盾（dialetheia）是指形如“AΛ-A”這樣的真陳述。真矛盾類似一個既真又假的兩面神動物。真矛盾論的根本觀點就是認為存在有真實的矛盾。[14]他們所說的真矛盾相當于我們這里所講的辯證矛盾。

直覺主義邏輯限制排中律作用，認為在有窮域中排中律是起作用的，但對于無窮域來說，排中律就不起作用了。所以，排中律不是普遍規(guī)律。所以，直覺主義邏輯否定排中律的普遍性作用。按照排中律，所有數(shù)學命題或者被證明為真或者被確定為假。但是，事實上，還存在著既未被確定為真，也未被確定為假的數(shù)學真理，如哥德巴赫猜想。由于數(shù)學研究中總需要涉及到無窮域問題，所以，如果總像經(jīng)典邏輯那樣遵守排中律，就不能很好地用來指導數(shù)學研究。直覺主義邏輯由于克服了經(jīng)典邏輯的上述缺陷，得到了許多重要數(shù)學家的重視和運用，是目前數(shù)理邏輯各個分支中真正得到應用的邏輯分支。我們知道，否定排中律的普遍性作用，同時也就禁止了反證法在數(shù)學證明中的應用，所以，直覺主義邏輯比經(jīng)典邏輯弱，直覺主義數(shù)學也比經(jīng)典數(shù)學弱，但它卻比較有用。

弗協(xié)調邏輯和辯證邏輯也是一樣，都需要限制矛盾律的作用?？扑顾母f(xié)調邏輯，使用了弱否定，能夠容納的是邏輯矛盾，只要這個邏輯矛盾在系統(tǒng)中不會導致擴散。相干弗協(xié)調邏輯和辯證邏輯都認為要容納真矛盾，即辯證矛盾。黑格爾曾經(jīng)這樣說：“康德說理性主義必然引起矛盾，由此反駁了理性主義。我承認這一點。但這個論證顯然是從矛盾律那里取得力量的，它反駁的只是那種承認矛盾律的系統(tǒng)，也即力求擺脫矛盾的系統(tǒng)。對于像我這樣的系統(tǒng)來說，并沒有危險，這種系統(tǒng)準備容許矛盾存在，這就是辯證系統(tǒng)。”[15]

在有窮域中，矛盾律還是很有用的，不管什么邏輯都得承認這一點。但涉及到整體性、辯證性、復雜性問題，如悖論問題等，矛盾律的作用就需要限制。經(jīng)典邏輯將一切矛盾都看成是邏輯矛盾加以排除是太強了，需要加以弱化。但像科斯塔的弗協(xié)調邏輯將邏輯矛盾也容納進來，確實又太弱了一些。所以，辯證邏輯是一種既盡可能弱于經(jīng)典邏輯同時又盡可能強于科斯塔的弗協(xié)調邏輯的形式。在辯證邏輯中，矛盾律不能再普遍地起作用，與矛盾律密切相關的歸謬法也將不再普遍成立。這樣的辯證邏輯對于解決整體性、矛盾性、復雜性等問題，將會有重要作用。

[1]苗力田.古希臘哲學[M].北京：中國人民大學出版社，1989.43.

[2]苗力田.古希臘哲學[M].北京：中國人民大學出版社，1989.4l.

[3]苗力田.亞里士多德全集(第7卷)[M].北京：中國人民大學出版社,1993.106.

[4]Rescher N.and Brandom R.The Logic ofInconsistency,Basil Blackwell,1980,P,1.

[5]波普爾.開放社會及其敵人(第2卷)[M].北京：中國社會科學出版社,1999.80.

[6]波普爾.猜想與反駁[M].上海：上海譯文出版社，1986.452.

[7]Wittgenstein L.Philosophical Remarks,Blackwell,1964,332.

[8]RescherN.and Brandom R.The Logic of lnconsistency,Basil Blackwell,1980,1.

[9]RescherN.and Brandom R.The Logic of Inconsistency,Basil Blackwell,1980,2.

[10]Rescher N.and Brandom R.The Logic of Inconsistency,Basil Blackwell,1980,4.

[11]PriestG,RoutleyR,NormanJ.Paraconsistent Logic:Essays On the Inconsistent.Philosophia Verlag,1989,105.

[12]波普爾.猜想與反駁[M].上海：上海譯文出版社,1986.453.

[13]波普爾.猜想與反駁[M].上海：上海譯文出版社,1986.458.

B81

A

1004-3160（2010）02-0121-04

2009-12-25

楊武金，中國人民大學哲學院副教授、哲學博士、博士后，主要研究方向：邏輯學，中國邏輯史。

肖琴