張方鎖, 郭秀云

(上海大學(xué) 理學(xué)院,上海 200444)

極小子群及 4階循環(huán)子群的半覆蓋遠(yuǎn)離性

張方鎖, 郭秀云

(上海大學(xué) 理學(xué)院,上海 200444)

群 G的一個子群 H稱為在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,如果存在 G的一個主群列 1=G0

半覆蓋遠(yuǎn)離性;極小子群;冪零群;超可解嵌入子群;超可解群

Abstract:A subgroup H is said to be semi-cover-avoiding in a group G if there is a chief series1=G0

Key words:semi cover-avoiding property;minimal subgroup;nilpotent group;supersolvble group;supersolvble embedding group

通過極小子群的性質(zhì)研究有限群的結(jié)構(gòu)成為近年來人們感興趣的課題之一,新的研究成果層出不窮.It?曾經(jīng)證明:如果對某個奇素數(shù) p,有限群 G的每個 p階子群均在 G的中心,那么 G是 p-冪零的.此后,研究人員從各個方面來推廣這一結(jié)果.Wang[1]引入 c-正規(guī)的概念,并證明若群 G的極小子群及 4階循環(huán)子群在 G中 c-正規(guī),則 G是超可解.樊惲等[2]引入半覆蓋遠(yuǎn)離性 (覆蓋遠(yuǎn)離性和 c-正規(guī)性二者的推廣),并證明若有限群 G的極小子群及 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 G是超可解的.本研究在上述研究的基礎(chǔ)上,分別考慮有限群 G的每個極小子群含于 G的超中心和含于 G的最大超可解嵌入子群,而 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性的情況,得到一些新的結(jié)果,推廣了上述It?定理和文獻(xiàn)[3]的一些結(jié)論.

本文涉及的群均為有限群,p,q表示素數(shù),π(G)表示群 G階的所有素因子的集合.

1 基本引理

如果M和 N都是群 G的正規(guī)子群且 N?M,則稱商群M/N為 G的正規(guī)因子.顯然,G的每個主因子均為正規(guī)因子.設(shè) H是群 G的一個子群,M/N為G的正規(guī)因子,如果 H·M=H·N,則稱 H覆蓋M/N;當(dāng) H∩M=H∩N時,則稱 H遠(yuǎn)離 M/N.

定義 1[2]設(shè) H是群 G的一個子群,如果存在群 G的一個主群列 1=G0

定義 2[4]設(shè) G為有限群,記 SE(G)為 G的最大超可解嵌入子群,它是 G中一切超可解嵌入子群之積.

引理 1[5]設(shè) H是群 G的一個子群.如果 H在群 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,那么對任意滿足 H≤K≤G的子群 K,H在群 K中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性.

引理 2[6]設(shè) p是 |G|的最小素因子,P∈Sylp(G),且 P循環(huán),則 G有正規(guī) p-補(bǔ).

引理 3[6]設(shè) H是群 G的一個子群,N?—G.若N≤Φ (H),則 N≤Φ (G).

引理 4[7]若 G為內(nèi) p-冪零群,則

(1)G=P ×|Q,P是 G的 Sylow p-子群,Q是 G的非正規(guī) Sylow q-子群,且 Q是循環(huán)的,P/Φ (P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群;

(2)當(dāng) p>2時,exp(P)=p;當(dāng) p=2時,exp(P)≤4;

(3)若 P為 Abel群 ,則 P為初等 Abel群;

(4)c∈PΦ (P)當(dāng)且僅當(dāng) [c,b]≠1,其中 b是Q的生成元;

(5)Z(G)=Φ (G)=Φ (P) ×Φ (Q).

引理 5[7]G為內(nèi)超可解群,則

(1)G=P ×|M,P是 G的 Sylow p-子群,M是超可解的,P/Φ(P)是 G/Φ (P)的極小正規(guī)子群,且 P是非循環(huán)的;

(2)當(dāng) p>2時,exp(P)=p;當(dāng) p=2時,exp(P)≤4,此時 G為內(nèi)冪零群;

(3)若 P為 Abel群 ,則 P為初等 Abel群;

(4)若 P為非 Abel群 ,則 Φ (P)=Z(P)=P′;

(5) 存在 x∈PΦ (P),使得〈x〉? G.

2 主要結(jié)果及證明

引理 6 設(shè) p∈π(G),且 G為內(nèi) p-冪零群 ,P是G的 Sylow p-子群 ,若存在 x∈PΦ (P),使〈x〉在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 P=〈x〉.

證明 因 G為內(nèi) p-冪零群,由引理 4可知,P是G的正規(guī)子群,且 P/Φ (P)是 G/Φ (P)的極小正規(guī)子群.由假設(shè)條件知,〈x〉在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,從而存在 G的一個主群列 1=G0

定理 1 設(shè) N是群 G的正規(guī)子群,且 G/N為 p-冪零群.若N的每個 p階子群含于 Z∞(G),且當(dāng)p=2時,4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 G是 p-冪零群.

證明 若定理不成立,設(shè) G為極小階反例.

(1)G是內(nèi) p-冪零群.

設(shè) K是 G的任意真子群,則 K∩N?—K,K/K∩N?KN/N≤G/N為 p冪零群.由引理 1及假設(shè)條件可知,K∩N的每個 p階子群包含于 Z∞(G)∩KZ∞(K).當(dāng) p=2時,它的 4階循環(huán)子群在 K中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,從而 K滿足定理假設(shè)條件.由 G階的極小性,可知 K是 p-冪零群,從而 G是內(nèi) p-冪零群.

(2)p=2,且 exp(P)=4,P非循環(huán).

由 (1)知 G是內(nèi) p-冪零群,根據(jù)引理 4的性質(zhì),可知 G=P ×|Q,P是 G的 Sylow p-子群,Q是 G的非正規(guī) Sylow q-子群,P/Φ(P)是 G/Φ (P)的極小正規(guī)子群,且當(dāng) p>2時,exp(P)=p;當(dāng) p=2時,exp(P)≤4.由 G/N是 p-冪零的,可以斷言 P≤N.事實上,由 P/Φ (P)是 G/Φ(P)的極小正規(guī)子群,可知Φ(P)(P∩N)=P或Φ (P).若Φ (P)(P∩N)=Φ(P),則 P∩N≤Φ(P),因為 G/(P∩N)

(3)對任意的 x∈PΦ (P),則 o(x)=4.

若否,設(shè)存在 x∈PΦ (P),使得 o(x)=2.令M=〈x〉G,則 M ≤ P 且 1

(4)導(dǎo)出矛盾.

設(shè) x∈PΦ(P),則 o(x)=4.由假設(shè)條件知〈x〉在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,根據(jù)引理 6,可知P=〈x〉,即 P是循環(huán)群,這與 (2)中的 P非循環(huán)矛盾.證畢.

推論 1 p∈π(G)且群 G的每個 p階子群含于Z∞(G),進(jìn)一步,當(dāng) p=2時,4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 G是 p-冪零群.

推論 2 設(shè) N是群 G的正規(guī)子群,G/N為冪零群.若 N的每個極小子群含于 Z∞(G),且 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 G是冪零群.

推論 3 若群 G的每個極小子群含于 Z∞(G),且 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 G是冪零群.

根據(jù)推論 2,若 N=GN,可以得到一個冪零群的判別準(zhǔn)則,這里 GN為群 G的冪零剩余.

定理 2 設(shè) GN為群 G的冪零剩余,則 G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng) GN的每個極小子群含于 Z∞(G),且 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性.

證明 由推論 2可知充分性顯然成立.若 G是冪零群,則此時 GN=1,Z∞(G)=G,則 GN的每個子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性.從而必要性也成立.

推論 4[5]設(shè) G為一有限群,GN為 G的冪零剩余,則 G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng) GN的每個極小子群含于 Z∞(G),且 4階循環(huán)子群在 G中 c-正規(guī).

定理 3 設(shè)群 G=AB,其中 A,B為 G的 Hall子群.如果 A與 B的每個極小子群含于 Z∞(G),且 G的 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 G是冪零群.

證明 設(shè) L為 A的任意一個極小子群,由題設(shè)可知,L≤Z∞(G)∩A≤Z∞(A).由引理 1可知,A中的 4階循環(huán)子群在 A中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性.根據(jù)推論 3可得 A為冪零群,同理可證 B也為冪零群,因而G=AB為可解群.令 H為 G的任意一個極小子群,因為 A,B為 G的 Hall子群,則存在 g∈G,使得 Hg≤A或 Hg≤B.根據(jù)題設(shè)可知 Hg≤Z∞(G),從而 H≤Z∞(G).再由推論 3可得,G是冪零群.

因為 Z∞(G)≤SE(G),下面考慮 G的每個極小子群含于 SE(G),且 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性的情況,得到下述定理.

定理 4 設(shè) N是群 G的正規(guī)子群,G/N為超可解群.若 N的每個極小子群含于 SE(G),且 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 G為超可解群.

證明 若定理不成立,設(shè) G為極小階反例,則

(1)G是內(nèi)超可解群.

設(shè) K是 G的任意的真子群,則 K∩N?—K,K/K∩N?KN/N≤G/N為超可解群.因為 K∩N的每個極小子群包含于 SE(G)∩K,而 SE(G)∩K為 K的超可解嵌入子群,又 SE(K)為 K的最大超可解嵌入子群,所以 SE(G)∩K≤SE(K).由引理 1知 K∩N的 4階循環(huán)子群在 K中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,從而 K滿足假設(shè)條件.由 G階的極小性,可知 K為超可解群,從而 G是內(nèi)超可解群.

(2)P≤N.

由 (1)知 G為內(nèi)超可解群,則 G滿足引理 5中的 (1)～(5)條件.由 P/Φ (P)是 G/Φ (P)的極小正規(guī)子群,又 P∩N ?—G,故 (P∩N)Φ (P)=P或Φ (P).若 (P∩N)Φ (P)=Φ (P),則 P∩N≤Φ (P).由 G/P?M為超可解和 G/(P∩N)

(3)G為 2aqb階的內(nèi) 2-冪零群.

若 exp(P)=p,由假設(shè)條件和 (2)知 P≤SE(G),又 G/P為超可解,故 G超可解,矛盾.所以必有 p=2,exp(P)=4.此時由引理 5的 (2)知 G是內(nèi)冪零群,即 G為 2aqb階的內(nèi) 2-冪零群.

(4)對任意的 x∈PΦ(P),則 o(x)=4.

若否,設(shè)存在 x∈PΦ (P),使得 o(x)=2.令T=〈x〉G,則 T≤P且 1

(5)導(dǎo)出矛盾.

設(shè) x∈PΦ (P),則 o(x)=4,由條件知 ,〈x〉在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性.由引理 6可知 P=〈x〉,即 P是循環(huán)群.由引理 5的 (1)知 P是非循環(huán)的,矛盾.

推論 5 若群 G的每個極小子群含于 SE(G),且 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 G為超可解群.

注:若定理 4中的假設(shè)條件不變,不能推出 G是冪零群.例如,群 G=S3,取 N為 S3的正規(guī)的 Slyow 3-子群,滿足定理 4的假設(shè)條件,但 S3不是冪零群.

根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的結(jié)論:群 G是超可解當(dāng)且僅當(dāng) G的每個子群在 G中具有覆蓋遠(yuǎn)離性,因為覆蓋遠(yuǎn)離性蘊(yùn)含著半覆蓋遠(yuǎn)離性,可以得到一個超可解群的判別準(zhǔn)則.

定理 5 設(shè) G為群,則 G是超可解群當(dāng)且僅當(dāng)G的每個極小子群含于 SE(G),且 4階循環(huán)子群在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性.

證明 由推論 5知充分性顯然成立.若 G是超可解群,則 SE(G)=G,由超可解群的每個子群都具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,可知必要性也是成立的.

定理 6 設(shè)群 G=AB,其中 A,B為 G的 Hall子群,且 A,B中有一個為 G的正規(guī)子群.如果 A與 B的每個極小子群含于 SE(G),且 G的 4階循環(huán)子群在 G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,則 G為超可解群.

證明 設(shè) N為 A的極小子群,由題意可知 N≤SE(G)∩A≤SE(A).由引理 1可知,A中的 4階循環(huán)子群在 A中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性,根據(jù)推論 5可得 A為超可解群.同理可證 B也為超可解群.不妨設(shè) A?—G,則 AB/A?B超可解,故 G=AB為可解群.令 L為G的任意一個極小子群,因為 A,B為 G的 Hall子群,則存在 g∈G,使得 Lg≤A或 Lg≤B.根據(jù)題意可知 Lg≤SE(G),從而 L≤SE(G).再由推論 5可得,G為超可解群.

[1] WANG Y M.C-normality of groups and its properties[J].Journal of Algebra,1996,180:954-965.

[2] 樊惲,郭秀云,岑嘉評.關(guān)于子群的兩種廣義正規(guī)性的注記[J].數(shù)學(xué)年刊,2006,27A(2):169-176.

[3] 王燕鳴.極小子群對有限群結(jié)構(gòu)的影響 [J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2001,44(2):197-200.

[4] WEINSTEIN M.冪零與可解之間 [M].張遠(yuǎn)達(dá),譯.武漢:武漢大學(xué)出版社,1988.

[5] GUO X Y,GUO P F,SHUM K P.On semi coveravoiding subgroupsof finite groups[J].Journal of Pure and Applied Algebra,2007,209:151-158.

[6] 徐明曜.有限群導(dǎo)引 (上,下)[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[7] 陳重穆.內(nèi)外-∑群與極小非∑群 [M].重慶:西南師范大學(xué)出版社,1988.

(編輯:孟慶勛)

M in imal Subgroupsand Cyclic Subgroups of Order 4 w ith Sem i-Cover-Avoid ing Proper ty

ZHANG Fang-suo, GUO Xiu-yun
(College of Sciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)

O 152.1

A

1007-2861(2010)03-0268-04

10.3969/j.issn.1007-2861.2010.03.010

2008-11-28

國家自然科學(xué)基金資助項目(10771132);上海大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項目

郭秀云 (1956～),男,教授,博士生導(dǎo)師,博士,研究方向為有限群.E-mail:xyguo@shu.edu.cn