點(diǎn)嚙合齒面CNC制造技術(shù)的曲面包絡(luò)逼近法

周凱紅 周曉艷

桂林航天工業(yè)高等?？茖W(xué)校，桂林，541004

0 引言

準(zhǔn)雙曲面齒輪副齒面是一種滿足高速重載動(dòng)力傳動(dòng)要求的點(diǎn)嚙合齒面，它的嚙合性能由嚙合點(diǎn)處兩齒面的幾何結(jié)構(gòu)確定?；趥鹘y(tǒng)搖臺(tái)式機(jī)床的格里森齒面展成技術(shù)不能控制兩齒面嚙合跡線上每一個(gè)嚙合點(diǎn)處的幾何結(jié)構(gòu)，無法保證加工齒面的嚙合性能?；谟?jì)算機(jī)數(shù)字控制技術(shù)的Free－Form型多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的出現(xiàn)為改變這種狀況提供了可能。但基于該技術(shù)的齒面展成方法是，通過對(duì)刀具與工件在展成參考點(diǎn)處的相對(duì)空間位置和運(yùn)動(dòng)進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換，直接將傳統(tǒng)搖臺(tái)機(jī)床加工準(zhǔn)雙曲面齒輪的原理和方法運(yùn)用于Free－Form型機(jī)床。這種方法的實(shí)質(zhì)是以數(shù)控機(jī)床模擬傳統(tǒng)搖臺(tái)機(jī)床的功能，沒有充分發(fā)揮Free－Form型機(jī)床萬能運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，無法加工優(yōu)化設(shè)計(jì)的嚙合特性預(yù)定的點(diǎn)嚙合齒面［1－2］。Litvin等［3］通過展成一個(gè)與目標(biāo)齒面沿一給定的曲線相切的近似曲面，并以該曲面按一個(gè)給定的目標(biāo)函數(shù)逼近目標(biāo)齒面來確定刀具與工件的相對(duì)位置和相對(duì)運(yùn)動(dòng)即機(jī)床加工調(diào)整參數(shù)。該方法只能部分滿足齒面預(yù)定的嚙合性能要求［4］。與上述兩種材料線去除齒面加工方法不同，文獻(xiàn)［5］將點(diǎn)嚙合齒面視為一般的自由曲面，在通用數(shù)控機(jī)床上以具有自適應(yīng)性法矢的球面作為加工刀具，按給定的刀具軌跡規(guī)劃完成齒面的加工。該方法的缺陷是，其材料去除方式是點(diǎn)去除，加工效率低，但從理論上說它能精確加工任何設(shè)計(jì)齒面。該方法主要用于大模數(shù)齒輪和齒輪模具的加工。

本文提出了在內(nèi)蘊(yùn)齒面微分幾何特性的曲面活動(dòng)標(biāo)架下確定刀具相對(duì)工件展成運(yùn)動(dòng)的新方法，按此方法加工得到的齒面在指定的接觸跡線附近與目標(biāo)齒面有二階切觸，并能通過改變刀具在展成目標(biāo)齒面上指定接觸跡線各點(diǎn)時(shí)的姿態(tài)，使刀具的包絡(luò)面的其他區(qū)域以最小偏差逼近目標(biāo)齒面。這就是所謂展成點(diǎn)嚙合齒面的包絡(luò)逼近原理。本文所提出的這種齒面展成方法可以在Free－Form型五軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床上展成按預(yù)定嚙合特性設(shè)計(jì)的點(diǎn)嚙合齒面。

1 點(diǎn)嚙合齒面展成運(yùn)動(dòng)的曲面活動(dòng)標(biāo)架描述方法

點(diǎn)嚙合齒面的嚙合特性由兩嚙合齒面接觸跡線上每一個(gè)嚙合點(diǎn)處的零至二階參數(shù)以及接觸跡線以外兩嚙合齒面的間隙確定?；跀?shù)控技術(shù)加工具有預(yù)定嚙合特性的點(diǎn)嚙合齒面就是控制刀具相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)，使刀具曲面在此運(yùn)動(dòng)下的包絡(luò)面與加工目標(biāo)齒面沿齒面接觸跡線具有二階切觸，而在接觸跡線以外的區(qū)域，包絡(luò)面按預(yù)定的（最?。┢畋平庸つ繕?biāo)曲面。因此，展成齒面的刀具相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)應(yīng)按加工目標(biāo)齒面的幾何結(jié)構(gòu)來控制和描述。

活動(dòng)標(biāo)架的概念起源于研究剛體運(yùn)動(dòng)。Darboux等［6］以空間曲線的Frenet標(biāo)架沿曲線的運(yùn)動(dòng)來研究空間曲線的微分結(jié)構(gòu)。Cartan將活動(dòng)標(biāo)架引入空間曲面的研究，又將其從運(yùn)動(dòng)群推廣到任意李群，并引進(jìn)外微分形式，形成研究曲面微分結(jié)構(gòu)的新方法［7］。這一新方法的特點(diǎn)是將曲面微分特性與標(biāo)架沿曲面的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來，特別適合描述和控制刀具展成復(fù)雜曲面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

如圖1所示，刀具曲面Σt通過相對(duì)于坐標(biāo)系Sp｛Op；xp，yp，zp｝的運(yùn)動(dòng)Ψ 包絡(luò)出曲面Σg。設(shè)Lp是曲面Σg上的一條曲線，Lt是曲面Σt上的一條曲線，Lp與Lt對(duì)于運(yùn)動(dòng)Ψ相互共軛。Lg是形成包絡(luò)曲面Σg的特征線。因此，在運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，曲面Σt與Σg相切于Lg，而Lg總與Lt和Lp三線交于點(diǎn)M，故在點(diǎn)M，對(duì)于曲面Σt與Σg分別有活動(dòng)標(biāo)架Sft｛M；αt，υt，nt｝和Sfp｛M；αp，υp，np｝。其中，αi（i＝t，p）是曲線Li在點(diǎn)M 的單位切矢，ni是曲面Σ（i）在點(diǎn)M 的單位法矢，υi＝ni×αi。加工目標(biāo)齒面Σp與曲面Σg固結(jié)且沿曲線Lp與曲面Σg具有二階切觸，即曲面Σg和齒面Σp沿曲線Lp二階及二階以下參數(shù)均相等。

曲面Σt相對(duì)曲面Σg的角速度為

圖1 基于曲面活動(dòng)標(biāo)架的齒面展成運(yùn)動(dòng)模型

在M點(diǎn)，曲面Σt相對(duì)曲面Σg的速度為

因此，在任意點(diǎn)P，曲面Σt相對(duì)曲面Σg的速度為

于是，曲面Σt的包絡(luò)運(yùn)動(dòng)Ψ被表示為曲面Σt和Σg及其各自曲面上的曲線的微分幾何（活動(dòng)標(biāo)架運(yùn)動(dòng)）參數(shù)及兩曲面活動(dòng)標(biāo)架的相對(duì)位置參數(shù)的函數(shù)。

2 展成點(diǎn)嚙合齒面的包絡(luò)逼近原理

實(shí)際上，運(yùn)動(dòng)Ψ也代表一種從曲面Σt到曲面Σg的運(yùn)動(dòng)變換。如果曲面Σt是一種曲面結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單的刀具曲面（如平面、圓柱面、圓錐面和各種螺旋面等），那么，通過控制這種變換就可能包絡(luò)出結(jié)構(gòu)復(fù)雜的曲面Σg使其以最小的誤差逼近一個(gè)加工目標(biāo)曲面。這就是包絡(luò)逼近原理。

2.1 加工目標(biāo)齒面Σp和刀具曲面Σt及坐標(biāo)系

這里的加工目標(biāo)齒面Σp及其上指定曲線Lm就是按預(yù)定嚙合特性設(shè)計(jì)的點(diǎn)嚙合齒面和其上的接觸跡線，它在展成運(yùn)動(dòng)中始終與坐標(biāo)系Opxpypzp固結(jié)。因?yàn)樗且蠹庸さ哪繕?biāo)齒面，所以，目標(biāo)齒面Σp和指定的接觸跡線Lm的方程是已知的，設(shè)其在坐標(biāo)系Opxpypzp中可以分別表示為

接觸跡線Lm的切矢為

刀具曲面就是傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)刀盤，它是一個(gè)圓錐面，切齒刀盤與坐標(biāo)系Otxtytzt固結(jié)（圖2），它的參數(shù)方程在此坐標(biāo)系中為

另一個(gè)主方向（沿圓錐準(zhǔn)線）單位矢量為

圖2 刀具曲面及其坐標(biāo)系

刀具曲面Σt上展成目標(biāo)齒面Σp上的接觸跡線Lm的刀刃線Lt即圓錐面的一條母線Ln（圖2）。

2.2 刀具包絡(luò)面Σg和目標(biāo)齒面Σp沿接觸跡線Lm的二階切觸條件

設(shè)M處沿接觸線Lg的方向?yàn)镮g，M處沿Σp上的指定的曲線Lm的方向?yàn)镮m（即Lm在點(diǎn)M的切線幺矢ep的方向）（i＝t，p；j＝1，2）分別表示刀具曲面Σt和目標(biāo)齒面Σp在M處的主方向（圖3），那么，沿方向Ig，曲面Σt與曲面Σg的法曲率和短程撓率相等，即

圖3 由二階插值條件確定位置參數(shù)Δ

由于要求刀具曲面Σt所展成的曲面Σg與目標(biāo)齒面Σp沿指定曲線Lm具有二階切觸，故在M點(diǎn)，曲面Σg與Σp具有相同的主方向和對(duì)應(yīng)相等的主曲率，即

故由歐拉－貝特朗公式可求得

由式（11）～式（13）可將Δ表示為參數(shù)rtM和θp的函數(shù)。其中，rtM是點(diǎn)M 在曲面Σt上的嚙合點(diǎn)到Σt的錐頂?shù)木嚯x。由于曲面Σt是錐面，當(dāng)Σt沿錐面母線相對(duì)Σp移動(dòng)（即rtM改變）時(shí)，Σt的包絡(luò)曲面Σg總能與目標(biāo)齒面Σp沿指定的曲線Lm具有二階切觸。但對(duì)于不同的rtM值，Σg在曲線Lm以外的區(qū)域逼近目標(biāo)齒面Σp的程度是不同的，因此，可以通過控制rtM的變化，使Σg在曲線Lm以外的區(qū)域充分逼近目標(biāo)齒面Σp來控制刀具加工出滿足設(shè)計(jì)要求的齒面。

2.3 刀具曲面Σt及其包絡(luò)曲面Σg在坐標(biāo)系Sft中的嚙合方程

刀具曲面Σt及其包絡(luò)曲面Σg在坐標(biāo)系Sft中的嚙合方程可寫為

式中，Mfb為坐標(biāo)系Sft到坐標(biāo)系Sfp的變換矩陣（圖1）；Mbt為坐標(biāo)系Otxtytzt到坐標(biāo)系Sft｛M：et1，et2，nt｝的變換矩陣（圖2）；Mft為坐標(biāo)系Otxtytzt到坐標(biāo)系Sfp的變換矩陣（圖2）。

將式（3）、式（15）代入式（14），將式（14）在坐標(biāo)系Sft中寫成齊次坐標(biāo)的形式，并消去dsp／dt得

這里要特別指明的是，式（16）中的rtt是曲面Σt與曲面Σg的接觸線Lg上任意點(diǎn)N到曲面Σt錐頂Ot的距離（即向量r的模）（圖2）。

2.4 刀具曲面Σt的包絡(luò)曲面Σg在坐標(biāo)系Sp中的參數(shù)方程

曲面Σg是刀具曲面Σt相對(duì)工件運(yùn)動(dòng)形成的曲面族的包絡(luò)面，它在工件固連坐標(biāo)系Sp中的參數(shù)方程為

式（18）中的npp總是指向Σp的實(shí)體。

由式（17）可消去參數(shù)rtt，故曲面Σg的參數(shù)方程可表示為關(guān)于θt、θp、rtM和drtM／dθp的參數(shù)方程，這個(gè)曲面方程中的θp是曲面Σg的獨(dú)立參數(shù)，它表示Σg與Σt接觸線的位置。為了在下面曲面Σg與齒面Σp發(fā)生關(guān)系時(shí)，避免與Σp的參數(shù)θp混淆，故把這個(gè)曲面方程中的θp命名為θg，即

2.5 通過曲面Σg逼近目標(biāo)齒面Σp確定參數(shù)rtM和drtM／dθp

刀具曲面Σt沿接觸跡線Lm相對(duì)齒面Σp按式（3）運(yùn)動(dòng)，在與齒面Σp固連的坐標(biāo)系下展成曲面族Σg（式（19））。這是一個(gè)與齒面Σp在接觸跡線Lm附近有二階切觸的曲面族，若以Σg最小偏差逼近目標(biāo)齒面Σp為條件，可以從此曲面族中優(yōu)選出一個(gè)曲面，從而確定rtM及drtM／dθp，進(jìn)而由式（13）確定Δ（rtM，θp），最終由式（3）確定刀具與工件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。為此必須建立以曲面Σg與目標(biāo)齒面Σp偏差距離δ最小為目標(biāo)的齒面優(yōu)化模型。

圖4 曲面Σg沿接觸線Lgk與曲面Σp的偏差的確定

因?yàn)橐瑫r(shí)控制接觸跡線Lm兩側(cè)的偏差最小，所以，齒面優(yōu)化目標(biāo)是接觸跡線兩側(cè)的偏差和最小，故曲面逼近的數(shù)學(xué)模型如下：

目標(biāo)函數(shù)

約束條件

判斷Fk是否小于一個(gè)設(shè)計(jì)所要求很小的偏差值ε，若是，則接受上述設(shè)計(jì)結(jié)果；若不是，則應(yīng)改變刀具曲面Σt的形狀，重新按上述方法設(shè)計(jì)刀具相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)。一般通過改變?chǔ)瞭的壓力角即半錐角α0t或?qū)ⅵ瞭由錐面改為球面來滿足加工要求。

確定與Mk對(duì)應(yīng)的式（15）確定展成 Mk時(shí)的Δ，然后，由式（8）、式（12）確定刀具相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)。這就是由展成齒面的幾何結(jié)構(gòu)確定的刀具相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)方程，它寫在坐標(biāo)系Sfp下。通過坐標(biāo)系Opxpypzp、Sfp、Sft和Otxtytzt之間的坐標(biāo)變換矩陣可以將刀具相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)方程寫到坐標(biāo)系Opxpypzp中，并確定刀具相對(duì)工件的位置關(guān)系。上述刀具與工件相對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)位置的描述都是在坐標(biāo)系Opxpypzp、Sfp、Sft和Otxtytzt中進(jìn)行的（圖3、圖4），與機(jī)床坐標(biāo)系無關(guān)。要在Free－Form型機(jī)床上加工上述齒面，必須在Free－Form型機(jī)床上等效實(shí)現(xiàn)刀具與工件的上述相對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)位置關(guān)系。

3 包絡(luò)逼近原理在Free－Form型機(jī)床上的實(shí)現(xiàn)

3.1 Free－Form型機(jī)床簡(jiǎn)介

圖5是CNC銑齒機(jī)的三維概念圖。Free－Form型機(jī)床將齒輪加工所需的全部運(yùn)動(dòng)用六坐標(biāo)數(shù)控軸實(shí)現(xiàn)，取消了搖臺(tái)、刀傾及偏心機(jī)構(gòu)等，它具有六個(gè)聯(lián)動(dòng)坐標(biāo)軸：三個(gè)平動(dòng)軸X、Y、Z；三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸A、B、C。六根軸提供六個(gè)自由度，可靈活地控制工件與刀具在空間中的位置和運(yùn)動(dòng)。在Free－Form型機(jī)床上進(jìn)行加工時(shí)，刀具與工件的運(yùn)動(dòng)被分解成為X、Y、Z三個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng)和A、B、C三個(gè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。刀盤軸線與Z軸平行，工件軸線平行于XZ平面。

圖5 Free－Form機(jī)床的三維概念模型

另外，在Free－Form型機(jī)床上，六根數(shù)控軸的運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的，但是，只有X、Y、Z三個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng)和A、B兩個(gè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)合成工件和刀具之間的展成運(yùn)動(dòng)，它們按不同組合進(jìn)行聯(lián)動(dòng)，可以展成不同曲面逼近預(yù)先設(shè)計(jì)的齒面。刀盤軸線C只產(chǎn)生切削力所需的運(yùn)動(dòng)，與齒面展成運(yùn)動(dòng)無關(guān)。

3.2 機(jī)床運(yùn)動(dòng)分析坐標(biāo)系

如圖6所示，坐標(biāo)系Otxtytzt和Opxpypzp是分別與刀刃和工件固結(jié)的坐標(biāo)系，其中zt軸和zp軸分別與C軸和A軸重合。Omxmymzm是與機(jī)架固結(jié)的固定坐標(biāo)系，Om位于A軸與B軸的交點(diǎn)，它的各坐標(biāo)軸分別與機(jī)床各坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)平行。坐標(biāo)系Ohxhyhzh與Omxmymzm的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸相互平行，其坐標(biāo)原點(diǎn)Oh與坐標(biāo)系Otxtytzt的坐標(biāo)原點(diǎn)Ot重合于刀盤錐頂。軸zh與C軸重合。坐標(biāo)系Oexeyeze相對(duì)坐標(biāo)系Omxmymzm繞軸ym轉(zhuǎn)動(dòng)，ym與B軸平行。Oe與Om重合，軸ye與軸ym重合。坐標(biāo)系Odxdydzd的xd軸與xe重合于A軸，其余各坐標(biāo)軸與Oexeyeze的對(duì)應(yīng)各軸相互平行，其坐標(biāo)原點(diǎn)Od與Om的距離xmdx為常數(shù)。Od與Op重合于工件齒輪的根錐錐頂。

圖6 Free－Form型機(jī)床運(yùn)動(dòng)分析所涉及的坐標(biāo)系

3.3 機(jī)床加工調(diào)整參數(shù)的確定

在Free－Form型機(jī)床上實(shí)現(xiàn)包絡(luò)逼近的實(shí)質(zhì)是，通過圖6所示的機(jī)床坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)圖7所示的與包絡(luò)逼近等效的坐標(biāo)變換。這一過程由以下兩部分確定。

圖7 在Free－Form型機(jī)床上實(shí)現(xiàn)包絡(luò)逼近時(shí)，從刀具曲面到加工目標(biāo)曲面的兩條等效坐標(biāo)變換路徑

3．3．1 由刀具相對(duì)工件的等效運(yùn)動(dòng)關(guān)系確定機(jī)床加工時(shí)各控制軸的運(yùn)動(dòng)方程

按圖5、圖6所示的Free－Form型機(jī)床結(jié)構(gòu)和坐標(biāo)系關(guān)系，寫出刀具和工件在五軸聯(lián)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)方程，并與式（1）、式（3）描述的方程比較，從而求出各運(yùn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)控制方程。

首先得到A軸的位置控制方程：

其次得到B軸的運(yùn)動(dòng)控制方程：

最后得到在機(jī)床坐標(biāo)系Omxmymzm下展成點(diǎn)M處刀具相對(duì)工件的的速度為

由式（25）得在坐標(biāo)系Omxmymzm中刀具錐頂Ot相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)Oe的運(yùn)動(dòng)速度為

式中，Mem、Mpe、Mpf、Mmt均為坐標(biāo)變換矩陣（圖7）為角速度矢量的坐標(biāo)方陣。

由式（26）可得機(jī)床沿X、Y、Z軸的運(yùn)動(dòng)方程。

式（24）、式（26）確定了Free－Form型機(jī)床按設(shè)計(jì)齒面要求加工預(yù)定齒面時(shí)各數(shù)控軸的運(yùn)動(dòng)方程，這里，A軸的運(yùn)動(dòng)是基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)。

3．3．2 Free－Form型機(jī)床坐標(biāo)系中刀具與工件相對(duì)位置關(guān)系的確定

按圖5、圖6所示的Free－Form型機(jī)床結(jié)構(gòu)和坐標(biāo)系關(guān)系，寫出刀具和工件在五軸聯(lián)動(dòng)下的各機(jī)床坐標(biāo)系的變換矩陣，并與坐標(biāo)系Opxpypzp、Sfp、Sft和Otxtytzt組成的坐標(biāo)系變換關(guān)系進(jìn)行比較，從而求出各運(yùn)動(dòng)軸的位置控制方程：

在式（27）中，θA已經(jīng)由式（23）給出也已經(jīng)由上節(jié)的曲面包絡(luò)逼近模型確定，因此，在展成M點(diǎn)時(shí)，刀具錐面頂點(diǎn)Oh在機(jī)床坐標(biāo)系Omxmymzm的坐標(biāo)值可以用工件繞B旋轉(zhuǎn)軸相對(duì)初始位置轉(zhuǎn)過的角度θB表示。安裝距的初始值（展成第一個(gè)點(diǎn)時(shí)的θB值）確定了展成點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系中的位置，因此，可以根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)和展成齒面在機(jī)床坐標(biāo)系中的合理位置來選定θB的初始值，其他展成位置的θB值由式（24）對(duì)θp的積分式確定。恰當(dāng)選擇θB的初始值可以優(yōu)化刀具展成齒面時(shí)的切削力。安裝距的確定原理與θB的初始值相同。

在按上述方法確定了刀具相對(duì)工件的切齒運(yùn)動(dòng)和相對(duì)位置的控制，并通過五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床實(shí)現(xiàn)這些相對(duì)運(yùn)動(dòng)和五軸位置關(guān)系后，接下來要考慮的是齒深控制問題。這里，控制齒深的方法是：在不改變上述刀具與工件相對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)位置關(guān)系的情況下，由預(yù)先設(shè)計(jì)的根錐，按嚙合原理，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圓錐刀盤的刀頂面進(jìn)行修形（展成），使它們?cè)谏鲜鰴C(jī)床運(yùn)動(dòng)下與預(yù)先設(shè)計(jì)的根錐共軛，從而切實(shí)控制齒深。用這種方法就不必對(duì)已經(jīng)按上述方法設(shè)計(jì)好的機(jī)床調(diào)整參數(shù)進(jìn)行修正了。

4 切齒計(jì)算實(shí)例結(jié)果與分析

下面以一弧齒錐齒輪小輪凹面（正車面）的切齒計(jì)算為例來驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)的正確性。齒輪的基本參數(shù)見表1；齒面接觸跡線上部分點(diǎn)的一階和二階參數(shù)見表2。

表1 弧齒錐齒輪副小輪主要幾何參數(shù)表

表2 齒面接觸跡線上部分點(diǎn)的曲率及坐標(biāo)

根據(jù)本文介紹的切齒加工原理可知：如果不計(jì)切齒計(jì)算誤差和機(jī)床加工誤差，在加工得到的齒面Σg上，沿指定的接觸跡線上各點(diǎn)的零階、一階和二階參數(shù)與要求加工的齒面Σp對(duì)應(yīng)各點(diǎn)的零階、一階和二階參數(shù)都完全相等，即Σp與Σg沿指定接觸跡線具有二階切觸。因此，本文介紹的切齒方法能夠加工按預(yù)定嚙合特性設(shè)計(jì)的點(diǎn)嚙合齒面。表3給出了展成接觸跡線上各點(diǎn)的同時(shí)，在實(shí)際齒面范圍內(nèi)，展成齒面其他區(qū)域的最大偏差。圖8是按本文介紹方法展成的齒面與理論齒面對(duì)照的拓?fù)湫扌螆D。這里的理論齒面是：由給定大輪齒面設(shè)計(jì)小輪齒面時(shí)，大輪按設(shè)計(jì)所要求的傳動(dòng)規(guī)律在工件坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)得到大輪包絡(luò)面。其中，刀具包絡(luò)面Σg、加工目標(biāo)齒面Σp和大輪包絡(luò)面都在工件坐標(biāo)系Opxpypzp中，它們沿指定的接觸跡線相切，且有二階切觸。在小輪坐標(biāo)系中，這三個(gè)曲面的位置關(guān)系如圖9所示。在這三個(gè)曲面中，刀具包絡(luò)面Σg可以由刀具曲面通過展成運(yùn)動(dòng)，由嚙合方程求得；大輪包絡(luò)面可以由大輪齒面通過指定的大小輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，由嚙合方程求得。

表3 刀具在展成曲面與目標(biāo)齒面的最大偏差δmax

圖8 包絡(luò)逼近法展成的小輪凹面與理論齒面凹面的偏差分析拓?fù)鋱D（μm）

圖9 大輪齒面包絡(luò)面、小輪加工目標(biāo)齒面和刀具齒面包絡(luò)面之間的關(guān)系

加工目標(biāo)齒面Σp要依據(jù)加載齒面接觸分析（load tooth contact analysis，LTCA）的計(jì)算結(jié)果確定。由于LTCA的計(jì)算很復(fù)雜，且所得到的結(jié)果一般還需試驗(yàn)驗(yàn)證其精度，因此，一般Σp確切的曲面方程很難得到。考慮到大輪包絡(luò)面與Σp有圖9所示的位置關(guān)系，且二者偏差很小，故在本文中提到的刀具包絡(luò)面Σg逼近的目標(biāo)曲面（Σp），在實(shí)際切齒計(jì)算中用大輪包絡(luò)面替代。由圖8和圖9可知，當(dāng)Σg逼近大輪包絡(luò)面的最大偏差為δmax時(shí)，Σg逼近Σp的最大偏差δmaxb將不大于δmax，因此，這種替代對(duì)最終得到的齒面嚙合特性造成的影響是可以控制的，即這種影響可以控制在LTCA結(jié)果所要求的范圍內(nèi)。上述分析表明：包絡(luò)逼近法展成的小輪齒面始終能確保其與大輪齒面嚙合時(shí)獲得沿預(yù)定接觸跡線上每一嚙合點(diǎn)都具有預(yù)定的嚙合特性。

在本例中，按上節(jié)所介紹的切齒方法得到的齒面與大輪包絡(luò)面的偏差最大值為0．45μm，與目標(biāo)齒面的偏差最大值會(huì)小于這個(gè)值。進(jìn)一步研究表明，如果適當(dāng)改變刀具的形狀，還可以進(jìn)一步降低偏差，理論上可以證明曲面的包絡(luò)逼近方法可以充分（無限）逼近加工目標(biāo)曲面。這個(gè)實(shí)例也表明本文所介紹的加工方法具有很高的精度。

5 結(jié)束語

提出了在Free－Form型五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床上加工具有預(yù)定嚙合特性的點(diǎn)嚙合齒面的新的加工方法——曲面的包絡(luò)逼近法。在新的齒面展成方法中，刀具相對(duì)工件的展成運(yùn)動(dòng)是在內(nèi)蘊(yùn)齒面微分幾何特性的曲面活動(dòng)標(biāo)架下設(shè)計(jì)的，這就確保了加工得到的齒面在指定的接觸跡線附近與目標(biāo)齒面有二階切觸，并能通過改變刀具在展成目標(biāo)齒面上指定接觸跡線各點(diǎn)時(shí)的姿態(tài)，使刀具的包絡(luò)面的其他區(qū)域以最小偏差逼近目標(biāo)齒面。實(shí)例計(jì)算證實(shí)了所提出理論和方法能確保所展成的點(diǎn)嚙合齒面沿接觸跡線的每一嚙合點(diǎn)具有預(yù)定的嚙合特性，并在接觸跡線以外的齒面區(qū)域高精度地逼近加工目標(biāo)齒面。

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