王智明，楊建國

(上海交通大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院，上海 200240，wangzm301@sjtu.edu.cn)

可靠性模型自助參數(shù)估計法

王智明，楊建國

(上海交通大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院，上海 200240，wangzm301@sjtu.edu.cn)

為了提高可靠性模型參數(shù)估計精度，在分析傳統(tǒng)可靠性模型的基礎(chǔ)上，指出傳統(tǒng)的最小二乘法估計和逐次線性概似估計因受隨機變量假設(shè)分布的限制存在一定的局限性.用自助法給出了可靠性模型的參數(shù)估計，包括點估計和區(qū)間估計.計算結(jié)果表明:自助法所得參數(shù)的估計區(qū)間、標(biāo)準(zhǔn)差及模型標(biāo)準(zhǔn)殘差均小于傳統(tǒng)回歸法所得結(jié)果.在可靠性模型參數(shù)估計中，自助參數(shù)估計法通過增加模擬次數(shù)可快速逼近參數(shù)真值，方法快速、有效，可提高模型精度.

可靠性模型;自助參數(shù)估計;最小二乘法;逐次線性概似

可靠性模型在可靠性分析中具有十分重要的作用，通過可靠性模型，可在設(shè)計、試驗、運行和維修等階段對產(chǎn)品進(jìn)行可靠性分析和優(yōu)化.參數(shù)模型是可靠性模型分析中常見的模型之一，該模型一般具有經(jīng)典的統(tǒng)計分布，如指數(shù)分布、正態(tài)分布、威布爾分布等，可用觀測失效數(shù)據(jù)估計出分布中的模型參數(shù).其參數(shù)估計的方法有:圖形法［1］、矩法［2］、極大似然法［3］、貝葉斯法［4］等.非線性模型參數(shù)估計的方法有［5］:帶約束的參數(shù)估計、穩(wěn)健估計、擬似然估計等.常用方法有兩種:一是非線性函數(shù)線性化，用最小二乘法進(jìn)行線性回歸［6－7］;二是對于不可線性化的內(nèi)在非線性函數(shù)可用泰勒級數(shù)展開，略去高次項，用逐次線性概似的方法解之［8］.上述兩種方法存在的問題是:前者有時由于模型精度過低而通不過假設(shè)檢驗;后者的求解過程過于煩瑣，有時陷于局部最小而得不到全局最優(yōu)解.

針對上述問題，本文提出了可靠性模型參數(shù)自助估計法，可在原方法的基礎(chǔ)上給出參數(shù)的點估計和區(qū)間估計，經(jīng)實例驗證，該方法快速、有效，模型殘差小，具有較高的精度.

1 可靠性模型參數(shù)估計的兩種常見方法的局限性

可靠性模型分為參數(shù)模型和非參數(shù)模型(本文討論參數(shù)模型)，兩類模型以非線性模型居多，其中可線性化的內(nèi)在線性模型可用最小二乘法進(jìn)行回歸分析，不可線性化的(內(nèi)在)非線性模型可用逐次線性概似的方法解之.

1.1 內(nèi)在線性模型參數(shù)的最小二乘估計

內(nèi)在線性模型是線性化的非線性模型，即可通過變換轉(zhuǎn)化成線性模型，其p元線性回歸模型為

n次獨立觀測的線性模型用矩陣形式表示為

1.2 內(nèi)在非線性模型參數(shù)的逐次線性概似估計

內(nèi)在非線性模型的一般形式為

對應(yīng)上式代換整理如下:

式(5)形如式(1)，線性回歸后可得Δβ的一組估計值，因此可解出

則為所求結(jié)果;否則以該值為新的初始值，返回式(4)，重新計算，直至滿足前后兩次參數(shù)估計值的相對誤差小于給定的允許誤差.

1.3 兩種估計法存在的問題及解決的辦法

從上面的分析可以看出，可線性化非線性模型和內(nèi)在非線性模型，其參數(shù)估計無論是采用最小二乘估計還是逐次線性概似估計，本質(zhì)都是線性回歸，式(1)和式(5)的相似性也說明了這一點.前者就隨機變量對模型精度的影響處理是要求殘差平方和最小，但由于這類模型在對數(shù)變形代換過程中改變了因變量的形式，使得變形后模型在其殘差平方和最小的情況下，原模型的殘差平方和不一定最小，因此，有時會出現(xiàn)變形后模型精度尚可，但原模型卻精度過低的情況;逐次線性概似法參數(shù)估計雖然可以使模型殘差平方和達(dá)到最小而逼近最佳的待估回歸系數(shù)，但其求解過程過于繁瑣，且解過分依賴于初始值，因此有時會陷于局部最小而得不到全局最優(yōu)解，即得不到最優(yōu)點處的平方和最小.另外，兩種方法均受到假設(shè)條件的限制.因為通常假定隨機變量為零均值，同方差和不存在自相關(guān)，且自變量之間不存在高度多重共線性.

自助Bootstrap法可以解決上述問題，這是因為自助Bootstrap法充分利用了子樣本身的信息，只依賴于給定的觀測信息，不需要其他的假設(shè).文獻(xiàn)［9］在時間序列多項式回歸分析中，就是用自助重復(fù)抽樣擬合出了參數(shù)估計值的分布.可靠性模型參數(shù)自助估計法對隨機變量分布總體無須做出任何假設(shè)，利用計算機通過增加模擬次數(shù)可快速逼近參數(shù)真值，提高模型精度.

2 可靠性模型參數(shù)的自助Bootstrap估計

2.1 自助Bootstrap法

然后用R*n的分布特性來迫近Rn的分布特性.因此有

因此可依式(6)統(tǒng)計求出θ的分布及其特征值，如均值、方差或分布密度函數(shù)等.

2.2 Bootstrap法在可靠性模型參數(shù)估計中的具體應(yīng)用

作為驗證，這里以文獻(xiàn)［12］提供的數(shù)據(jù)為例，可靠性模型選取威布爾分布.

具有經(jīng)典統(tǒng)計分布的威布爾分布是典型的可線性化的非線性模型，兩參數(shù)威布爾分布可靠性模型為

這里β為形狀參數(shù)，η為尺度參數(shù)，t為時間，R(t)為可靠度，設(shè)

對應(yīng)文獻(xiàn)［12］的一組失效數(shù)據(jù):t1，t2，…，tn，首先用中位秩估計可得模型的可靠性估計.公式如下:

因此，得到數(shù)據(jù)對(ti，R(ti))，由式(7)，有數(shù)據(jù)對(xi，yi)，隨后對應(yīng)式(8)作回歸分析，最后應(yīng)用自助法得到各參數(shù)的最后估計值，其中，取B=1 000，同時計算出其置信區(qū)間和標(biāo)準(zhǔn)差及各模型的標(biāo)準(zhǔn)殘差［13］，計算結(jié)果如表1.

表1 不同方法結(jié)果比較

自助法所得可靠性曲線與原始曲線如圖1所示，其可靠度在圖中分別用RB(t)、R(t)表示.圖2為自助法殘差隨機變量有放回的重復(fù)抽樣100、1 000次后的直方圖、密度估計曲線和正態(tài)分布概率密度曲線圖.

圖1 自助法可靠性曲線與原始曲線比較圖

圖2 自助法隨機變量直方圖、密度估計曲線和正態(tài)分布概率密度曲線圖

3 討論

1)從表1可以看出:自助法較之傳統(tǒng)的回歸法，其各項指標(biāo)均明顯優(yōu)于后者.特別是對參數(shù)置信區(qū)間的估計，在同等置信水平下，前者顯著好于后者.

2)從模型標(biāo)準(zhǔn)殘差看，若分別采用傳統(tǒng)回歸法中的最小二乘估計和逐次線性概似估計，其值分別為6.199、3. 676，后者小于前者，約為前者的一半左右.后者較高的模型精度其實是以其增加迭代次數(shù)為代價的，其中，迭代次數(shù)與允許誤差有關(guān);若在兩種傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上均采用自助法，模型標(biāo)準(zhǔn)誤差均會有不同程度的減小.前者減小0. 967，后者減小1.109.且后者仍為前者的一半左右，自助概似估計仍優(yōu)于自助平方估計.

3)前文已述及原模型的精度均低于變換后模型精度，這是因為等量變換改變了因變量形式所致.

4)從圖2可以看出:只有在大樣本(B=1 000)情況下，殘差分布才接近正態(tài)分布.因此傳統(tǒng)回歸視隨機變量ε～N( 0，σ2)的假定必然要影響模型的精度，而自助參數(shù)估計只依賴于給定的觀測信息，不需要其他假設(shè)的這一特點正好彌補了其不足，因此可獲得具有較高精度的模型.

4 結(jié)論

1)傳統(tǒng)參數(shù)估計中，視隨機變量為零均值，同方差和不存在自相關(guān)，且自變量之間不存在高度多重共線性的假定是影響模型精度的原因之一.

2)傳統(tǒng)參數(shù)估計中的最小二乘估計和逐次線性概似估計，本質(zhì)都是線性回歸.

3)自助參數(shù)估計法對隨機變量分布總體不做任何假設(shè)，利用計算機通過增加模擬次數(shù)可快速逼近參數(shù)真值，快速、有效，所得模型殘差小，與傳統(tǒng)的參數(shù)估計相比，可靠性模型具有較高的精度.

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Bootstrap method of parameter estimation in reliability model

WANG Zhi-ming，YANG Jian-guo

(School of Mechanical Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai， 200240，China，wangzm301@sjtu.edu.cn)

In order to improve the precision of parameter estimation of reliability model，based on the analyses of traditional reliability model，the limitations of least square method and gradual linear approximation because of their hypothetical distribution to random variable are pointed out，and the parameter estimators of point and interval are given by bootstrap method.The calculating results show that the estimated interval，standard error of parameter and the standard residual errors of the model are both less than those estimated by traditional method.Bootstrap method can approximate the actual value quickly than traditional way when increasing simulative times，so this method is feasible and effective and has a better accuracy than the latter.

reliability model;bootstrap parameter estimation;least square method;gradual linear approximation

TB114

A

0367－6234(2010)05－0820－04

2008－10－27.

高等學(xué)校全國優(yōu)秀博士學(xué)位論文作者專項資金資助項目(200131).

王智明(1969—)，男，博士研究生;

楊建國(1957—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

(編輯 楊 波)