路基下空洞的有限元動力模擬與分析

徐建國，王 斌，蔡迎春，王復明

(鄭州大學 水利與環(huán)境學院 道檢中心，鄭州 450002)

便攜式落錘彎沉儀(Portable Falling Weight Deflectometer，簡稱PFWD)是目前國際上普遍采用的結構強度無損檢測儀器(圖1)。其特點是:檢測快、測試數(shù)據(jù)客觀、精度高、便于攜帶、操作簡單、自動化程度高，適用范圍廣、無破損、影響深度大，能夠直接反映現(xiàn)場實際情況等。PFWD主要用于路基路面、鐵路、機場、港口、城市交通及工業(yè)與民用建筑等檢測領域。在道路勘察設計和施工過程中，經常會遇到設計路基下方存在各種類型的地下空洞，地下空洞這種不良地質現(xiàn)象的存在常使路基失穩(wěn)，嚴重時會造成路基、路面、涵洞等構筑物的破壞。所以，如何準確地找出這些病害的位置及分析其大小成為工程界一直關注的課題。本文根據(jù)有限元動力分析原理，對地表下既有空洞的情況進行正演模擬，通過對PFWD動載作用下的時程曲線進行分析，據(jù)此來探索查找空洞的位置和大小的方法。

圖1 便攜式落錘彎沉儀(PFWD)

1 有限元動力分析原理

由于采用PFWD對壓實度較好的路基進行沖擊荷載試驗時，路基的塑性變形較小，故本文采用三維彈性體模型模擬路基變形。在動荷載作用下的彈性體介質內，其動力控制微分方程為

式中，σij，j是在坐標系 x1、x2、x3中應力張量 σij對獨立坐標xj求偏導數(shù);fi為 i方向的外力;ρ是質量密度;μ是阻尼系數(shù);ui，tt和 ui，t分別是 ui對 t的二次導數(shù)和一次導數(shù)，即分別表示i方向的加速度和速度。

對式(1)采用有限元求解，可以得到彈性半空間的系統(tǒng)動力有限元平衡方程式中，［M］、［C］、［K］分別是彈性半空間系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;分別是加速度向量、速度向量和位移向量;{Q(t)}是動荷載。

巖土材料本構關系明顯與加載速度有關，顯然這是黏性因素的影響。本文本構關系中的模量采用等效動彈模量，可根據(jù)實測數(shù)據(jù)反演而得。黏性因素由阻尼矩陣體現(xiàn)，本文采用 Rayleigh阻尼，即單元阻尼陣［C］e=α［M］e+β［K］e，α = ξω1，β = ξ/ω1，上標 e表示矩陣為單元矩陣，ξ為阻尼比，ω1為結構的基頻。對于式(2)采用無條件穩(wěn)定的隱式算法Newmark法進行求解。

Newmark積分方法實質上是線性加速度法的一種推廣。它采用下列假設

其中，α和δ是按積分精度和穩(wěn)定性要求而決定的參數(shù)。由式(4)解得

將式(5)帶入式(3)，然后再代入式(2)，則得到從at、計算at+Δt的公式

當 δ≥0.5，α≥0.25(0.5+ δ)2時，Newmark 方法無條件穩(wěn)定。

2 分析模型與程序驗證

由于PFWD的影響深度在70 cm左右，所以，在PFWD沖擊荷載作用下，建立水平方向6 m×6 m，厚度為4 m的三維長方體模型可以滿足精度要求。對模型進行有限元劃分選用六面體8節(jié)點等參單元，每個單元8個高斯點，對模型進行劃分共計8 000個單元，9 621個節(jié)點，剖面示意如圖2所示(圖2中變量見3.1)。由于空洞的存在使不同工況下單元及節(jié)點稍有不同。有限元底邊邊界條件按固結考慮，側面采用黏性邊界即設置黏性阻尼器來模擬水平方向的無限性。

圖2 三維模型剖面示意

根據(jù)動力有限元原理和模型采用Fortran90語言編制了相應的有限元正演程序。由于地形邊界的不規(guī)則性，使幾何模型的建立與劃分的程序實現(xiàn)的通用性差，而ANSYS在模型的網格劃分功能很強大，所以模型建立與網格劃分采用ANSYS的參數(shù)設計語言(APDL)編寫相應的宏命令文件，然后用 Fortran90編寫模塊調用ANSYS生成的CDB文件的網格信息。

為驗證有限元正演程序的模擬效果，在沒有空洞的路基上用PFWD進行了測試。作用荷載為PFWD沖擊荷載，如圖3所示，測試所得的時程曲線如圖4實線所示。在相同動荷載作用下用有限元正演程序計算的時程曲線如圖4中虛線所示，兩者吻合較好，表明了正演程序的有效性。

圖3 PFWD沖擊荷載

圖4 時程曲線對比

3 路基下存在空洞的動力模擬與分析

3.1 分析工況

路基下空洞三維空間模型的xoz剖面示意如圖2所示，影響PFWD時程曲線特性與空洞有關的因素可歸納為:①空洞的高度H;②空洞的寬度W;③空洞的埋深Z;④PFWD作用位置的中心線位置到空洞中心的距離X;⑤空洞的橫截面面積A;⑥F為PFWD施加的荷載。為了便于討論，不特別說明先假設空洞為長方體。下面分四種工況進行討論，其中空洞的寬度和橫截面積合為一個工況進行。

3.2 空洞的高度變化對動力響應的影響

模型中空洞高度分別取 10、20、30、40、50 cm，在圖5中依次用 H1、H2、H3、H4和 H5表示。荷載作用在空洞正上方，空洞埋深及橫截面積大小固定不變時，對其進行正演模擬，得到相應的空洞高度變化對時程曲線的影響，如圖5所示。從圖5可以看出，空洞高度的變化對時程曲線沒有明顯的影響，僅影響作用荷載結束后的波形略有變化。由此可見，在其它因素確定的情況下，僅空洞的高度H變化對時程曲線影響甚微。

圖5 空洞高度對時程曲線的影響

3.3 空洞的橫截面變化對動力響應的影響

圖6 空洞橫截面對時程曲線的影響

空洞在水平方向的橫截面積取20 cm×20 cm、25 cm×25 cm、30 cm×30 cm和35 cm×35 cm，在圖6中依次用M3、M4、M5及 M6表示。作用荷載位于正上方，埋深和空洞高度固定，對其進行正演模擬，得到相應的空洞橫截面變化對時程曲線的影響曲線。從圖6可以看出，當埋深固定時，空洞水平橫截面越大，時程響應曲線的位移值也越大，而且使最大位移峰值向后延遲明顯，對于第一個半波最大位移變化和時間延遲數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 空洞橫截面對時程曲線的影響

3.4 空洞的埋深變化對動力響應的影響

PFWD動荷載作用在40 cm×40 cm×20 cm的空洞的正上方，埋深對時程曲線的影響如圖7所示，其中Z 代表埋深，Z1=20 cm，Z2=25 cm，Z3=30 cm，Z4=35 cm，Z5=40 cm。從圖7可以看出，隨著空洞埋深的變化時程曲線發(fā)生了明顯的變化，對于第一個半波的最大位移變化和時間延遲數(shù)據(jù)如表2所示。由第一個半波的變化可以看出當空洞埋深<40 cm時，空洞對時程曲線影響比較明顯，當埋深比較大時時程曲線變化不太明顯，是由于PFWD的影響深度只有70 cm左右，所以空洞的影響深度比較小。對于較深的空洞缺陷，可以采用更大的作用荷載以便顯示缺陷對時程曲線的影響，從而判斷空洞的位置。

圖7 空洞埋深對時程曲線的影響

表2 空洞埋深對時程曲線的影響

3.5 作用荷載位置變化對動力響應的影響

由圖8可以看出，空洞位置與大小固定時，改變作用荷載的位置對時程曲線的影響，其中F代表動荷載作用的位置偏離空洞正上方的位移，F(xiàn)0=0，F(xiàn)1=10 cm，F(xiàn)2=20 cm，F(xiàn)3=30 cm，F(xiàn)4=40 cm，時程曲線發(fā)生了明顯的變化，時間延遲較小，位移變化較大，對于第一個半波最大位移變化和時間延遲數(shù)據(jù)如表3所示。這對確定空洞的位置提供了依據(jù)，當荷載作用在空洞的上方時，時程曲線的峰值明顯增大，波動明顯變化。

圖8 作用荷載位置對時程曲線的影響

表3 作用荷載位置對時程曲線的影響

4 結論

本文基于編寫的有限元動力分析程序對路基下空洞模型進行了數(shù)值模擬，計算結果顯示，該方法能夠有效地反應空洞對時程曲線的影響。通過各工況時程曲線的分析可得出如下結論:當路基下存在空洞缺陷時，可通過便攜式落錘彎沉儀(PFWD)的荷載作用位置的變化來確定空洞在水平方位;空洞的埋深和空洞上表面的大小對時程曲線的影響較大;空洞高度方向的變化對時程曲線沒有太大的影響;隨著作用荷載大小的不同，空洞深度對時程曲線的影響有一定的范圍。這些結論為判斷空洞的大小、位置、埋深等提供了技術依據(jù)，同時也為下一步的基于正演模型的空洞反演分析提供了技術支持。

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