陳鵬宇 段新勝

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院,武漢 430074)

灰色預(yù)測模型是灰色理論的重要組成部分,而GM(1,1)模型是灰色預(yù)測模型中最基本的預(yù)測模型,已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3].但是GM(1,1)模型在許多情況下預(yù)測精度并不高,即使擬合純指數(shù)序列也得不到滿意的結(jié)果,因此一些學(xué)者對其進行了研究[4-13],包括初始值確定[4-5]和背景值構(gòu)造兩方面[6-13].初始值確定雖然在一定程度上影響了GM(1,1)模型的預(yù)測精度,但是最主要的精度影響因素還是背景值構(gòu)造的缺陷.文獻[7-8]以拉格朗日中值定理在理論上分析了背景值構(gòu)造的不足,文獻[9]從幾何思想上分析了背景值構(gòu)造的不足,文獻[10-12]從積分思想上分析了背景值構(gòu)造的不足,文獻[13]在非嚴(yán)格等比數(shù)列的基礎(chǔ)上對積分思想的背景值構(gòu)造進行進一步優(yōu)化.本文將基于文獻[13]提出的非嚴(yán)格等比數(shù)列(文中稱之為近似指數(shù)序列)思想,重新審視文獻[12]中的背景值構(gòu)造,并指出文獻[13]優(yōu)化方法的不足,建立新的背景值構(gòu)造形式.實例應(yīng)用結(jié)果顯示,新背景值構(gòu)造形式下的GM(1,1)模型具有更高的精度.

1 GM(1,1)模型建模機理及其缺陷

令x(0)為GM(1,1)建模序列

令x(1)為x(0)的AGO 序列

令z(1)為x(1)的均值(MEAN)序列

則GM(1,1)的定義型,即GM(1,1)的灰微分方程模型為

式中,a為發(fā)展系數(shù),b為灰作用量,是微分方程的參數(shù).

灰微分方程白化型為

GM(1,1)白化型響應(yīng)式為

由最小二乘法,可以求得參數(shù)

在區(qū)間[k-1k]上對灰微分方程白化型兩邊積分[12]:

即

將式(5)與灰微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b比較可以得到兩者的差別僅為x(1)(k-1)),顯然以x(1)(k-1))更能適應(yīng)灰微分方程白化型.文獻[12]以原始數(shù)據(jù)為純指數(shù)序列的前提下導(dǎo)出的表達式,具體如下:

假設(shè)原始數(shù)據(jù)x(0)(k)=gea(k-1)為純指數(shù)序列,則其一次累加序列為x(1)(k)=Gea(k-1)+C,其中G=g(1-e-a)-1,C=-Ge-a,k=1,2,…,n.

經(jīng)計算可得

2 背景值構(gòu)造的重新優(yōu)化

文獻[13]指出文獻[12]中的背景值構(gòu)造是基于純指數(shù)序列推導(dǎo)出的,其并不適合于非嚴(yán)格等比序列或者說近似指數(shù)序列,并給出了優(yōu)化后的背景值形式

文獻[13]雖然認(rèn)識到了由純指數(shù)推導(dǎo)出的背景值構(gòu)造形式并不適合于近似指數(shù)序列,但是其僅僅是將文獻[12]中的ak和Ck用近似值a′和C來代替,該方法并不能從根本上解決背景值構(gòu)造形式對近似指數(shù)序列的適用性問題.下面仍以文獻[12]中的積分思想推導(dǎo)出新的背景值構(gòu)造形式.

至于動態(tài)修正項的求解本文采用具有全局尋優(yōu)能力的遺傳算法.具體操作可利用Matlab編程及其遺傳算法工具箱,在原始數(shù)據(jù)殘差平方和最小目標(biāo)下進行搜尋,即

3 實例分析

以江蘇省1997～2002年的財政科技投入數(shù)據(jù)[12]建立原GM(1,1)模型、文獻[12-13]中背景值重構(gòu)模型以及本文模型,原始數(shù)據(jù)見表1,各模型預(yù)測值見表2.

表1 1997～2002年江蘇省財政科技投入

表2 各模型預(yù)測結(jié)果比較

利用1997～2002年的財政科技投入數(shù)據(jù)建立原GM(1,1)模型得時間響應(yīng)式為

建立文獻[12]中背景值重構(gòu)模型時間響應(yīng)式為

建立文獻[13]中再優(yōu)化模型,得時間響應(yīng)式為

建立本文重新優(yōu)化模型,得時間響應(yīng)式為

其中 α(k)={-0.204,0.350,0.031,4,0},k=2,3,4,5,6,它們的累加還原值為

從表2預(yù)測結(jié)果可以看出由純指數(shù)導(dǎo)出背景值形式的文獻[12]中的改進模型以及將級比看作常數(shù)的文獻[13]中再優(yōu)化模型都不適合于近似指數(shù)序列,文獻[12]模型預(yù)測值明顯偏大,而文獻[13]模型預(yù)測值明顯偏小,兩種模型預(yù)測精度甚至不如原始的GM(1,1)模型,這樣的改進意義不大,而本文的重新優(yōu)化模型解決了GM(1,1)模型對于近似指數(shù)序列擬合的問題,其殘差平方和由GM(1,1)模型的0.294減小到了0.279,提高了預(yù)測精度.

4 結(jié) 語

分析了原有兩種基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的GM(1,1)模型存在的問題,通過兩種模型的積分思想以及非嚴(yán)格等比數(shù)列思想建立了添加動態(tài)修正項的重新優(yōu)化背景值構(gòu)造形式,其適合于近似指數(shù)序列建模,實例應(yīng)用結(jié)果顯示其提高了預(yù)測精度,具有更高的應(yīng)用價值.

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