李小林

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 沙坪壩 400047)

數(shù)百年來(lái),人類應(yīng)用科學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論分析這兩種科學(xué)手段推動(dòng)著科技的進(jìn)步和社會(huì)的發(fā)展.但對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題,理論分析常常束手無(wú)策,同時(shí)科學(xué)實(shí)驗(yàn)又具有很大的局限性.隨著上世紀(jì)電子計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用,科學(xué)計(jì)算被推向人類科學(xué)活動(dòng)的前沿,并逐步發(fā)展成為第三種科學(xué)研究手段.目前,科學(xué)計(jì)算已被廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、地質(zhì)學(xué)、氣象學(xué)和材料學(xué)等學(xué)科,并產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支,而數(shù)值計(jì)算方法是這些計(jì)算性交叉學(xué)科的基礎(chǔ)和核心[1-2].

數(shù)值計(jì)算方法(又稱為數(shù)值分析)著重研究各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值求解方法,包括方法的構(gòu)造和求解過(guò)程的理論分析.它是數(shù)學(xué)和理工科專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程,在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和解決實(shí)際問(wèn)題的能力等方面起著舉足輕重的作用.但由于數(shù)值計(jì)算方法既具有理論上的高度抽象性與邏輯嚴(yán)密性,又具有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性等特點(diǎn),致使許多學(xué)生對(duì)這門課程缺乏學(xué)習(xí)興趣,從而實(shí)際教學(xué)效果很不理想.因此,如何提高該課程的教學(xué)水平和教學(xué)效果已成為當(dāng)前教學(xué)改革的焦點(diǎn)之一,備受數(shù)學(xué)教育界人士的關(guān)注[3-6].

從上世紀(jì) 80年代開(kāi)始,許多高等院校相繼把數(shù)值計(jì)算方法作為理工科專業(yè)本科生的基礎(chǔ)課和碩士生的公共必修課,并經(jīng)過(guò)近 30年的發(fā)展取得了可喜的成績(jī).但是該課程在目前的教學(xué)中還存在一些問(wèn)題:1)本課程包括大量冗長(zhǎng)繁瑣的計(jì)算公式和算法分析,但教學(xué)時(shí)數(shù)普遍較少,因而在使用傳統(tǒng)教學(xué)方法和手段授課時(shí)有些內(nèi)容不能深入細(xì)致地講解,導(dǎo)致教學(xué)效果不理想;2)受傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響,教學(xué)中只注重講解算法原理,而對(duì)上機(jī)實(shí)踐環(huán)節(jié)等不夠重視.針對(duì)上述問(wèn)題,本文從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面探討數(shù)值計(jì)算方法課程的教學(xué)改革.

1 更新教學(xué)內(nèi)容

1.1 選擇適宜教材,整合課程內(nèi)容

國(guó)內(nèi)外關(guān)于數(shù)值計(jì)算方法的優(yōu)秀教材已有很多,但對(duì)于不同專業(yè)的學(xué)生,由于培養(yǎng)目標(biāo)和教學(xué)計(jì)劃有所差異,因此應(yīng)該根據(jù)專業(yè)選取不同的教材.對(duì)于工科專業(yè),主要使學(xué)生領(lǐng)會(huì)計(jì)算原理并掌握計(jì)算方法,所以教學(xué)中可以淡化數(shù)學(xué)理論的證明,強(qiáng)化計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上的應(yīng)用[3-5],因此需要側(cè)重方法講解、算法設(shè)計(jì)和例題演算的教材,如文獻(xiàn)[7].對(duì)于理科專業(yè)和其它理論要求較高的專業(yè),要求學(xué)生不但能使用算法,而且還能研究和創(chuàng)造算法,所以教學(xué)中必須注重計(jì)算方法的構(gòu)造原理及其穩(wěn)定性、收斂性和誤差分析等理論的證明[6],因此需要側(cè)重理論推導(dǎo)的教材,如文獻(xiàn)[8].另外,對(duì)于基礎(chǔ)較好且要求較高的專業(yè),可以選用國(guó)外優(yōu)秀的原版教材,如文獻(xiàn)[9],讓學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的同時(shí)提高他們閱讀外文文獻(xiàn)的能力.

在選定教材后,在教學(xué)時(shí)還需要根據(jù)學(xué)時(shí)等的安排整合教學(xué)內(nèi)容.在學(xué)時(shí)較少時(shí)可以適當(dāng)刪減一些復(fù)雜且將來(lái)會(huì)隨著繼續(xù)深造而進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容,如微分方程的數(shù)值解等;在學(xué)時(shí)較充裕時(shí)可以增加一些目前的學(xué)科研究熱點(diǎn),如有限元方法和大規(guī)模計(jì)算方法等.其次,還要深入處理選定的講授內(nèi)容,使得所講內(nèi)容不但能保證知識(shí)的完整性和理論的系統(tǒng)性,而且能注重課程的廣泛應(yīng)用性.

1.2 加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié),培養(yǎng)應(yīng)用能力

數(shù)值計(jì)算方法是一門把理論和計(jì)算密切結(jié)合的課程,所以為了讓學(xué)生更好地體會(huì)計(jì)算方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用,我們?cè)诮虒W(xué)中必須加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié).實(shí)踐環(huán)節(jié)可安排兩方面的內(nèi)容.一方面,讓學(xué)生對(duì)典型的算法進(jìn)行上機(jī)實(shí)習(xí).在這個(gè)過(guò)程中,要求學(xué)生對(duì)每一算法畫出流程圖,編制相應(yīng)程序,然后上機(jī)調(diào)試并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果,最后寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告.由于一個(gè)問(wèn)題可能有多種計(jì)算方法,而每種算法又各有優(yōu)缺點(diǎn),因此要求學(xué)生使用不同算法計(jì)算這些問(wèn)題,并通過(guò)對(duì)比分析找出它們的優(yōu)缺點(diǎn),從而加深對(duì)各種算法的理解.例如,對(duì)一道非線性方程題目,要求學(xué)生分別使用簡(jiǎn)單迭代法、Aitken加速迭代法、Newton迭代法和弦截法等求解.另一方面,在這門課程結(jié)束后,讓學(xué)生分組完成一些綜合性的課題,比如傳染病的傳播問(wèn)題、邊界元方法中奇異積分的處理、病態(tài)方程組和 Fredholm積分方程的數(shù)值計(jì)算等.學(xué)生通過(guò)查閱資料、建立數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)算法上機(jī)、分析求解結(jié)果,可以體驗(yàn)初級(jí)科研的整個(gè)過(guò)程,從而達(dá)到培養(yǎng)他們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

教學(xué)實(shí)踐表明,學(xué)生通過(guò)實(shí)踐環(huán)節(jié)既有助于熟悉算法流程,加深對(duì)理論知識(shí)的理解,又有助于提高解決實(shí)際問(wèn)題的科學(xué)計(jì)算能力,還有助于擴(kuò)大知識(shí)面和提高科研創(chuàng)新精神,所以理論教學(xué)和實(shí)踐環(huán)節(jié)是相輔相成的,兩者缺一不可.

1.3 引入學(xué)科前沿,拓寬學(xué)生視野

科學(xué)工程計(jì)算的發(fā)展水平是衡量一個(gè)國(guó)家綜合國(guó)力的重要標(biāo)志[1-2].另外,信息技術(shù)的發(fā)展加快了各種知識(shí)的傳播和更新,使得計(jì)算方法及其理論的發(fā)展異常迅猛,所以我們的教學(xué)內(nèi)容必須緊扣當(dāng)前計(jì)算學(xué)科發(fā)展的主流,只有這樣才能使我們的學(xué)科發(fā)展和人才培養(yǎng)適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展需要.

在教學(xué)中,我們可以適當(dāng)介紹計(jì)算學(xué)科的前沿知識(shí)和發(fā)展趨勢(shì),同時(shí)引入國(guó)內(nèi)外的最新研究成果和學(xué)術(shù)報(bào)告,這樣不但可以讓學(xué)生學(xué)到的知識(shí)具有學(xué)術(shù)前瞻性,而且還可以幫助他們開(kāi)闊思維和拓寬視野.比如,在講授線性代數(shù)方程組的三角分解算法中的 Doolittle算法和 Crout算法時(shí),可涉及大規(guī)模稀疏帶狀方程組的求解;而在講授 Cholesky算法時(shí),可涉及有限元方法、邊界元方法和無(wú)網(wǎng)格方法等當(dāng)前偏微分方程的主流數(shù)值解法.另外,從事相關(guān)研究的教師,還可介紹計(jì)算方法在自己研究領(lǐng)域中的應(yīng)用,例如插值方法在圖像處理中的應(yīng)用,有限差分法等在力學(xué)和電磁學(xué)中的應(yīng)用.

2 改革教學(xué)方法

2.1 采用啟發(fā)式教學(xué),重視問(wèn)題引入

在傳統(tǒng)的灌輸式的教學(xué)模式里,學(xué)生總是被動(dòng)地學(xué)習(xí),這樣的教學(xué)方式很容易讓學(xué)生感到枯燥并產(chǎn)生厭學(xué)情緒,導(dǎo)致學(xué)到的知識(shí)只能用來(lái)應(yīng)付考試.啟發(fā)式教學(xué)是相對(duì)于灌輸式教學(xué)而言的,學(xué)生在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中充當(dāng)教學(xué)的主體,而教師由知識(shí)的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的組織者和指導(dǎo)者.啟發(fā)式教學(xué)能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性,有利于提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力[10].

眾所周知,對(duì)于不同的數(shù)學(xué)模型,有不同類型的數(shù)值算法.這些算法都有很強(qiáng)的應(yīng)用背景,因此教學(xué)中需要講清算法提出的背景、目的和設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)[6].對(duì)于每種類型的算法,可以先由實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型,然后通過(guò)討論分析得到解決該模型的算法及其理論基礎(chǔ),最后比較評(píng)估算法的優(yōu)缺點(diǎn)并對(duì)算法進(jìn)行提煉和改進(jìn).在講解完一類算法后,要適時(shí)總結(jié),指出這類算法所能解決問(wèn)題的類型,講清這類算法中各種算法之間的區(qū)別和聯(lián)系,并盡可能地幫助學(xué)生分析如何改進(jìn)已有的算法.例如,在講解非線性方程的數(shù)值解法時(shí),先舉一個(gè)簡(jiǎn)單但不容易獲得解析解的方程來(lái)說(shuō)明數(shù)值解的必要性,然后根據(jù)幾何作圖和零點(diǎn)存在定理很容易得到求解的具體方法——二分法,最后通過(guò)分析二分法的優(yōu)缺點(diǎn),提出它的改進(jìn)格式——簡(jiǎn)單迭代法.這種從實(shí)際應(yīng)用背景出發(fā)的啟發(fā)式教學(xué)體現(xiàn)了數(shù)值算法的價(jià)值和意義,不但能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓他們?cè)诮處煹膯l(fā)和自己的主動(dòng)思考中拓展思維空間和知識(shí)結(jié)構(gòu),而且能讓他們?cè)谙到y(tǒng)掌握理論知識(shí)的同時(shí)熟悉如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程.

2.2 突出直觀性教學(xué),注重?cái)?shù)形結(jié)合

對(duì)于計(jì)算方法中的很多內(nèi)容,在教學(xué)中都可以運(yùn)用畫圖和動(dòng)畫等數(shù)形結(jié)合的手段來(lái)突出所學(xué)知識(shí)的幾何直觀性,幫助學(xué)生從視覺(jué)上加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,這有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算方法的興趣和效率.例如,插值中的 Runge振蕩現(xiàn)象,學(xué)生在沒(méi)有圖形的情況下很難理解什么是振蕩現(xiàn)象,以及為什么會(huì)發(fā)生這種振蕩.但通過(guò)選取不同的等距插值節(jié)點(diǎn),并動(dòng)態(tài)地將相應(yīng)的插值圖形呈現(xiàn)在學(xué)生面前,學(xué)生馬上就能理解 Runge振蕩現(xiàn)象了.這樣的例子在數(shù)值計(jì)算方法課程中比比皆是,我們?cè)诮虒W(xué)中要有意識(shí)地設(shè)計(jì)這樣的圖形,突出直觀性.

3 創(chuàng)新教學(xué)手段

3.1 引入多媒體技術(shù),強(qiáng)化課堂教學(xué)

數(shù)值計(jì)算方法課程涉及大量復(fù)雜繁瑣的公式、算法分析和圖形等,如果只使用黑板加粉筆的傳統(tǒng)教學(xué)方式,將在板書上花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間和精力.隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及,多媒體技術(shù)為教學(xué)手段的現(xiàn)代化提供了多種可供選擇的功能.多媒體教學(xué)具有內(nèi)容豐富、圖文并茂和易于操作等優(yōu)點(diǎn),能形象地展示一些數(shù)值計(jì)算過(guò)程,使教學(xué)內(nèi)容變得生動(dòng)和易于理解,達(dá)到板書難于實(shí)現(xiàn)的效果.但多媒體教學(xué)容易加快教學(xué)速度,淡化教師與學(xué)生的交流.所以,可以在教學(xué)中適當(dāng)引入多媒體手段,充分發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)方式和現(xiàn)代教學(xué)方式的優(yōu)勢(shì).對(duì)基本概念、方法、計(jì)算技巧和理論證明等的講授可按傳統(tǒng)的教學(xué)方式為主,而將公式應(yīng)用、復(fù)雜計(jì)算、計(jì)算框圖、程序設(shè)計(jì)和圖形動(dòng)畫等利用多媒體課件進(jìn)行演示,這樣不僅能提高教學(xué)效率和教學(xué)效果,而且能使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)更加容易理解和掌握.

3.2 利用網(wǎng)絡(luò)資源,加強(qiáng)輔導(dǎo)答疑

由于受教學(xué)時(shí)間的限制,學(xué)生很難在課堂上完全吸收所學(xué)知識(shí),因此我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中需要利用課堂教學(xué)之余加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的課后輔導(dǎo)和答疑.首先要注重學(xué)生平時(shí)的習(xí)題作業(yè),并針對(duì)其中暴露的問(wèn)題進(jìn)行講解.其次,我們還可以利用QQ、FTP、郵箱和論壇等網(wǎng)絡(luò)資源加強(qiáng)輔導(dǎo)答疑這一輔助教學(xué)環(huán)節(jié),將教案和習(xí)題答案等放在網(wǎng)上供學(xué)生查閱,同時(shí)還能了解學(xué)生掌握知識(shí)的程度并及時(shí)解答學(xué)生的問(wèn)題,使輔導(dǎo)答疑對(duì)課堂教學(xué)的不足起到補(bǔ)充作用,進(jìn)而提高教學(xué)效果.

4 結(jié)語(yǔ)

本文從 3個(gè)方面對(duì)數(shù)值計(jì)算方法課程的教學(xué)改革進(jìn)行探討.在教學(xué)中,我們應(yīng)以算法的基本原理為基礎(chǔ),融入工程應(yīng)用的思想,重視實(shí)踐環(huán)節(jié).雖然教學(xué)改革是一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱巨的任務(wù),但只要我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中注意選擇教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法,積極改進(jìn)教學(xué)手段,認(rèn)真總結(jié)教學(xué)改革的經(jīng)驗(yàn),就能逐步提高該課程的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平.

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