●凌云志 (黃山區(qū)教育局教研室 安徽黃山 245700)
我們知道“經(jīng)過平面上2個點的圓有無數(shù)個且圓心都集中在這2個點的中垂線上”,這也啟發(fā)我們?nèi)ヌ骄浚航?jīng)過平面上任意2個點的拋物線是否也有無數(shù)個?即便能夠明確經(jīng)過2個點的拋物線有無數(shù)個,那能否按照某種需求來選擇或明確經(jīng)過已知2個點的拋物線呢?順延這條思路,深挖下去,會顯出豐實的寶藏.
探究1 經(jīng)過平面上任意2個點的拋物線是否有無數(shù)條?
在平面直角坐標系Oxy中,若有一條曲線y=ax2+bx+c經(jīng)過任意給定的2個點 A(x1,y1),B(x2,y2),則由c為參量,得c可以取到無數(shù)個不同的值使得a≠0,可知過點A,B的拋物線有無數(shù)條;
(2)當x1x2(x1-x2)=0時,不能由方程(1)來明確a的解,這時雖然找到與y軸平行的對稱軸且過點A,B的拋物線很難,但可以適當?shù)刂匦逻x擇坐標系O'x'y'(將原坐標系平移后再旋轉(zhuǎn)),使得點A,B 在新坐標系下的坐標為 A(x1',y1'),B(x2',y2'),并滿足 x1'x2'(x1'-x2')≠0.仿照(1)的推導,如圖1所示,過點A,B的拋物線也有無數(shù)條.因為式(2)可以看做a是c的一次函數(shù),a與c是互定關(guān)系,所以取定a后,b,c也就隨之確定,于是得結(jié)論1.
結(jié)論1 經(jīng)過平面上任意2個點 A(x1,y1),B(x2,y2)的拋物線總有無數(shù)條.只要滿足條件:x1x2(x1-x2)≠0,則可以選擇任意開口大小和開口方向不同的拋物線經(jīng)過這2個點,但對明確了的開口大小和開口方向的拋物線有且只有1條.
探究2 對于滿足條件:x1x2(x1-x2)≠0的點A(x1,y1),B(x2,y2),如何選擇適度的開口大小的拋物線,使得拋物線經(jīng)過這2個點時,不被其對稱軸分開.
圖1
圖2
圖3
若約定:點A在點B的左邊(x1<x2),則點A與點B的相對位置有3種情況:(1)如圖2,點A在點B的下方(y1<y2);(2)如圖3,點A在點B的上方(y1>y2);(3)點A與點B一樣“齊”(y1=y2).
先就圖2所示的第1種情況展開討論:為使過點A,B的拋物線的對稱軸不將2個點分開,因拋物線開口向上,點A,B只能位于對稱軸的右側(cè)(允許點A可以在對稱軸上),這時
若選擇的拋物線開口向下(圖3所示的第2種情況),點A,B只能位居對稱軸的左側(cè)(允許點B在對稱軸上),因?qū)ΨQ軸方程為
綜合式(3)和式(4),不論拋物線開口向上還是向下,對圖2中的情形,為使過點A,B的拋物線的對稱軸不將兩點分開,拋物線開口大小必須滿足:
最后,當y1=y2時,顯然任何經(jīng)過點A(x1,y1),B(x2,y2)的拋物線,點 A,B 一定是拋物線對稱軸的對稱點,不可能找到滿足條件的拋物線.反映在式(5)上的要求:|a|≤0,解得a=0(拋物線不存在),同樣得到說明.
探究3 反過來,是否經(jīng)過點A(x1,y1),B(x2,y2)的拋物線y=ax2+bx+c,滿足條件(5)就一定不被拋物線的對稱軸分開呢?
就圖4所示的情況進行分析:假定在開口向上的拋物線的對稱軸的2邊任意取點A(x1,y1),B因此可以將條件統(tǒng)一為(x2,y2),設(shè)頂點 M(m,l),于是
由 y2=a(x2-m)2+l,得
圖4
圖5
說明 落在拋物線上的對稱軸的2邊任意2個點是不會滿足條件(5)的.有興趣的讀者可以去研究圖5所示的情況,結(jié)果一樣.