秦麗華 樊小琳 劉 艷(.昌吉學院初教院 新疆 昌吉 800;

2.新疆工業(yè)高等?？茖W校 新疆 烏魯木齊 830091; 3.新疆建設職業(yè)技術學院 新疆 烏魯木齊 830054)

非自治無時滯Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的有界性和持久性

秦麗華1樊小琳2劉 艷3(1.昌吉學院初教院 新疆 昌吉 831100;

2.新疆工業(yè)高等?？茖W校 新疆 烏魯木齊 830091; 3.新疆建設職業(yè)技術學院 新疆 烏魯木齊 830054)

本文利用均值條件研究了N種群非自治無時滯的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的有界性和持久性.并給出了一個數值例子來驗證得到的結果。

Lotka-Volterra競爭系統(tǒng);均值條件;持久性;有界性

一、引言

在研究生態(tài)學中,人們最關注的是生物種群的有界性、持久性、滅絕性和全局漸近穩(wěn)定性。研究生態(tài)系統(tǒng)中種群有界、持久,種群滅絕的問題具有生物學意義和現實重要性。眾所周知,Lotka-Volterra模型在生物數學中具有十分重要的理論和現實意義,由此成為該領域的重要課題之一。最近二十年來,國內外發(fā)表了大量關于Lotka-Volterra系統(tǒng)的文章,而這方面的專著也陸續(xù)出現,并且得到了很多重要的、有意義的結論。

文獻[1-2]中的工作都是針對自治系統(tǒng)而言的,但是現實世界中種群的增長率總是隨著時間不斷變化的,即種群增長率ak不是常數,而是時間t的函數ak(t)。鑒于此,許多研究者針對具有時變增長率的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng),討論了種群的持久性、滅絕性和全局漸近穩(wěn)定性,得到了許多較好的結論,見文獻[3-4]。

在文獻[4]中,作者ShairAhmad和Alan C.Lazer研究了如下n種群Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)

這里N≥2,種群增長率ak(t)是定義在的有界函數并且具有嚴格正的上下界,常數競爭率bkj非負并且bk>0對任意的k=1,2,…,N.

在研究生態(tài)模型過程中,認為生物種群之間的競爭率是常數也是不合理的,我們應該考慮種群間的時變競爭因素和種群自身的時變密度制約因素。從數學角度講,考慮了時變關系的生態(tài)系統(tǒng)就是所謂的非自治生態(tài)系統(tǒng)。目前,關于非自治Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的研究工作很多,主要集中于討論種群的持久性,滅絕性和全局漸近穩(wěn)定性(見文獻[5-6])。但是關于利用均值條件來討論種群的有界性和持久性的研究結果并不多見。本文利用均值條件討論更一般的非自治無時滯Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的有界性和持久性。

本文的主要結構如下,第一節(jié)引言中較全面的綜述了Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)在均值條件下種群持久、種群滅絕和全局漸近穩(wěn)定性;第二節(jié)介紹了本文要用到的定義、假設及引理;第三節(jié)利用均值條件研究了N種群非自治無時滯的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的有界性和持久性;第四節(jié)給出了一個數值例子來驗證得到的結果。

二、模型描述、基本假設和定義

考慮如下n種群非自治Lotka-Volterra競爭系統(tǒng):

其中i∈N={1,2,…n},xi(t)表示第i種群在時刻t的密度,ai(t)表示第i種群在時刻t的內稟增長率,bij(t)表示第i種群和第j種群之間的競爭系數。

為了研究方便引入如下記號:

對于定義在[0,+∞)上的函數f(t),記:

顯然此系統(tǒng)存在唯一解x(t)=(x1(t)…,xn(t)),易證明解是正的,即xi(t)>0,i∈N

定義2.1:設(x1,x2,…xn)是系統(tǒng)(1)的滿足初始條件為xi(0)=Φi>0(k=1,2,…n)的解,稱系統(tǒng)(1)是持久的,如果存在正常數m和M使得

三、主要結論

定理1:在假設(H1)下,系統(tǒng)(1)以(4)為初始條件的解x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))滿足如下不等式

用反證法比較容易證明定理1的結論,這里省略證明。

定理2:在假設(H1)下,系統(tǒng)(1)以(4)為初始條件的解x(t)=(x1(t),x2(t),…xn(t))滿足

用反證法比較容易證明定理2的結論,這里省略證明。

定理3:在假設(H1)和(H2)下,系統(tǒng)(1)以(4)為初始條件的解

這個定理的證明需證明如下命題:

命題1:若定理3的結論不成立,那么存在系統(tǒng)系統(tǒng)(1)的以(4)為初值的解u(t)=(u1(t),u2(t),…un(t))以及存在集合N的最大非空真子集J滿足

命題3:假設定理3的結論不成立,記L=NJ,那么存在常數ε>0使得對任意的k≥1和l∈L,有

命題4:假設定理3的結論不成立,那么對任意的l∈L必存在常數xl使得

證明:根據定理1,存在M>0使得對任意的t≥0和l∈L有

命題4:證明完畢。

下面用反證法證明定理3,假設定理3的結論不成立,那么根據命題1-4 知, 存在集合N的子集L,正整數1≤j＊≤n且j＊?L,非負常數xl和yl(l∈L)使得(11)和(12)成立。

這與(12)矛盾,定理3證完。

由定理3,我們容易得到如下結論:

推論1:在假設(H1)和(H2)下,系統(tǒng)(1)持久。

四、數值實例和仿真

在本小節(jié)中,我們給出一個實例來說明本節(jié)結論的正確性和方法的有效性。

上述系統(tǒng)滿足定理3的所有條件,所以種群x1和x2都是持久的,數值模擬結果見下圖

[1]M.Braun,Differential Equations and theirApplications,Springer-Verlag,New York,1983.

[2]P.A.Keddy,Competition,Chapman&Hall,London,1989.

[3]S.Ahmand,A.C.Lazer,Average growth and extinction in a competitive Lotka–Volterra system,NonlinearAnal., 62(2005)547-557.

[4]S.Ahmad,A.C.Lazer,Necessary and sufficent average growth in a Lotka-Volterra system,Nonlinear Anal.,34 (1998)191-228.

[5]F.MontesDe Oca,M.L.Zeeman,Balancing survival and extinction in a nonautonomous competitive Lotka-Volterra Systems,Math.Anal.Appl.192(1995)360-370.

[6]滕志東.非自治Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的一些新結果[J].生物數學學報.1999,(14):385-393.

(責任編輯:馬海燕)

O157.5

A

1671-6469(2010)05-0102-05

2010-07-25

秦麗華(1966-),女,陜西西安人,講師,研究方向:應用數學、常微分方程理論及其應用。