數(shù)學(xué)物理方法在半導(dǎo)體PN結(jié)分析中的應(yīng)用

張懷廣

(濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南濮陽 457000)

數(shù)學(xué)物理方法在半導(dǎo)體PN結(jié)分析中的應(yīng)用

張懷廣

(濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南濮陽 457000)

半導(dǎo)體PN結(jié)具有的單向?qū)щ娦?是制造半導(dǎo)體器件的基礎(chǔ),使電子信息技術(shù)得以高速發(fā)展.我們用數(shù)學(xué)思想方法分析和解釋半導(dǎo)體PN結(jié)中電流的運動規(guī)律,探討了一個新的分析方法和教學(xué)思路.

數(shù)學(xué)物理方法;半導(dǎo)體 PN結(jié);載流子擴散電流;電荷的連續(xù)方程

1 前言

數(shù)學(xué)物理方法:將數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于現(xiàn)代高科技各專業(yè)技術(shù)領(lǐng)域,并構(gòu)建成典型的(物理)模型和解決問題的方法,從而形成科學(xué)研究中實用性很強的數(shù)學(xué)物理方法.

半導(dǎo)體PN結(jié)的模型:在純凈的硅晶體內(nèi)摻入特定雜質(zhì)形成雜質(zhì)半導(dǎo)體,例如摻入雜質(zhì)磷元素形成電子型半導(dǎo)體,摻入雜質(zhì)硼元素形成空穴型半導(dǎo)體.在電子型半導(dǎo)體和空穴型半導(dǎo)體的交界面附近由于電子和空穴的擴散運動而相遇中和,不能移動的雜質(zhì)離子形成的空間電荷區(qū),成為半導(dǎo)體PN結(jié).半導(dǎo)體 PN結(jié)阻止電子和空穴的進一步擴散運動,達到平衡狀態(tài).半導(dǎo)體PN結(jié)具有的單向?qū)щ娦允闺娮有畔⒓夹g(shù)得以高速發(fā)展.我們用數(shù)學(xué)思想方法分析和解釋半導(dǎo)體PN結(jié)中電流的運動規(guī)律.探討了一個新的分析方法和教學(xué)思路.

2 電子載流子的擴散過程

我們知道,在載流子濃度處于均勻的半導(dǎo)體材料中,不加外電場時,不會產(chǎn)生電流.我們稱其為平衡態(tài)載流子.如果在半導(dǎo)體中,某處的載流子濃度大于平衡載流子濃度(也稱為不均勻)時,載流子會由濃度大的地方向濃度小的地方擴散,這樣就在半導(dǎo)體中形成了擴散電流.

仔細(xì)觀察如圖1(a)所示的本征半導(dǎo)體,在其左端用光照射,在光的激發(fā)下,由于光電效應(yīng)使半導(dǎo)體左端增加了新的載流子濃度(電子或空穴),從而引起了半導(dǎo)體內(nèi)部載流子的濃度分布不均勻.以電子運動為例且只考慮一維的擴散運動,可以觀察到電子載流子濃度由大到小的分布如圖1(b)所示.

圖 1

可以發(fā)現(xiàn):雖然沒有外電場,僅由電子載流子濃度的差異就可以引起電荷的流動,由此形成擴散電流.因此可以根據(jù)電子濃度分布曲線的斜率,找出由電子載流子擴散引起的擴散電流 In的估算公式

依此類推,也可以找出由空穴載流子擴散引起的擴散電流 Ip的估算公式

式中:In——沿 x軸方向由電子載流子引起的擴散電流;Ip——沿 x軸方向由空穴載流子引起的擴散電流;S——半導(dǎo)體材料的截面積;q——電荷量;n——電子濃度;p——空穴濃度;Dn——電子擴散系數(shù),一般硅材料的電子擴散系數(shù) Dn=33cm2/s;Dp——空穴擴散系數(shù),一般硅材料的空穴擴散系數(shù)Dp=13cm2/s.

3 電荷的連續(xù)方程

在上述用光照射半導(dǎo)體材料的左端所產(chǎn)生非平衡載流子的現(xiàn)象中,可知它們的濃度與距離 x有關(guān),越靠近光照射的地方濃度越大;當(dāng)光照停止后,非平衡載流子的運動將逐漸消失,濃度逐漸趨于平衡,所以非平衡載流子的濃度也與時間有關(guān).連續(xù)方程就是考慮到上述兩個因素,用來描述載流子變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達式.

我們在圖1半導(dǎo)體材料中截出一塊小體積如圖2所示.為方便起見,用空穴載流子來描述非平衡載流子.

圖 2

設(shè)在同一時間 t內(nèi),流入小體積 x處的電流是Ip,流出小體積 x+d x處的電流是Ip+d Ip,假若d Ip>0,則每秒內(nèi)流出小體積的電荷量將大于流入的電荷量.因此,每秒小體積內(nèi)電荷量的減少值是d Ip.而空穴的電荷量為q,于是每秒小體積S d x內(nèi)空穴數(shù)的減少量是

這就是電荷的連續(xù)方程,它將非平衡載流子的濃度 p與距離 x和時間t組合在一個數(shù)學(xué)關(guān)系式中,反映了半導(dǎo)體材料中電荷量的守恒關(guān)系.

4 電荷的連續(xù)方程應(yīng)用于PN結(jié)的分析

我們還可以將電荷的連續(xù)方程應(yīng)用于PN結(jié)的分析.當(dāng)給PN結(jié)兩端加上一個穩(wěn)定的直流電壓V時,N區(qū)靠近結(jié)邊界附近的空穴濃度 p只是距離x的函數(shù),而與時間 t無關(guān).因此式(4)中的,再將式(2)代入式(4),整理得

若用 p′表示某一時間非平衡的空穴濃度,即:p′=p-p0,而平衡值 p0與時間 t、距離 x無關(guān),我們可以令:Lp=Dpτp(Lp為擴散長度),那么式(5)可以改寫為下面的形式

這個二階微分方程的解為

觀察這個微分方程的解時可以發(fā)現(xiàn):半導(dǎo)體材料沿 x方向距離的長度比擴散長度Lp大得多,故式(7)第二項將變得非常大,這實際上是不可能的,因此第二個積分常數(shù) K2=0.再令 x=0,可以求出第一個積分常數(shù) K1=p′(0).最后可以得出N區(qū)靠近PN結(jié)邊界附近的非平衡空穴濃度 p與距離x的關(guān)系式.

由此得出結(jié)論:在PN結(jié)邊界附近,非平衡空穴濃度 p的分布是按指數(shù)規(guī)律衰減的,而且空穴在擴散中,不但濃度逐漸減小,其斜率(濃度梯度)也不斷減小.

5 結(jié)束語

利用數(shù)學(xué)物理方法,我們在對電子載流子擴散過程的分析過程中導(dǎo)出了電荷的連續(xù)方程,得出非平衡載流子的濃度 n或p與距離x和時間t的數(shù)學(xué)關(guān)系式.我們利用這個關(guān)系式不僅可以解釋PN結(jié)兩端半導(dǎo)體材料中空穴或電子濃度的分布規(guī)律,還為后續(xù)課程內(nèi)容中解釋PN結(jié)中多數(shù)載流子復(fù)合電流的變化規(guī)律提供了新的數(shù)學(xué)工具.

[1] 童詩白.模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京:人民教育出版社,1980

[2] 嚴(yán)鎮(zhèn)軍.數(shù)學(xué)物理方程[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社

APPL ICATIONOFMATH-PHYSICAL M ETHOD IN THE ANALYSISOF SEM ICONDUCTOR PN JUNCTION

Zhang Huaiguang
(Puyang Vocational and Technical College,Puyang,Henan 457000)

The unilateral conduction of semiconductor PN junction is the base of semiconductor devicesmanufacturing.It contributes to the rapid development of electronics and info rmation technology.In this paper,we analyze and exp lain themotion law of current in semiconductor PN junction by mathematical thinking method.New analysis method and teaching idea have been discussed.

math-physical method;semiconductor PN junction;diffusion current of carrier;continuous equation of charge

2008-09-22)

張懷廣,研究生畢業(yè),副教授.