田霆

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州362021)

指數(shù)分布恒加試驗(yàn)定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺失時(shí)的Bayes分析

田霆

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州362021)

運(yùn)用Gibbs抽樣迭代方法,解決Bayes分析中的后驗(yàn)邊際分布的計(jì)算問(wèn)題,得到滿足順序約束的參數(shù)的Bayes估計(jì).通過(guò)Monte-Carlo模擬表明,在各場(chǎng)合存在先驗(yàn)信息的情況下,Bayes估計(jì)的相對(duì)偏差和相對(duì)均方誤差都小于極大似然估計(jì);而對(duì)于沒(méi)有先驗(yàn)信息的情況,Bayes估計(jì)跟極大似然估計(jì)的效果差不多.

指數(shù)分布;恒定應(yīng)力;加速壽命;定時(shí)截尾;數(shù)據(jù)缺失;Bayes分析

在短時(shí)間內(nèi)對(duì)產(chǎn)品的可靠性指標(biāo)進(jìn)行評(píng)定,恒定應(yīng)力加速壽命(恒加試驗(yàn))是加速壽命試驗(yàn)中最常用的一種,故對(duì)其研究也較多[1-2].當(dāng)時(shí),以往的研究都是在沒(méi)有缺失數(shù)據(jù)的情況下進(jìn)行的.在試驗(yàn)中,由于各種原因常會(huì)遇到試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺失的現(xiàn)象,缺失數(shù)據(jù)一般較難處理.對(duì)一般壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺失時(shí)的統(tǒng)計(jì)分析,已有相關(guān)的結(jié)果[3-4].在加速壽命試驗(yàn)中,產(chǎn)品承受的應(yīng)力高于正常應(yīng)力水平,失效加快,數(shù)據(jù)缺失現(xiàn)象更容易發(fā)生;然而,對(duì)于加速壽命試驗(yàn)中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺失問(wèn)題,卻很少有人進(jìn)行研究.文[5]討論了定數(shù)截尾恒加試驗(yàn)中數(shù)據(jù)缺失時(shí)統(tǒng)計(jì)分析方法,并對(duì)各種估計(jì)的優(yōu)良性進(jìn)行模擬比較.茆詩(shī)松等[6]討論了當(dāng)壽命分布是指數(shù)分布時(shí),定數(shù)截尾場(chǎng)合下恒加應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)中常見(jiàn)的幾類數(shù)據(jù)類型(完全樣本、分組樣本、刪失樣本)的Bayes統(tǒng)計(jì)分析方法.同時(shí),他們運(yùn)用Gibbs抽樣迭代算法,解決了Bayes分析中極為復(fù)雜的后際邊際分布的計(jì)算問(wèn)題,得到滿足順序約束的參數(shù)的Bayes估計(jì).本文僅討論定時(shí)截尾恒加試驗(yàn)中,試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺失時(shí)統(tǒng)計(jì)分析方法.

1 基本假定

選擇l個(gè)應(yīng)力水平S1

考慮試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺失的情況,假設(shè)第i個(gè)應(yīng)力水平下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)只剩下ki個(gè),其取值依次為

下面給出恒加試驗(yàn)的兩個(gè)基本假定:

(Ⅰ)在正常應(yīng)力水平S0和加速應(yīng)力水平Si下,產(chǎn)品的壽命都服從指數(shù)分布,不同的僅在參數(shù)θ上.即在應(yīng)力水平Si下,產(chǎn)品壽命T的分布函數(shù)為Fi(t)=1-exp(-λit).其中:t>0;i=0,1,…,l;λi為失效率.

(Ⅱ)產(chǎn)品的平均壽命θi與所加應(yīng)力Si之間滿足lnθi=a+bφ(Si).其中:a,b為未知的待估參數(shù); φ(Si)為應(yīng)力水平的已知單調(diào)函數(shù).常用的A rrhenius模型和逆冪律模型均可寫(xiě)成上述形式.為后面行文方便,記φi=φ(Si).

在上述兩個(gè)基本假定下,討論數(shù)據(jù)(1)的統(tǒng)計(jì)方法.

2 參數(shù)的Bayes估計(jì)

如果應(yīng)力Si與λi滿足線性關(guān)系,即ln(1/λi)=a+bφ(si),則不難獲得參數(shù)a,b的最小二乘估計(jì)^a, ^b.因此,可以獲得正常應(yīng)力下失效率λ0的Bayes估計(jì)為^λ0=exp(^a+^bφ(s0)).

3 Monte-Carlo模擬比較

為了考察不同類型的微型電機(jī)(壽命參數(shù)λ不同)在各應(yīng)力水平下的可靠性特征,參數(shù)值分別取為λ1=5.2×10-5,λ2=4.4×10-4,λ3=2.5×10-4,λ4=1.0×10-4,各應(yīng)力水平下分別投入50個(gè)產(chǎn)品參加試驗(yàn),直到全部失效為止.在數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合下,假定應(yīng)力si只記錄到ki個(gè)失效數(shù)據(jù),0=ti,0

表1 參數(shù)估計(jì)值及其相對(duì)均方誤差表Tab.1 Relativities of the bias and MSE fo r the estimation

[1] 茆詩(shī)松,王玲玲.加速壽命試驗(yàn)[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[2] NELSON W B.Accelerated testing:Statisticalmodels,test p lans and data analysis[M].New York:John Wiley& Sons,1990.

[3] 王乃生,王玲玲.定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合下指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2001,8(3):229-235.

[4] BALA KRISHNAN N.On the maximum likelihood estimation of the location and scale parameters of exponential distribution based on multip ly type-Ⅱcensored samp les[J].J App l Statist,1990,17(1):55-61.

[5] 王乃生,王玲玲,恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺失時(shí)的統(tǒng)計(jì)分析[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,3(1): 35-44.

[6] 茆詩(shī)松,王靜龍,濮曉龍,等.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2002:35-38.

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[8] 顧龍全,周曉東,湯銀才,等.指數(shù)分布場(chǎng)合恒加試驗(yàn)缺失數(shù)據(jù)的Bayes統(tǒng)計(jì)分析[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào):A輯, 2006,21(2):183-190.

Bayes Analysis of Parameter of Exponen tial Distribution under Constant Stress Accelerated L ife Testing and M ultiply Type-ⅠCensoring

TIANG Ting
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

This paper discusses the Bayesian statistical analysis of the parameter of exponential distribution under constant stress accelerated life testing and multip ly type-Ⅰcenso ring.The compution of the comp licated post-marginal distributions involved in the Bayesian using Gibbs samp ling iteration algorithm is solved.By the Monte-Carlo simulation,this method is feasible.

exponential distribution;constant stress;accelerated life;type-Ⅰcensoring;datamissing;Bayesian analysis

O 213.2

A

(責(zé)任編輯:陳志賢 英文審校:張金順,黃心中)

1000-5013(2010)05-0597-04

2008-11-19

田霆(1972-),男,講師,主要從事產(chǎn)品可靠性的研究.E-mail:tianting1972928@sohu.com.

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Z0511027)