侯勇超趙開斌仇海全

（1巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖238000）

（2安徽科技學(xué)院理學(xué)院，安徽鳳陽233100）

基于排序函數(shù)的區(qū)間數(shù)非線性規(guī)劃模型及其解法

侯勇超1趙開斌1仇海全2

（1巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖238000）

（2安徽科技學(xué)院理學(xué)院，安徽鳳陽233100）

首先對區(qū)間數(shù)的排序方法進行了總結(jié)，給出了排序函數(shù)的定義，分類和性質(zhì)，并利用排序函數(shù)對一些區(qū)間數(shù)的排序方法進行了討論．其次，討論了含有區(qū)間數(shù)系數(shù)的非線性規(guī)劃模型，利用排序函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為一般的非線性規(guī)劃問題。最后通過例子說明了方法的簡便性和可行性。

區(qū)間數(shù)；排序函數(shù)；非線性規(guī)劃

1 引言

不確定性越來越受到人們的關(guān)注，其中應(yīng)用非常廣泛的是隨機性和模糊性。很多實際問題中，尤其是工程技術(shù)、管理決策等領(lǐng)域，由于測量的誤差和主觀因素的影響，往往只能得到一些數(shù)據(jù)的變化范圍（區(qū)間數(shù)的形式）。從隨機問題的角度來看，區(qū)間數(shù)可以視為服從均勻分布的隨機變量，從模糊問題的角度來看，通過模糊集的分解定理和表現(xiàn)定理，可以利用區(qū)間數(shù)來研究模糊問題。Moore提出區(qū)間分析以來，很多學(xué)者對區(qū)間數(shù)的排序問題進行了研究。這些方法大致分為兩類，其一是利用兩個區(qū)間數(shù)比較的優(yōu)勢度，可能度或滿意度，并通過判斷矩陣構(gòu)造排序向量進行排序，優(yōu)點是盡可能多的保留了區(qū)間數(shù)的信息，缺點是無法對所有區(qū)間數(shù)進行排序，這類方法主要用于多屬性決策；其二是將區(qū)間數(shù)的序通過映射轉(zhuǎn)化為實數(shù)的序關(guān)系[1-3]，優(yōu)點是簡單易行計算量小，缺點是轉(zhuǎn)化過程中會丟失信息。對于區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題的研究主要集中在區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃[4-6]，利用區(qū)間數(shù)的排序?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為普通的線性規(guī)劃問題。對于區(qū)間數(shù)非線性規(guī)劃，文獻(xiàn)[7]討論了含有決策風(fēng)險因子的模型，并用遺傳算法進行了求解。本文首先對區(qū)間數(shù)排序的方法進行了總結(jié)和歸納，提出了排序函數(shù)的概念并對已有排序方法進行了分類。然后，討論了區(qū)間數(shù)非線性規(guī)劃的一般模型，利用排序函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為一般的非線性規(guī)劃模型。最后通過例子說明的方法的可行性和合理性。

2 區(qū)間數(shù)運算和排序方法

定義1[8]設(shè)R為實數(shù)域，稱閉區(qū)間為區(qū)間數(shù)，分別稱為區(qū)間數(shù)的左端點和右端點。R上區(qū)間數(shù)的全體記作I（R）．

Moore(1979)提出如下區(qū)間數(shù)的排序方法：

定義4[9]設(shè)區(qū)間數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

這種方法無法比較區(qū)間數(shù)有重疊的情況。

Ishibuchi和Tanaka(1990)在研究區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃問題時，提出如下兩種區(qū)間數(shù)的序關(guān)系：

定義5[10]設(shè)區(qū)間數(shù)

以上均為區(qū)間數(shù)的偏序關(guān)系。

劉進生等提出了區(qū)間數(shù)比較的θ序:

定義7[1]設(shè)區(qū)間數(shù)

區(qū)間數(shù)的排序還可以借助于區(qū)間數(shù)的距離實現(xiàn),首先定義區(qū)間數(shù)的距離，然后找出問題的極大或極小區(qū)間數(shù)作為參照，通過計算與參照區(qū)間數(shù)距離的大小進行排序。

Tran和Duckstein（2002）考慮了區(qū)間數(shù)每一點的差值，并進行積分得到：

劉華文（2004）對上述距離不滿足正定性進行了改進，定義區(qū)間數(shù)距離為：

定義10[2]設(shè)區(qū)間數(shù)，則兩區(qū)間數(shù)的距離為

李霞等（2008）對以上距離某些情況下無法區(qū)分中點相同，半徑不同的區(qū)間數(shù)的缺點進行了改進，得到：

定義11[3]設(shè)區(qū)間數(shù)，則兩區(qū)間數(shù)的距離為

3 區(qū)間數(shù)排序函數(shù)及其分類

借助于區(qū)間數(shù)距離對區(qū)間數(shù)排序時，有幾個缺點：第一，只能對極大區(qū)間數(shù)左側(cè)或極小區(qū)間數(shù)右側(cè)的區(qū)間數(shù)進行排序，無法對所有區(qū)間數(shù)排序；第二，具體實現(xiàn)時需要事先求出極大或極小區(qū)間數(shù)；第三，排序方式不靈活，決策者很難根據(jù)自己的需要來選擇排序方式.事實上，可以用如下定義的排序函數(shù)來對全體區(qū)間數(shù)進行排序，決策者可根據(jù)自己的偏好，來選擇恰當(dāng)?shù)呐判蚍绞?

定義12 若定義在平面區(qū)域D?R2上的二元函數(shù)z=f（x，y）滿足如下條件：

（1）z=f（x，y）在定義域內(nèi)連續(xù)；

（2）z=f（x，y）在定義域內(nèi)分別關(guān)于x和y單調(diào)遞增；

（3）z=f（x，y）在定義域內(nèi)至少關(guān)于一個變量嚴(yán)格單調(diào)遞增。

則稱z=f（x，y）為區(qū)間數(shù)排序函數(shù)。

將x和y視為區(qū)間數(shù)的左右端點，則m和r是區(qū)間數(shù)的中點和半徑。定義12的含義為區(qū)間數(shù)的一端點不變，另一端點變大時，區(qū)間數(shù)變大。定義13表明，區(qū)間數(shù)的中點相同時，用保守型排序函數(shù)排序，得到半徑小的區(qū)間數(shù)較大的結(jié)果，而用風(fēng)險型排序函數(shù)得到半徑大的區(qū)間數(shù)較大的結(jié)果。這些都是與我們的直觀認(rèn)識相符的。

性質(zhì)2保守型排序函數(shù)和風(fēng)險型排序函數(shù)均可對中點相同的區(qū)間數(shù)辨別大小，結(jié)果相反。

性質(zhì)3折中型排序函數(shù)均存在對于個別中點相同，半徑不同的區(qū)間數(shù)無法辨別大小的情況。

證明：設(shè)z=f（x，y）＝g（m，r）為折中型排序函數(shù)。由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，z＝g（m，r）為連續(xù)函數(shù)。由折中型排序函數(shù)的定義，?m0，z=g（m0，r）關(guān)于r無嚴(yán)格單調(diào)性。則對m0，?r1，r2（r1＜r2）使得g（m0，r1）＝g（m0，r2）。此時，由于區(qū)間數(shù)＜m0，r1＞和＜m0，r2＞對應(yīng)的排序函數(shù)值相同，故z=f（x，y）＝g（m，r）無法辨別它們的大小。

若z=f（x，y）存在偏導(dǎo)數(shù)，則有如下結(jié)論：

定理1設(shè)z=f（x，y）在平面區(qū)域D?R2上存在偏導(dǎo)數(shù)，若有則z=f（x，y）為排序函數(shù)。

定理2設(shè)z=f（x，y）為區(qū)間數(shù)排序函數(shù)，且有偏導(dǎo)數(shù)，則z=f（x，y）為保守型排序函數(shù)的充分條件為＜0，z=f（x，y）為風(fēng)險型排序函數(shù)的充分條件為

例1定義7中的排序方式可看作以z=f（x，y）＝（1－θ）x＋θy，（0≤θ≤1）為排序函數(shù)構(gòu)造的區(qū)間數(shù)的序。其中＝2θ－1，當(dāng)時，z=f（x，y）為保守型排序函數(shù)；當(dāng)時，z=f（x，y）為風(fēng)險型排序函數(shù)；當(dāng)為折中型排序函數(shù)，此時無法辨別中點相同半徑不同的區(qū)間數(shù)。

用區(qū)間數(shù)距離定義的序關(guān)系可看作用相應(yīng)的排序函數(shù)實現(xiàn)，以下用區(qū)間數(shù)[0，0]為參考點，對所有非負(fù)區(qū)間數(shù)（即左端點為非負(fù)實數(shù)的區(qū)間數(shù)）排序為例說明。

例2用定義8中距離排序相當(dāng)于用以下排序函數(shù)排序

例3用定義9，10，11中距離排序相當(dāng)于用以下排序函數(shù)排序

例4設(shè)f（x，y）＝ax3+by3，（a＞0，b＞0），可得f（x，y）分別關(guān)于x，y單調(diào)遞增，則f（x，y）為I（R）上的排序函數(shù)。并且，當(dāng)a≤b時，f（x，y）為風(fēng)險型排序函數(shù)；a＞b時，f（x，y）為折中型排序函數(shù)。

例5設(shè)f（x，y）＝ax·by，（a＞1，b＞1），可得，則f（x，y）為I（R）上的排序函數(shù)。并且a＜b時，f（x，y）為風(fēng)險型排序函數(shù)；a＞b時，f（x，y）為保守型排序函數(shù)；a＝b時，f（x，y）為折中型排序函數(shù)。

4 區(qū)間數(shù)非線性規(guī)劃的模型

以上定義的排序函數(shù)可以用來求解如下區(qū)間數(shù)非線性規(guī)劃模型[11]：

設(shè)z=f（x，y）為I（R）上的排序函數(shù),則上述模型可轉(zhuǎn)化為一般的非線性規(guī)劃模型：

其中Zl（X），Zr（X）分別為目標(biāo)函數(shù)左端點和右端點，S為問題的可行域。

在解決問題的過程中，決策者可以根據(jù)自己的偏好靈活選擇排序函數(shù)z=f（x，y）

例6考慮下面的問題

解:設(shè)z=f（x，y）為I（R）上的排序函數(shù),則問題轉(zhuǎn)化為

取排序函數(shù)為f（x，y）=ax·by，（a＞1，b＞1），不妨a＝1.1

當(dāng)b＝1.05時，排序函數(shù)為保守型排序,求得最優(yōu)解為[-6.0992,13.8236].

當(dāng)b＝1.1時，排序函數(shù)為折中型排序,最優(yōu)解為[-6.4300,14.0625].

當(dāng)b＝1.15時，排序函數(shù)為風(fēng)險型排序,最優(yōu)解為[-6.6268,14.1463].

下表給出了b取不同值時，最優(yōu)解的情況：

表4 .1 a＝1.1，b取不同值時，原優(yōu)化問題的最大區(qū)間數(shù)的取值情況

從以上結(jié)果可以看出，風(fēng)險型排序注重右端點的最大化程度較大，隨著b的增大，這種程度變大；保守型排序風(fēng)險型排序注重左端點的最大化程度較大，隨著b的減小，這種程度變大;以上折中型排序的結(jié)果即為中點最大。

5 結(jié)論與展望

本文首先總結(jié)了區(qū)間數(shù)的排序方法，提出了區(qū)間數(shù)排序函數(shù)的概念，研究了排序函數(shù)的分類方法和相關(guān)性質(zhì)。然后，將區(qū)間數(shù)排序函數(shù)應(yīng)用于區(qū)間數(shù)非線性規(guī)劃問題的求解中，利用排序函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為普通的優(yōu)化問題。最后，通過例子說明了決策者可根據(jù)自己的需要選擇排序函數(shù)來解決區(qū)間數(shù)的優(yōu)化問題。對區(qū)間數(shù)排序函數(shù)還可以繼續(xù)進行更加細(xì)致的分類和研究，這將有利于決策者選擇更合適的排序函數(shù)解決問題。

[1]劉進生，王柱緒.區(qū)間數(shù)排序[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2001，18（4）:103-109.

[2]劉華文.基于距離測度的模糊數(shù)排序[J].山東大學(xué)學(xué)報，2004，39（2）:30-36.

[3]李霞，張紹林，張淼，劉華.基于新距離測度的區(qū)間數(shù)排序[J].西華大學(xué)學(xué)報，2008，27（1）:87-90.

[4]劉新旺，達(dá)慶利.一種區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃的滿意解[J].系統(tǒng)工程學(xué)報，1999，14（2），123-128.

[5]郭均鵬，吳育華.區(qū)間線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型及其求解[J].系統(tǒng)工程，21（3），79-82，2003.

[6]胡寶清.區(qū)間目標(biāo)規(guī)劃與模糊目標(biāo)規(guī)劃[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2004，18:218-223.

[7]蔣崢，戴連奎，吳鐵軍.區(qū)間非線性規(guī)劃問題的確定化描述及其遞階求解[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2005，（1）:110-116.

[8]Alefeld R,Herzberger J.Introduction of interval computations.Academic Press,New York,1983.

[9]R.E.Moore,Method and Application of Interval Analysis,SIAM,Philadelphia,1979.

[10]Ishibuchi H,Tanaka H.Formulation and analysis of linear programming problem with interval coefficients[J].Journal of Japan Industrial Management Association,40（5），320-329，1989.

[11]侯勇超，曹炳元.一種區(qū)間系數(shù)非線性規(guī)劃的模型與求解方法[A].中國運籌學(xué)會第八屆學(xué)術(shù)交流會論文集，2006.

Abstract:In this paper,the definition of ordering function is proposed.First,we study its properties and classification.Next, the ranking function is used to solve interval nonlinear programming problems by converting them to classic ones.Finally,an example illustrates the feasibility and simplicity of the method.

Key words:Interval Number；Ranking Function；Nonlinear Programming

責(zé)任編輯：宏彬

STUDY OF INTERVAL COEFFICIENT NONLINEAR PROGRAMMING BASED ON RANKING FUNCTION

HOU Yong-chao1ZHAO Kai-bin1QIU Hai-quan2
（1Department of Mathematics,Chaohu University,ChaohuAnhui238000）
（2College of Science,Anhui Scoence and Technology University,Fongyang Anhui 233100）

O159

A

1672－2868（2010）03－0005－06

2010－02－23

巢湖學(xué)院基金項目（項目編號：XLY-200903），安徽省教育廳重點項目（項目編號：KJ2010A242）。

侯勇超（1982－），男，山東聊城人，助教，研究方向：模糊優(yōu)化，數(shù)值方法。