李成植

(沈陽化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧沈陽 110142)

Joukowsky翼型繞流流場(chǎng)的計(jì)算網(wǎng)格劃分

李成植

(沈陽化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧沈陽 110142)

針對(duì) Joukowsky翼型復(fù)雜的型線特點(diǎn),推導(dǎo)微分法生成其繞流流場(chǎng)計(jì)算網(wǎng)格的公式,并采用 FORTRAN語言編寫計(jì)算機(jī)程序.結(jié)果表明:所生成的計(jì)算網(wǎng)格不但具有貼體的特征,同時(shí)還具有其環(huán)形網(wǎng)格線由里及表漸疏布局的特點(diǎn),而這一特點(diǎn)正是符合黏性流體繞流流場(chǎng)的計(jì)算要求;另外,微分法所生成的網(wǎng)格系的輻射狀和環(huán)形網(wǎng)格線之間以及輻射狀網(wǎng)格線與翼型型線之間的正交性較好,有利于進(jìn)一步提高數(shù)值計(jì)算精度.

Joukowsky翼型; 貼體網(wǎng)格; 微分法; Poisson方程

Joukowsky翼型是基于Joukowsky變換,由計(jì)算平面上圓心位于第二象限的偏心圓變換而來的翼型.計(jì)算其繞流問題,通常有 2種途徑,一種是通過保角變換法,另一種則是數(shù)值計(jì)算方法.保角變換法是基于計(jì)算平面的圓柱繞流和物理平面上的翼型繞流之間保角變換的特點(diǎn),由已知計(jì)算平面上的圓柱繞流流場(chǎng)推算物理平面上的翼型繞流流場(chǎng)的方法.采用保角變換法的前提是在計(jì)算平面上能夠引入復(fù)位勢(shì),但由于復(fù)位勢(shì)的實(shí)部是速度勢(shì)函數(shù),所以,保角變換法只能適用于那些求解理想流體的繞流問題.在求解實(shí)際流體的 Joukowsky翼型繞流問題時(shí),可采用數(shù)值方法進(jìn)行求解.就目前而言常用的數(shù)值方法有有限元法、有限體積法和有限差分法.其中,有限元法因?yàn)閷?duì)邊界的要求不是很高,所以越來越受到計(jì)算流體力學(xué)界的關(guān)注,而有限差分法和有限體積法較之有限元法而言其方法的物理意義比較明確,是人們進(jìn)行流場(chǎng)數(shù)值仿真的傳統(tǒng)方法,其方法和理論也比較成熟.但無論是有限差分法,還是有限體積法,均對(duì)計(jì)算區(qū)域邊界形狀的要求高.例如 Joukowsky翼型等曲線邊界的情況,如采用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行網(wǎng)格劃分,則會(huì)有邊界網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)不能落在物面上的情況出現(xiàn).此時(shí),只好采用線性或多項(xiàng)式插值(外推)的方法建立起邊界節(jié)點(diǎn)流動(dòng)參數(shù)和物面流動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系,并由物面的流動(dòng)參數(shù)推算邊界節(jié)點(diǎn)上的流動(dòng)參數(shù).但其結(jié)果不但降低了計(jì)算的準(zhǔn)確度,而且還增加了程序的復(fù)雜性.為避免傳統(tǒng)網(wǎng)格劃分方法所帶來的不便,在不規(guī)則計(jì)算區(qū)域的網(wǎng)格劃分中,可采用微分法生成貼體坐標(biāo)的方法來生成計(jì)算網(wǎng)格.微分法生成網(wǎng)格,依據(jù)的是由 Laplace方程所定解的坐標(biāo)變換,在其定義域內(nèi)滿足最大值和最小值必定在該區(qū)域邊界上的特點(diǎn)[1].但是,Laplace方程定解的坐標(biāo)變換不能滿足控制網(wǎng)格疏密度要求,而 Poisson方程定解的坐標(biāo)變換,既有 Laplace方程定解坐標(biāo)變換的特點(diǎn),同時(shí)又能滿足控制網(wǎng)格疏密度的要求.

本文基于 Joukowsky變換設(shè)計(jì) 3款Joukowsky翼型,并用微分法生成Joukowsky翼型繞流流場(chǎng)的計(jì)算網(wǎng)格,為 Joukowsky翼型繞流的數(shù)值計(jì)算打下基礎(chǔ).

1 Joukowsky翼型

Joukowsky變換可將計(jì)算平面上的圓心在 (c-acosβ,asinβ)點(diǎn),半徑a=c(1+λ)secβ為的偏心圓變換到物理平面上的 Joukowsky翼型,其變換關(guān)系近似為[2]:

由 Joukowsky變換得到的 Joukowsky翼型最大的相對(duì)厚度和相對(duì)彎度分別為[2]:

基于(1)式由表 1所示數(shù)據(jù)為控制參數(shù)的 3款 Joukowsky翼型型線如圖 1所示.由圖 1可以看出:2#翼型不但具有一定的厚度而且還有一定的彎度,因此該款翼型既有一定的強(qiáng)度又能滿足產(chǎn)生一定升力的要求.相對(duì)于 2#翼型,1#翼型和3#翼型則分別顯得過于單薄和彎度不夠.

表 1 Joukowsky翼型控制參數(shù)和特性數(shù)據(jù)表Table 1 The control parameter and special property of Joukowsky’s airfoil

圖 1 Joukowsky翼型型線圖Fig.1 The thread of Joukowsky’s airfoil

2 微分法生成計(jì)算網(wǎng)格

根據(jù)黏性流體流動(dòng)的特點(diǎn),在 Joukowsky翼型繞流的數(shù)值計(jì)算中,必須要慮及邊界層的存在,而邊界層內(nèi)流向的速度在邊界層厚度方向的方向?qū)?shù)大,因而在邊界層內(nèi)黏性力與慣性力相當(dāng).在邊界層外的勢(shì)流區(qū),流向速度在橫向的方向?qū)?shù)可視為是零,因而可以忽略黏性力的存在.為準(zhǔn)確地刻畫黏性流體繞流 Joukowsky翼型的上述特點(diǎn),所劃分的網(wǎng)格要求具有由翼型表面至無限遠(yuǎn)處是由密漸疏的特點(diǎn).而 Poisson方程定解的坐標(biāo)變換能夠滿足控制網(wǎng)格疏密度要求,所以以 Poisson方程定解的微分方程來完成由規(guī)則的計(jì)算區(qū)域中的矩形網(wǎng)格到 Joukowsky翼型繞流區(qū)域的正交曲線網(wǎng)格系的變換,其變換方程和定解條件為[3]:

圖 2 變換原理圖Fig.2 The principle of change

利用差分法離散控制方程,則得計(jì)算物理平面上對(duì)應(yīng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的顯式迭代方程:

說明:以上差分方程左側(cè)為下一時(shí)刻的值,而右側(cè)則是采用該時(shí)刻的值;變換平面上縱、橫網(wǎng)格步長為 1.

采用 FORTRAN語言編寫(1)式和(3)式的計(jì)算機(jī)程序,在劃分網(wǎng)格的程序部分采用將物理平面上的計(jì)算網(wǎng)格從翼型后緣點(diǎn)處剪開,等ξ網(wǎng)格線是逆時(shí)針方向遞增排列的方案.

3 結(jié)果與分析

用 COORD INA TE CONV ERSION程序計(jì)算生成了如圖 1所示的 3款 Joukow sky翼型繞流流場(chǎng)的貼體網(wǎng)格,并采用 Tecplot軟件進(jìn)行后處理,其結(jié)果如圖 3和圖 4所示.

圖 3 Joukow sky翼型繞流網(wǎng)格劃分圖Fig.3 The m esh of Joukawsky’s airfoil

圖 4 3#翼型迭代前、后前緣點(diǎn)附近網(wǎng)格對(duì)比圖Fig.4 Contrast figure betw een before iterative and after iterative for near the front-r im dot

由圖 3可以看出:初始的網(wǎng)格系統(tǒng)雖然是貼體的,但環(huán)形網(wǎng)格線,即η網(wǎng)格線卻是等間距布局的.基于這種等間距布局的網(wǎng)格系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),為充分地刻畫邊界層內(nèi)急劇變化的流向速度,只好在整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)加密環(huán)形網(wǎng)格線,即加大η網(wǎng)格線的密度.但這種全區(qū)域加密η網(wǎng)格線的舉措,對(duì)于進(jìn)一步提高占據(jù)計(jì)算區(qū)域絕大部分的勢(shì)流區(qū)的計(jì)算精度不會(huì)有太多的幫助.顯而易見,為了加密邊界層內(nèi)的網(wǎng)格密度付出了增加計(jì)算工作量的代價(jià).而通過 Poisson方程定解的坐標(biāo)變換法所生成的貼體坐標(biāo)系,則通過適當(dāng)?shù)剡x取控制η網(wǎng)格線的參數(shù)Q,實(shí)現(xiàn)了η網(wǎng)格線在計(jì)算區(qū)域內(nèi)由里及表漸疏的布局,在不增加計(jì)算工作量的前提下,滿足了加密翼型附近網(wǎng)格的要求.圖 4為迭代前、后 3#翼型前緣點(diǎn)附近的網(wǎng)格放大圖,從圖 4可以看出:經(jīng)過迭代之后其網(wǎng)格線的正交性得到了極大地改善,其中輻射狀網(wǎng)格線,即ξ網(wǎng)格線與翼型型線之間正交性的改善尤為明顯.對(duì)于有限差分法和有限體積法,網(wǎng)格線之間正交性的這種改善,有利于進(jìn)一步提高數(shù)值計(jì)算的精度.

4 結(jié) 論

基于 Joukow sky變換,生成 3款 Joukow sky翼型,并根據(jù) Poisson方程定解的坐標(biāo)變換在其定義域內(nèi)最大值和最小值必定會(huì)在該區(qū)域邊界上以及能夠通過非齊次項(xiàng)控制網(wǎng)格疏密度的特點(diǎn),生成了由 Poisson方程定解的微分網(wǎng)格系統(tǒng).結(jié)果表明:所生成的微分網(wǎng)格系統(tǒng),其最內(nèi)部η網(wǎng)格線與翼型型線相重合的同時(shí),η網(wǎng)格線分布是由里及表漸疏的非等間距分布,η網(wǎng)格線的這種布局迎合了黏性流體繞流流場(chǎng)的邊界層和勢(shì)流區(qū)內(nèi)速度變化的特點(diǎn),在不增加計(jì)算工作量的前提下,能夠提高計(jì)算的準(zhǔn)確度.另外,Poisson方程所定解的微分網(wǎng)格系統(tǒng)的ξ和η網(wǎng)格線之間以及ξ網(wǎng)格線與翼型型線之間的正交性好,有益于進(jìn)一步提高數(shù)值計(jì)算的精度.

[1] 章本照,印建安,張宏基.流體力學(xué)數(shù)值方法[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2003:248-251.

[2] 吳望一.流體力學(xué) (下冊(cè))[M].北京:北京大學(xué)出版社,1983:86-90.

[3] 周正貴.計(jì)算流體力學(xué)——基礎(chǔ)理論與實(shí)際應(yīng)用[M].南京:東南大學(xué)出版社,2008:106-123.

The Mesh Generation of the Coil-flow Fields for the Joukowsky's Airfoil

L I Cheng-zhi
(Shenyang U university of Chem ical Technology,Shenyang110142,China)

Based on the complex shape-lines of the Joukowsky's airfoil,the coil-flow flow fields were got by using differential method and computer programs were w ritten in the FORTRAN language.The results showed that the computational mesh not only had a body-fitted feature,but also had a layout feature thatwas from the inside to outside.And the feature was in confor m ity with the requirements of the calculation of viscous fluid in the coil-flow flow field;Lastly,the mesh generated by differentiation method had a better orthogonally be tween the radial and the coil lines,as well as be tween the radial and the airfoil lines;this mesh is better for the accuracy of numerical calculation.

joukoaw sky's airfoil; body-fitted m esh; differentiation m ethod; poisson equation

TP39

A

1004-4639(2010)04-0356-04

2010-02-26

李成植(1964-),男,黑龍江尚志人,副教授,博士,主要從事流體力學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的教學(xué)與科研.