Duffing單邊碰撞系統(tǒng)的顫振分岔＊

馮進(jìn)鈐 徐 偉 牛玉俊

1)(西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安 710072)

2)(西安工程大學(xué)理學(xué)院,西安 170048)

Duffing單邊碰撞系統(tǒng)的顫振分岔＊

馮進(jìn)鈐1)2)?徐 偉1)牛玉俊1)

1)(西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安 710072)

2)(西安工程大學(xué)理學(xué)院,西安 170048)

(2009年3月27日收到;2009年4月26日收到修改稿)

針對碰撞系統(tǒng)中常見的顫振導(dǎo)致的彗尾碰撞問題,引入了彗尾映射的概念,提出了一種有效的研究碰撞系統(tǒng)中顫振現(xiàn)象的數(shù)值方法.并以典型的Duffing單邊碰撞系統(tǒng)為例,研究了系統(tǒng)中的完全顫振和不完全顫振現(xiàn)象,同時(shí)分析了系統(tǒng)的顫振分岔.

Duffing碰撞系統(tǒng),彗尾映射,顫振分岔

PACC:0547

1.引言

非光滑動力系統(tǒng)作為動力學(xué)的一個(gè)分支,廣泛的存在于多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域.近年來,關(guān)于非光滑系統(tǒng)動力學(xué)的研究引起了大量學(xué)者的關(guān)注[1—4].早期, Shaw,Holmes[5]研究了一個(gè)周期激勵(lì)的線性碰撞系統(tǒng)的混沌.隨后非光滑系統(tǒng)的研究掀起了一股熱潮,也取得了許多的成果,主要包括Brogliato[6], Kunze[7],Leine和Nijmeijer[8],金棟平和胡海巖[9], Bernardo等[10]專著.

非光滑系統(tǒng)中通常存在擦邊和顫振這兩種新穎的動力學(xué)特性,使得非光滑系統(tǒng)呈現(xiàn)出許多光滑系統(tǒng)中所沒有的復(fù)雜動力學(xué)行為,主要有非光滑分岔[11],碰撞系統(tǒng)中的顫振動力學(xué)[12].Alzate[13]分析了一個(gè)齒輪裝置的顫振現(xiàn)象.本文以一般的碰撞系統(tǒng)為模型,通過引入一個(gè)彗尾映射,有效的近似完全顫振中產(chǎn)生的彗尾碰撞.并以一個(gè)典型的Duffing單邊碰撞系統(tǒng)為例,分析了該系統(tǒng)中的兩類顫振分岔及其發(fā)生的機(jī)理.

2.彗尾映射

考慮一般的碰撞系統(tǒng),其系統(tǒng)自由運(yùn)動方程如下:

這里下標(biāo)“-”和“+”分別表示碰撞前后時(shí)刻.映射R表示碰撞法則,通?？梢员硎緸?/p>

為了描述方便,引入約束面如下:

設(shè)自由運(yùn)動時(shí)系統(tǒng)(1)第一式的軌線流為Φ(x,t),則系統(tǒng)軌線沿約束面Σ法線方向的速度和加速度分別為

在一定條件下,系統(tǒng)(1)除了自由運(yùn)動和高速碰撞外,還可能緊貼約束面Σ,產(chǎn)生黏滑運(yùn)動.由文獻(xiàn)[10],定義黏滑面如下:

當(dāng)x∈ΣS時(shí),對應(yīng)的黏滑運(yùn)動方程為

事實(shí)上,黏滑運(yùn)動與系統(tǒng)的顫振有著緊密的關(guān)系.顫振通常包括完全顫振和不完全顫振.所謂完全顫振表示在有限時(shí)間間隔內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生了無窮次的碰撞;不完全顫振表示有限時(shí)間間隔內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生N(N為一個(gè)很大的有限數(shù))次碰撞.

文獻(xiàn)[13]告訴我們,系統(tǒng)黏滑運(yùn)動通常經(jīng)歷一個(gè)從完全顫振到黏滑,再到逃離黏滑面的過程,完全顫振的結(jié)束點(diǎn)即為黏滑運(yùn)動的開始點(diǎn).對于完全顫振,從無窮次的碰撞到完全碰撞結(jié)束的過程中會產(chǎn)生所謂的“彗尾”碰撞,占用大量的計(jì)算資源.為了避免這種彗尾碰撞問題,我們引入一個(gè)彗尾映射.首先,我們定義一個(gè)完全顫振子空間

如圖1,取完全顫振子空間中的初始點(diǎn)x0∈ΣC,先經(jīng)過碰撞映射R(x)到達(dá)x01,再自由運(yùn)動到下一個(gè)碰撞點(diǎn)x1,如此無窮次碰撞后,最終到達(dá)完全顫振的結(jié)束點(diǎn)x＊,其滿足

我們定義彗尾映射為S,

令

由于0<ε?1,利用冪級數(shù)的展開,我們得到

其中T表示系統(tǒng)從狀態(tài)x01運(yùn)動到狀態(tài)x1的時(shí)間.在完全顫振子空間中,系統(tǒng)從狀態(tài)x01到狀態(tài)x1的過程中,系統(tǒng)的法向速度必在某xv處改變符號,從而

得到近似時(shí)間

代入(9),(10)式,同時(shí)利用x01=R(x0),整理得到

圖1 彗尾映射示意圖

進(jìn)一步,(12),(13)式可改寫為

其中

考慮到

由(14)式遞推整理得

由線性代數(shù)知識,矩陣D0的特征值為1和r,存在相似變換矩陣P,使得

進(jìn)而得到

將(17)式代入(15)式,整理得

在(19)式中,我們定義一階修正項(xiàng)為

3.Duffing單邊碰撞系統(tǒng)的顫振分析

考察一個(gè)典型的Duffing單邊碰撞系統(tǒng),系統(tǒng)描述如下:

令x=(x1,x2,x3),對比(1)式有

對應(yīng)的法向速度和加速度分別為

當(dāng)固定系統(tǒng)參數(shù)α1=-1,α2=1,β=0.2,f= 1.5,ω=0.2,Δ=1,r=0.8,完全顫振子空間(7)式中取ε=10-8,初始條件為(0.8,-0.2,0)T,圖2(a)表示P(∞,1)運(yùn)動(這里符號P(m,n)表示n個(gè)周期中發(fā)生m次碰撞),時(shí)間歷程圖(圖2(b))給出了從完全顫振到黏滑的過程,圖2(b)的局部放大(圖2 (c),(d))呈現(xiàn)了完全顫振中的彗尾映射S:xC→xS1.其中彗尾開始點(diǎn)為

圖2 系統(tǒng)(22)式的完全顫振到黏滑運(yùn)動的彗尾映射 (a)相圖(符號■表示Poincaré映射點(diǎn));(b)時(shí)間歷程圖(實(shí)線為x2關(guān)于t變化曲線,虛線為x1關(guān)于t變化曲線,xS1和xS2分別表示黏滑開始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn));(c),(d)為(b)的局部放大(對應(yīng)(19)式中x0=xC,x＊=xS1)

由(19)—(21)式求得完全顫振結(jié)束點(diǎn)(即為黏滑開始點(diǎn))為

彗尾時(shí)間和修正項(xiàng)分別為

t＊=7.18×10-10,

可見,彗尾映射不僅保證了較高的數(shù)值精度,同時(shí)有效地避免了數(shù)值計(jì)算中的“彗尾”問題.

3.1.完全顫振到不完全顫振分岔

圖3 頻閃分岔圖 (a)x1隨r變化;(b)x2隨r變化

當(dāng)系統(tǒng)的其他參數(shù)與圖2一樣,考察恢復(fù)系數(shù)對系統(tǒng)的顫振的影響.圖3給出了系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)于恢復(fù)系數(shù)r的頻閃分岔圖.從圖3可以看到,當(dāng)r

從系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖來看,當(dāng)r=0.873

圖4 時(shí)間歷程圖 (a)r=0.873;(b)r=0.874

為了更清晰的呈現(xiàn)這種分岔現(xiàn)象,圖5給出了黏滑時(shí)間τ(圖2中狀態(tài)xS1到狀態(tài)xS2的時(shí)間)關(guān)于分岔參數(shù)r的變化圖.當(dāng)r

圖5 黏滑時(shí)間關(guān)于恢復(fù)系數(shù)r的變化圖

3.2.不完全顫振中擦邊誘導(dǎo)的周期運(yùn)動到擬周期運(yùn)動的分岔

從圖3,我們看到,當(dāng)增大恢復(fù)系數(shù)到r>rⅠ時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)為不完全顫振的周期1運(yùn)動.但是,其Poincare映射不動點(diǎn)不再隨分岔參數(shù)r連續(xù)的變化,而是呈現(xiàn)出間斷的不連續(xù)性.隨著參數(shù)r的繼續(xù)增大,系統(tǒng)出現(xiàn)了逐漸增大的具有自相似結(jié)構(gòu)的不連續(xù)窗口,在這些不連續(xù)窗口中,我們可以清楚地看到從周期1運(yùn)動突然變?yōu)閿M周期運(yùn)動的分岔現(xiàn)象.為了分析這種突然的躍遷,我們選擇圖3中rⅡ≈0.89210附近進(jìn)行研究.當(dāng)參數(shù)r=0.89209

圖6 Poincare截面圖和時(shí)間歷程圖 (a)r=0.89209,Poincare截面圖;(b)r=0.89209,時(shí)間歷程圖;(c)r=0.89210,Poincare截面圖;(d)r=0.89210,時(shí)間歷程圖

圖7 最小碰撞時(shí)間間隔與參數(shù)r的關(guān)系

為了更進(jìn)一步研究圖3中出現(xiàn)的逐步增大的結(jié)構(gòu),我們給出了每兩次碰撞之間的最小時(shí)間間隔Δ τ關(guān)于參數(shù)r的變化關(guān)系,見圖7.當(dāng)存在黏滑運(yùn)動時(shí),我們定義Δ τ=0.圖7告訴我們,Δ τ從零變?yōu)榉橇阒祵?yīng)系統(tǒng)從完全顫振到不完全顫振的轉(zhuǎn)折點(diǎn).隨著r的增大,Δ τ也不斷的增大,說明系統(tǒng)在逐漸的遠(yuǎn)離顫振運(yùn)動.此外,我們發(fā)現(xiàn),Δ τ并不是隨著r連續(xù)變化的,存在一系列的不連續(xù)點(diǎn),隨著r的越大,這種間斷的不連續(xù)性也呈現(xiàn)出逐步放大的自相似結(jié)構(gòu),實(shí)際上這與圖3中的自相似不連續(xù)窗口是一致的.這也表明,在不完全顫振中,系統(tǒng)顫振越劇烈,對分岔參數(shù)更加敏感.

4.結(jié)論

在一定條件下,碰撞系統(tǒng)中通常存在由于完全顫振導(dǎo)致的彗尾碰撞問題,不僅占用大量的計(jì)算資源,而且使得一般的數(shù)值積分方法失效.為此,本文借助一種彗尾映射,在指定精度下給出了一種有效的近似.同時(shí),以一個(gè)典型的Duffing單邊碰撞系統(tǒng)為例,我們對該系統(tǒng)中的顫振進(jìn)行了分析.研究表明,系統(tǒng)存在兩種常見的包含顫振的分岔:一種為完全顫振到不完全顫振的分岔,這種分岔是以黏滑過程的突然產(chǎn)生或消失作為標(biāo)準(zhǔn);另一種為不完全顫振中的周期運(yùn)動到擬周期運(yùn)動的分岔,這種分岔是由于不完全顫振的末端碰撞軌不斷的發(fā)生擦邊引起的,形成了一種自相似的逐漸放大的分岔結(jié)構(gòu).同時(shí),通過考察最小碰撞時(shí)間間隔,我們發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)顫振越劇烈,對分岔參數(shù)越敏感.可見,顫振分岔是非光滑系統(tǒng)中所特有的分岔,具有許多光滑系統(tǒng)中分岔所沒有的特性.本文的研究適用于一般的碰撞系統(tǒng),包括線性碰撞系統(tǒng),弱或強(qiáng)非線性碰撞系統(tǒng)的顫振研究,為更進(jìn)一步的理論分析提供有效的指導(dǎo).

[1]Niu YJ,Xu W,Rong H W,Wang L,Feng J Q 2008Acta Phys. Sin.57 7535(in Chinese)[牛玉俊、徐 偉、戎海武、王 亮、馮進(jìn)鈐2008物理學(xué)報(bào)57 7535]

[2]Feng J Q,Xu W,Wang R 2006Acta Phys.Sin.55 5733(in Chinese)[馮進(jìn)鈐、徐 偉、王 蕊2006物理學(xué)報(bào)55 5733]

[3]Li GJ,Xu W,WangL,FengJ Q 2008Acta Phys.Sin.57 2107(in Chinese)[李高杰、徐 偉、王 亮、馮進(jìn)鈐2008物理學(xué)報(bào)57 2107]

[4]Li M,Ma X K,Dai D,Zhang H 2005Acta Phys.Sin.54 1084(in Chinese)[李 明、馬西奎、戴 棟、張 浩2005物理學(xué)報(bào)54 1084]

[5]Shaw S W,Holmes PJ 1983Phys.Rev.Lett.51 623

[6]Brogliato B 1999Nonsmooth Mechanics:Models,Dynamics and Control(London:Springer-Verlag)

[7]Kunze M 2000Non-Smooth Dynamical Systems(Berlin:Springer)

[8]Leine R I,Nijmeijer H 2004Dynamics and Bifurcations in Non-Smooth Mechanical Systems(Berlin:Springer)

[9]Jin D P,Hu H Y2005Vibration and Control of collision(Beijing: Science Press)(in Chinese)[金棟平、胡海巖2005碰撞振動與控制(北京:科學(xué)出版社)]

[10]di Bernardo M,Budd C,Champneys A R,K owalczyk P 2007 Piecewise-smoothDynamicalSystems:TheoryandApplications (London:Springer-Verlag)

[11]di Bernardo M,Budd C,Champneys A R,K owalczyk P,Nordmark A B,Olivar G,Piiroinen P T 2008SIAM Review50 629

[12]Budd C,Dux F 1992The dynamics of impact oscillators(Bristol:Ph. D.thesis,University of Bristol)

[13]Alzate R 2008Analysis and application of bifurcations in systems with impacts and chattering(Italy:Ph.D.thesis,University of Naples-FedericoⅡNaples)

PACC:0547

Chattering bifurcations in a Duffing unilateral vibro-impact system＊

Feng Jin-Qian1)2)?Xu Wei1)Niu Yu-Jun1)
1)(Department of Applied Mathematics,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072,China)
2)(College of Science of Xi'an Polytechnic University,Xi'an710048,China)

27 March 2009;revised manuscript

26 April 2009)

A tail-mapping is introduced to deal with the tail impacts caused by the chattering,and based on which,an effective numerical method is suggested to simulate the chattering in the vibro-impact system.As an illustrative example,a Duffing unilateral vibro-impact system is investigated.The results show the evidence of complete and incomplete chattering.We also investigate two novel chattering bifurcations,including transitions from complete to incomplete chattering and incomplete chattering period to aperiodic motion.

Duffing vibro-impact system,tail mapping,chattering bifurcation

＊國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:10872165)資助的課題.

?E-mail:fengjinqian@mail.nwpu.edu.cn

＊Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10872165).

?E-mail:fengjinqian@mail.nwpu.edu.cn