李春彪 胡 文1)(江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院,南京 210007)2)(江蘇省食品安全工程技術(shù)研究開(kāi)發(fā)中心電源與系統(tǒng)部,南京 210007)(南京航空航天大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京210016)

Li Chun-Biao1)2)? Hu Wen3)

1)(Department of Engineering Technology,Jiangsu Institute of Econom ic and Trade Technology,Nanjing 210007,China)

2)(Department of Electric Source and System,Research and Development Center of Food Safety Engineering Technology of Jiangsu Province,Nanjing 210007,China)

3)(School of Infor mation Science and Technology,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的同步方法與特性研究＊

李春彪1)2)?胡 文3)
1)(江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院,南京 210007)
2)(江蘇省食品安全工程技術(shù)研究開(kāi)發(fā)中心電源與系統(tǒng)部,南京 210007)
3)(南京航空航天大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京210016)

(2009年5月6日收到;2009年6月9日收到修改稿)

改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的特殊的分段線性結(jié)構(gòu)及其全局線性調(diào)幅參數(shù)與倒相參數(shù)的存在性,賦予了其同步體系新的可實(shí)現(xiàn)性與可調(diào)節(jié)性.依據(jù)廣義同步的原理,構(gòu)造合適的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng),可以實(shí)現(xiàn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的廣義同步;改變響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù),可實(shí)現(xiàn)完全同步與廣義投影同步;改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的全局線性調(diào)幅參數(shù)能對(duì)驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量幅值實(shí)施同步升降控制,倒相參數(shù)能對(duì)某一特定狀態(tài)變量實(shí)施同步倒相控制.這種同步體系無(wú)需專(zhuān)門(mén)的控制器,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn).文章最后設(shè)計(jì)了同步體系的實(shí)現(xiàn)電路,實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果證明了混沌同步方法的可行性,也驗(yàn)證了恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)特殊參數(shù)對(duì)同步體系狀態(tài)變量幅值與相位的調(diào)控作用.

改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng),同步,幅值控制,倒相控制

PACC:0545

1.引言

混沌信號(hào)應(yīng)用于雷達(dá)與通信系統(tǒng)已經(jīng)成為極為活躍的研究領(lǐng)域[1—4].要將混沌系統(tǒng)應(yīng)用于雷達(dá)與通信等實(shí)際工程中,往往需要給出正確可行的電路實(shí)現(xiàn)方案與同步方案[5—15].正是基于這一原因,多年來(lái),人們對(duì)混沌同步的研究不斷深入,提出了許多有效而可行的混沌控制與同步方法[5—12],如驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步法[5,6]、線性反饋法[7—11]、非線性反饋法[11]、自適應(yīng)控制同步法[12,16]、非線性狀態(tài)觀測(cè)器方法[17]等.1999年,Mainieri和Rehacek[18]在部分線性混沌系統(tǒng)中觀察到一種稱(chēng)為投影同步的新的同步現(xiàn)象,該同步使得在一定條件下耦合的主從系統(tǒng)的狀態(tài)變量相位鎖定,振幅恒比例且可調(diào).此后,投影同步便引起了人們的廣泛關(guān)注[13,14,19—28].而最近出現(xiàn)的廣義投影同步方法及其應(yīng)用研究[13,14,23—28],將投影同步與廣義同步聯(lián)系了起來(lái),通過(guò)比例因子的調(diào)節(jié)作用實(shí)現(xiàn)任意比例于驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)輸出的混沌信號(hào).實(shí)現(xiàn)廣義投影同步通常采用單向線性耦合方法[22]、驅(qū)動(dòng)響應(yīng)方法[23—25]、主動(dòng)控制方法[13,26,27]和自適應(yīng)投影同步方法[28]等.

最近,Li等[15]提出一種新的具有恒Lyapunov指數(shù)譜的類(lèi)Colpitts混沌吸引子,通過(guò)參數(shù)剝離,繼而得到一種具有雙參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜特性的改進(jìn)系統(tǒng)[29],添加線性項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)又推廣得到一族恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)[30].文獻(xiàn)[31]對(duì)改進(jìn)系統(tǒng)的廣義投影同步進(jìn)行了研究,得到了該系統(tǒng)的同結(jié)構(gòu)與異結(jié)構(gòu)廣義投影同步控制器,設(shè)計(jì)了同步體系的實(shí)現(xiàn)電路,指出了其廣義投影同步體系中存在的內(nèi)外兩個(gè)幅值調(diào)節(jié)因子[31].實(shí)際上,恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)特殊的分段線性結(jié)構(gòu)及其特殊參數(shù)也賦予了系統(tǒng)同步新的可實(shí)現(xiàn)性與可調(diào)節(jié)性.本文以改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜系統(tǒng)[29]為研究對(duì)象,依據(jù)廣義同步原理,構(gòu)建新的同步體系;在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)完全同步與廣義投影同步;同時(shí)揭示恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的同步特性,指出其同步體系中所存在的特殊的幅值與相位可控性.由于混沌電路實(shí)驗(yàn)是研究混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性和驗(yàn)證混沌控制與同步方法有效性的重要手段,同時(shí)混沌電路及其同步體系的實(shí)現(xiàn)電路也是混沌在電子信息領(lǐng)域應(yīng)用的一個(gè)重要基礎(chǔ)與前提,因此,本文在繼數(shù)值仿真之后,設(shè)計(jì)了同步體系中驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)電路;通過(guò)參數(shù)的設(shè)置與調(diào)整,可以實(shí)現(xiàn)不同的同步方法;借助于電路仿真PSpice軟件平臺(tái),驗(yàn)證了同步方法的正確性,也驗(yàn)證了恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)之同步體系幅值與相位的特殊可調(diào)節(jié)性.恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)自身的優(yōu)勢(shì)與特征轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的同步體系中,增加了其同步體系的幅度與相位控制自由度,提升了恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的工程應(yīng)用價(jià)值.

2.廣義同步方法設(shè)計(jì)

2.1.廣義同步的基本原理

設(shè)有單向耦合(驅(qū)動(dòng)的混沌動(dòng)力學(xué)參數(shù)不依賴(lài)于響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù))的混沌系統(tǒng),驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的行為可以表示為

其中,x∈Rn,y∈Rm,h:Rn→Rm,˙x=f(x)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),˙y=g(y,h(x))為響應(yīng)系統(tǒng).

定義[32]設(shè)存在變換H:Rn→Rm,一個(gè)函數(shù)流形M以及一個(gè)子集B=Bx× By?Rn×Rm,且滿足M?B,當(dāng)且僅當(dāng)所有初始條件(x0,y0)?B的響應(yīng)系統(tǒng)軌道都隨時(shí)間趨于無(wú)窮而趨于M,即當(dāng)t→∞時(shí),響應(yīng)系統(tǒng)的軌道滿足y= H(x),則稱(chēng)(1)式的兩個(gè)系統(tǒng)廣義同步.當(dāng)n=m時(shí),則廣義同步回到一般意義上的完全同步,即y= H(x)=x.

在廣義同步的兩個(gè)子系統(tǒng)中,如果驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能分解為線性部分與非線性部分x˙=Ax+Φ(x),其中A是n×n系數(shù)矩陣,Ax是f(x)的線性部分, Φ(x):Rn→Rn是非線性部分.可以讓函數(shù)Φ(x)作為驅(qū)動(dòng)信號(hào)去作用于響應(yīng)系統(tǒng).考慮單向傳輸?shù)膬蓚€(gè)系統(tǒng)同步,構(gòu)造相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)

這里,上式代表驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),下式代表響應(yīng)系統(tǒng).

引理[33]如果Ω是A的對(duì)易矩陣,即滿足AΩ =ΩA,則當(dāng)t→∞,且A的特征值實(shí)部全部為負(fù)數(shù)時(shí),響應(yīng)系統(tǒng)的軌道與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的軌道將實(shí)現(xiàn)廣義同步,即y=H(x)=Ωx.

證明[33]令系統(tǒng)誤差為Δ=y-Ωx,對(duì)誤差求導(dǎo)并代入上述系統(tǒng)函數(shù),有

當(dāng)誤差系統(tǒng)(3)中矩陣A的所有特征值實(shí)部全為負(fù)數(shù)時(shí),則Δ→0,誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.因此,只要構(gòu)造出滿足上述條件的矩陣A和Ω,則可以使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)滿足t→∞時(shí),y→Ωx=H(x),從而實(shí)現(xiàn)廣義同步.

2.2.廣義同步方法設(shè)計(jì)

改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為[29]

這里,a,b,c,d為實(shí)常數(shù),當(dāng)參數(shù)取a=d=3,b= 0.4,c=1.62時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)變量的演變呈現(xiàn)混沌特性.文獻(xiàn)[29]指出,d為全局線性調(diào)幅參數(shù),d發(fā)生變化,系統(tǒng)輸出信號(hào)x,y,z的幅值也都隨著作線性變化;倒相參數(shù)a的極性的改變能夠?qū)ο到y(tǒng)輸出的z信號(hào)實(shí)施倒相控制;系統(tǒng)(4)相對(duì)于上述兩個(gè)參數(shù)皆呈現(xiàn)恒定的Lyapunov指數(shù)譜.下面就基于廣義同步思想著手研究該系統(tǒng)的同步方法,在此基礎(chǔ)上,再對(duì)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的同步特性進(jìn)行進(jìn)一步的分析.

2.2.1.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的構(gòu)造

針對(duì)改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)(4),構(gòu)造驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù),當(dāng)b>0時(shí),要使得矩陣A的特征值實(shí)部全部為負(fù),必須滿足以下關(guān)系:

此時(shí),以系統(tǒng)(5)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),與響應(yīng)系統(tǒng)相耦合,響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間就能夠?qū)崿F(xiàn)廣義同步.實(shí)際上,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)就是原來(lái)的改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)(4),這一點(diǎn)是不變的,改變的只是形式而已.

2.2.2.響應(yīng)系統(tǒng)的構(gòu)造

根據(jù)引理,系統(tǒng)(5)相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)具有以下形式:

由(3)式可知,Δ˙=AΔ,在b>0,且0<β<2b時(shí),Δ→0,誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.當(dāng)滿足Ω是A的對(duì)易矩陣時(shí),構(gòu)造的響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間能夠?qū)崿F(xiàn)廣義同步.

選擇不同的A的對(duì)易矩陣Ω可以構(gòu)造多種不同的廣義同步系統(tǒng),當(dāng)選擇0)時(shí),也有ΩA=AΩ成立,由方程(8),得到相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

根據(jù)廣義同步引理,響應(yīng)系統(tǒng)(9)的輸出狀態(tài)為

由(10)式可見(jiàn),在Ω作如上選擇時(shí),當(dāng)響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)廣義同步,響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量的λ倍,響應(yīng)系統(tǒng)不但跟蹤了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量,選擇與調(diào)節(jié)λ還能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出信號(hào)進(jìn)行衰減、放大甚至倒相衰減或者倒相放大.也就是說(shuō),基于廣義同步方法可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)完全同步與廣義投影同步.與廣義投影同步中的比例因子相比較,這里的λ反映的是響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間的狀態(tài)變量的比例關(guān)系,而不是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的比例關(guān)系,故也可稱(chēng)為比例因子,但其實(shí)際含義與廣義投影同步中的比例因子不同[31],兩者存在倒數(shù)關(guān)系.與之相對(duì)應(yīng),后面誤差信號(hào)的定義也相應(yīng)地改為響應(yīng)系統(tǒng)輸出的狀態(tài)變量與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量之差.

3.完全同步與廣義投影同步及其同步特性分析

3.1.完全同步:λ=1

取β=0.5,當(dāng)λ=1時(shí),初始值不同的響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(不妨設(shè)初始值分別為(0,1,0)與(1,0,1))之間實(shí)現(xiàn)了完全同步.設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間狀態(tài)變量的誤差為e1=x2-x1,e2=y2-y1,e3=z2-z1,同步時(shí)的狀態(tài)變量相圖與同步誤差曲線如圖1所示.

圖1 完全同步時(shí)的狀態(tài)變量相圖與同步誤差曲線 (a)x1-x2相圖;(b)y1-y2相圖;(c)z1-z2相圖;(d)e(t)-t同步誤差曲線

改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的特性必然帶給其同步體系新的性能,系統(tǒng)(4)中存在的兩個(gè)特殊參數(shù),即全局線性調(diào)幅參數(shù)d與倒相參數(shù)a對(duì)同步體系的狀態(tài)變量波形演變也具有特殊的調(diào)節(jié)與控制作用.對(duì)于單個(gè)混沌系統(tǒng)而言,全局線性調(diào)幅參數(shù)d能線性調(diào)整混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量演變幅值,使之上升或下降.采用文獻(xiàn)[29,30]的推理方法可知,同步體系中響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)兩個(gè)子系統(tǒng)輸出的六個(gè)狀態(tài)變量演變幅值的線性調(diào)整,也同樣對(duì)應(yīng)于常數(shù)項(xiàng)控制器d的尺度變化.如圖2所示,當(dāng)同步體系中的d由3調(diào)整至6,在響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間建立同步關(guān)系以后,響應(yīng)系統(tǒng)輸出的混沌吸引子相比于d=3的情況得到了放大(見(jiàn)圖2(a),(d)),這種放大反映到混沌波形及其幅度上來(lái)也是一致的,由于d提高了1倍,狀態(tài)變量的演變幅度也相應(yīng)地提高了1倍(見(jiàn)圖2(b),(e)與(c),(f)).可見(jiàn),原來(lái)作用于獨(dú)立混沌系統(tǒng)的常數(shù)項(xiàng)控制器d,其功能也相應(yīng)轉(zhuǎn)移到由響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)兩個(gè)子系統(tǒng)復(fù)合而成的同步體系中來(lái).在改進(jìn)恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的同步體系中,常數(shù)項(xiàng)d依然能對(duì)同步體系輸出的狀態(tài)變量演變幅值進(jìn)行同步升降控制,常數(shù)項(xiàng)控制器d是同步體系的全局幅度調(diào)節(jié)器.

繼續(xù)考察倒相參數(shù)a在同步體系中的作用.文獻(xiàn)[30]指出,由于混沌系統(tǒng)具有初始值敏感性,而系統(tǒng)的初始值又是人為強(qiáng)制設(shè)定的,初始值是系統(tǒng)振蕩的起點(diǎn),因此為了觀測(cè)到a的嚴(yán)格倒相作用,需要將系統(tǒng)初始值設(shè)定為(x0,y0,z0)(其中z0=0),或者在改變a的極性的同時(shí),將系統(tǒng)初始值中z0的坐標(biāo)也設(shè)定為原來(lái)的相反數(shù)-z0,否則倒相作用將由于初始值z(mì)0坐標(biāo)的強(qiáng)扭作用而被遮蔽.同樣采用文獻(xiàn)[29,30]的推理方法,可以推斷,倒相參數(shù)a對(duì)于同步體系中驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)兩個(gè)子系統(tǒng)的特定狀態(tài)變量也具有倒相控制作用.不妨將驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始值坐標(biāo)設(shè)定為(1,-1,0),響應(yīng)系統(tǒng)的初始值坐標(biāo)設(shè)定為(-1,1,0),改變倒相參數(shù)極性,使a=-3,響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)兩個(gè)子系統(tǒng)之間同樣很快建立起了同步關(guān)系(見(jiàn)圖3(a)),而同步體系中響應(yīng)系統(tǒng)輸出的混沌信號(hào)z2(t),相比于a=3的情況得到了嚴(yán)格的倒相控制(見(jiàn)圖3(b)).當(dāng)然,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的相應(yīng)混沌信號(hào)z1(t)也一樣被嚴(yán)格倒相,因?yàn)轫憫?yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間是完全同步的.保持驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始值不變,將響應(yīng)系統(tǒng)的初始值坐標(biāo)設(shè)定為(-1,1,2)時(shí),改變倒相參數(shù)使a=-3以后,響應(yīng)系統(tǒng)輸出的z2(t)信號(hào)被倒相,但是由于初始值的強(qiáng)制作用,使得這個(gè)倒相作用受到遮蔽(見(jiàn)圖3(c)).當(dāng)響應(yīng)系統(tǒng)的初始值設(shè)定為(-1,1,2)時(shí),在a改變極性以后,相應(yīng)地將此初始值的z0坐標(biāo)也作相反數(shù)設(shè)置,即設(shè)定為(-1,1,-2),這樣,同步體系中響應(yīng)系統(tǒng)輸出的z2(t)信號(hào)的倒相作用將清晰地顯現(xiàn)出來(lái)(見(jiàn)圖3(d)).值得強(qiáng)調(diào)的是,同步體系的工作狀態(tài)受到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始值的影響很大,如果驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)置不合適的初始值,有可能會(huì)導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)根本不振蕩,此時(shí)也就無(wú)所謂同步問(wèn)題,而響應(yīng)系統(tǒng)的初始值設(shè)定則相對(duì)比較自由,只是在觀測(cè)倒相參數(shù)的倒相控制作用時(shí),需要初始值中的z0坐標(biāo)隨倒相參數(shù)a的極性改變的同時(shí)設(shè)置為其相反數(shù).

圖2 參數(shù)d實(shí)現(xiàn)幅度調(diào)節(jié) (a)混沌吸引子在x-z的平面投影(d=3),(b)信號(hào)x2(t)(d=3), (c)信號(hào)幅值(d=3),(d)混沌吸引子在x-z的平面投影(d=6),(e)信號(hào)x2(t)(d=6),(f)信號(hào)幅值(d=6)

可見(jiàn),改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)中存在的兩個(gè)特殊參數(shù),賦予了其同步體系新的可控制性,全局線性調(diào)幅參數(shù)d對(duì)響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)兩個(gè)子系統(tǒng)狀態(tài)變量的演變幅值實(shí)現(xiàn)線性增減控制,而伴以響應(yīng)系統(tǒng)初始值的相應(yīng)調(diào)整,倒相參數(shù)a可以對(duì)同步體系中兩個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)變量z(t)實(shí)施同步倒相控制.這種由混沌系統(tǒng)的特殊性所帶來(lái)的幅度與相位可控性是其他混沌系統(tǒng)的同步體系所沒(méi)有的,同步體系的新的幅度與相位可控性,為恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的工程應(yīng)用提供了更大的應(yīng)用空間.

圖3 參數(shù)a的倒相控制作用 (a)a=-3時(shí)的同步誤差曲線,(b)信號(hào)z2(t)(初始值(-1,1,0)),(c)信號(hào)z2(t)(初始值中z0坐標(biāo)不隨a變極性),(d)信號(hào)z2(t)(初始值中z0坐標(biāo)隨a變極性)

3.2.廣義投影同步:λ=k≠1

(10)式指出,當(dāng)選擇不同的λ時(shí),響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量將是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量的λ倍,也就是響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)了廣義投影同步.不妨將響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間狀態(tài)變量的誤差定義為e1=x2-λx1,e2=y2-λy1,e3=z2-λz1.設(shè)置參數(shù)a=d=3,b=0.4,c=1.62,β=0.5, λ=-2,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別為(1,-1,0)和(-1,1,0)時(shí),采用ODE45算法,得到響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的同步效果,如圖4所示.討論λ取不同值的情況,分析同步體系的輸出信號(hào)波形,驗(yàn)證響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)廣義投影同步,有:當(dāng)λ>1時(shí),響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輸出信號(hào)的同相放大,如圖5(a)所示;當(dāng)λ<-1時(shí),響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輸出信號(hào)的倒相放大,如圖5(b)所示;當(dāng)0<λ<1時(shí),響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輸出信號(hào)的同相縮小,如圖5(c)所示;當(dāng)-1<λ<0時(shí),響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輸出信號(hào)的倒相縮小,如圖5(d)所示.

注意到,當(dāng)選擇λ=-2時(shí),響應(yīng)系統(tǒng)(9)的輸出狀態(tài)在變成驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(5)的2倍的同時(shí),響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量也將與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量保持反相關(guān)系,如圖4(c),(d)和圖5(b)所示,這正是廣義投影同步中比例因子的作用.可見(jiàn),這里的λ起到調(diào)整同步體系內(nèi)部響應(yīng)、驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的比例關(guān)系(包括幅度關(guān)系與相位關(guān)系)的作用,也是一種比例因子,但要注意這種同步比例因子是響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間的比例,而不是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的比例[31],在數(shù)值上兩者有倒數(shù)的關(guān)系.

圖4 響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義投影同步 (a)狀態(tài)變量相圖y1-y2,(b)同步誤差曲線e(t),(c)同步體系的混沌吸引子在x-y的平面投影,(d)同步體系的混沌吸引子在x-z的平面投影

圖5 同步體系的狀態(tài)變量x(t)波形 (a)λ=2,(b)λ=-2,(c)λ=0.5,(d)λ=-0.5

圖6 d=1.5時(shí)的同步情況 (a)狀態(tài)變量波形x(t),(b)混沌吸引子在x-z平面的投影

根據(jù)前面分析,恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)中存在的全局線性調(diào)幅參數(shù)d,同樣可以對(duì)廣義投影同步體系中兩個(gè)子系統(tǒng)狀態(tài)變量的幅度實(shí)施同步升降控制.如圖6所示,當(dāng)同步體系中的d=3更改為d=1.5時(shí),接著前面的λ=-2時(shí)的廣義投影同步進(jìn)行討論,在響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)兩個(gè)子系統(tǒng)建立同步關(guān)系以后,同步體系輸出的混沌信號(hào)相比于d=3的情況得到了縮小(圖6(a)與圖5(b)相比較),同步體系中響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輸出的混沌吸引子相比于d=3的情況也有了等比例的壓縮(圖6(b)與圖4(d)相比較).倒相參數(shù)也同樣可以對(duì)同步體系中響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)兩個(gè)子系統(tǒng)中狀態(tài)變量z(t)信號(hào)的相位實(shí)施同步倒相控制(同樣要注意初始值中的z0坐標(biāo)的設(shè)定,因?yàn)槌跏紶顟B(tài)是外界設(shè)置的,不是系統(tǒng)的自然狀態(tài)),如圖7所示.當(dāng)同步體系中的a由a=3更改為a=-3時(shí),接著上面的λ=-2時(shí)的廣義投影同步進(jìn)行討論,在響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)兩個(gè)子系統(tǒng)之間建立起同步關(guān)系以后,同步體系輸出的混沌信號(hào)z(t)相比于a=3的情況受到了倒相控制,如圖7(a)和(b)所示,由于a的倒相作用,原來(lái)的波峰變成了波谷,波谷變成了波峰;當(dāng)然,同步體系輸出的混沌吸引子也在z方向有了顛倒(比較圖7(d)與圖4(d)),而在x與y向保持不變(比較圖7(c)與圖4(c)).

圖7 同步體系的倒相控制 (a)a=3時(shí)的狀態(tài)變量波形z(t),(b)a=-3時(shí)的狀態(tài)變量波形z(t),(c)a=-3時(shí)的混沌吸引子在x-y的平面投影,(d)a=-3時(shí)的混沌吸引子在x-z的平面投影

綜上所述,恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的兩個(gè)獨(dú)特參數(shù)全局線性調(diào)幅參數(shù)d與倒相參數(shù)a增加了同步體系新的可控性,全局線性調(diào)幅參數(shù)d起到外部同步調(diào)整狀態(tài)變量幅值的作用,倒相參數(shù)a對(duì)同步體系兩個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)變量z(t)進(jìn)行同步倒相控制.對(duì)于廣義投影同步而言,由于存在調(diào)節(jié)響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量之間比例關(guān)系的比例因子λ,因此,不妨將這兩個(gè)具有特殊控制作用的參數(shù)定義為同步體系的外部控制因子,全局線性調(diào)幅參數(shù)d是狀態(tài)變量幅度外控因子,而倒相參數(shù)a是其中狀態(tài)變量z(t)的倒相外控因子.通過(guò)同步體系中比例因子λ、幅度外控制因子d以及相位外控因子a等三個(gè)參數(shù)的協(xié)同作用,可以容易地實(shí)現(xiàn)同步體系狀態(tài)變量的幅度與相位的靈活控制.

4.電路實(shí)驗(yàn)仿真

上述基于廣義同步理論構(gòu)建的恒指數(shù)譜同步體系只包含驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)兩個(gè)部分,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,電路容易實(shí)現(xiàn).同步體系中驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)固定,通過(guò)選擇不同的與系數(shù)矩陣對(duì)易的矩陣,構(gòu)造不同的響應(yīng)系統(tǒng),從而實(shí)現(xiàn)完全同步、廣義投影同步以及一般的廣義同步.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)直接采用文獻(xiàn)[29]所提供的電路模型,這里不再重復(fù).響應(yīng)系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)也基于同樣的結(jié)構(gòu),根據(jù)(9)式,只要添加合適的線性反饋?lái)?xiàng)與非線性反饋?lái)?xiàng)即可實(shí)現(xiàn),具體電路如圖8所示.

圖8 同步體系中響應(yīng)系統(tǒng)的電路結(jié)構(gòu)

根據(jù)電路理論以及各元件的特性,可以得到圖8電路的狀態(tài)方程為

與響應(yīng)系統(tǒng)的電路方程一致.當(dāng)同步系統(tǒng)參數(shù)取a =3,b=0.4,c=1.62,d=3時(shí),對(duì)應(yīng)地設(shè)置電路元器件參數(shù)為:C1=C2=C3=1μF,R1= 27.778 kΩ,R2=45 kΩ,R3=15 kΩ,R4=900Ω, R5=20 kΩ,V1=3 V,R8=15 kΩ,R9=900 kΩ, R10=20 kΩ,R13=R14=120 kΩ,R15=50 kΩ,R16=400Ω,R17=20 kΩ,其他反相器的電阻都統(tǒng)一設(shè)置為1 kΩ.為表示方便,圖中響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的相同部分采用同名電阻、運(yùn)放或者信號(hào),不同部分(包括新增部分)采用不同的標(biāo)識(shí).響應(yīng)系統(tǒng)的特殊參數(shù)要根據(jù)同步要求與不同的同步方法來(lái)設(shè)置.當(dāng)β=0.5時(shí),設(shè)置R24=90 kΩ;對(duì)應(yīng)不同的λ值,選擇R1r=(27.778/|λ|)kΩ,R25r=(90/|λ|) kΩ來(lái)實(shí)現(xiàn)(當(dāng)λ為負(fù)數(shù)時(shí),要同時(shí)將反饋信號(hào)的極性作對(duì)應(yīng)的調(diào)整);響應(yīng)系統(tǒng)的直流電源大小也根據(jù)λ來(lái)設(shè)定,當(dāng)λ為負(fù)數(shù)時(shí),也要同時(shí)將電源極性顛倒.

由于廣義投影同步中,當(dāng)λ=1時(shí),就是完全同步.因此,限于篇幅,這里只討論一般的廣義投影同步的電路實(shí)驗(yàn).令λ=-2,也就是將響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為R1r=13.889 kΩ,并將相應(yīng)支路的反饋信號(hào)-|y1|改為|y1|;R25r=45 kΩ,并將相應(yīng)支路的反饋信號(hào)-x1改為x1;響應(yīng)系統(tǒng)中的直流輸入電壓相應(yīng)調(diào)整為-6 V,這樣構(gòu)建的響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義投影同步,同步效果如圖9所示;同步體系中響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的混沌波形如圖10所示(明線為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)波形,暗線為響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)波形),由圖10可見(jiàn),當(dāng)λ=-2時(shí),同步實(shí)現(xiàn)以后,響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量的倒相放大;響應(yīng)系統(tǒng)的混沌吸引子如圖11所示.當(dāng)同步體系中的d由3調(diào)整至1.5時(shí),在建立起同步以后,響應(yīng)系統(tǒng)的混沌吸引子如圖12所示,與圖11比較可見(jiàn),d縮小一倍,相應(yīng)的混沌吸引子之跌宕區(qū)間在橫、縱坐標(biāo)方向都縮小了一倍.調(diào)整同步電路中的參數(shù)a,使之極性改變(這通過(guò)對(duì)電路中的反饋信號(hào)進(jìn)行調(diào)整來(lái)實(shí)現(xiàn)),從而得到相應(yīng)的混沌吸引子如圖13所示.比較圖13與圖11可見(jiàn),由于a的極性改變,使得混沌吸引子在z方向上顛倒了一下,圖14給出的混沌波形(同樣明線代表驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),暗線代表響應(yīng)系統(tǒng)),進(jìn)一步驗(yàn)證了a的極性改變對(duì)z(t)信號(hào)的倒相作用.觀察圖14(c)與圖10(c)發(fā)現(xiàn),在z(t)波峰的地方變成了波谷,波谷的地方也變成了波峰,而圖14(a),(b)與圖10(a),(b)相比,沒(méi)有波峰與波谷的轉(zhuǎn)換,也說(shuō)明a的極性改變對(duì)x(t)與y(t)信號(hào)沒(méi)有倒相作用.以上結(jié)果驗(yàn)證了全局線性調(diào)幅參數(shù)d與倒相參數(shù)a對(duì)于同步體系的幅度與相位的控制作用,與前面的數(shù)值仿真結(jié)果一致.

圖9 電路同步實(shí)驗(yàn)狀態(tài)變量相圖 (a)x1-x2(橫坐標(biāo)0.5 V/div,縱坐標(biāo)2 V/div),(b)y1-y2(橫坐標(biāo)0.2 V/div,縱坐標(biāo)1 V/div),(c)z1-z2(橫坐標(biāo)0.1 V/div,縱坐標(biāo)0.5 V/div)

圖10 電路同步實(shí)驗(yàn)觀察到的狀態(tài)變量波形圖 (a)x(t)(橫坐標(biāo)5 s/div,縱坐標(biāo)2 V/div),(b)y(t)(橫坐標(biāo)5 s/div,縱坐標(biāo)1 V/div),(c)z(t)(橫坐標(biāo)5 s/div,縱坐標(biāo)0.5 V/div)

圖11 響應(yīng)系統(tǒng)混沌吸引子(d=3) (a)x2-y2的平面投影(橫縱坐標(biāo)1 V/div),(b)x2-z2的平面投影(橫坐標(biāo)1 V/div,縱坐標(biāo)0.5 V/div),(c)y2-z2的平面投影(橫縱坐標(biāo)0.5 V/div)

圖12 響應(yīng)系統(tǒng)混沌吸引子(d=1.5) (a)x2-y2的平面投影(橫縱坐標(biāo)1 V/div),(b)x2-z2的平面投影(橫坐標(biāo)1 V/ div,縱坐標(biāo)0.5 V/div),(c)y2-z2的平面投影(橫縱坐標(biāo)0.5 V/div)

圖13 響應(yīng)系統(tǒng)混沌吸引子(a=-3) (a)x2-y2的平面投影(橫縱坐標(biāo)1 V/div),(b)x2-z2的平面投影(橫坐標(biāo)1V/ div,縱坐標(biāo)0.5 V/div),(c)y2-z2的平面投影(橫縱坐標(biāo)0.5 V/div)

圖14 電路同步實(shí)驗(yàn)狀態(tài)變量波形圖(a=-3) (a)x(t)(橫坐標(biāo)5 s/div,縱坐標(biāo)2 V/div),(b)y(t)(橫坐標(biāo)5 s/div,縱坐標(biāo)1 V/div),(c)z(t)(橫坐標(biāo)5 s/div,縱坐標(biāo)0.5 V/div)

5.結(jié) 論

根據(jù)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu),可以得到該系統(tǒng)新的同步方法;從該系統(tǒng)的特殊參數(shù)出發(fā)又可得到其同步體系的新調(diào)節(jié)因子.本文基于廣義同步的基本原理,構(gòu)造合適的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng),研究了恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的同步方法;從廣義同步引申開(kāi)去,通過(guò)改變響應(yīng)系統(tǒng)的一些參數(shù),實(shí)現(xiàn)了恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的完全同步與廣義投影同步.改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的同步體系具有三個(gè)重要的調(diào)節(jié)因子,全局線性調(diào)幅參數(shù)d能對(duì)驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量幅值實(shí)施同步升降控制,倒相參數(shù)a能對(duì)某一特定狀態(tài)變量z(t)實(shí)施同步倒相控制,而比例因子λ則對(duì)響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的幅度與相位關(guān)系進(jìn)行內(nèi)部鎖定與控制.全局線性調(diào)幅參數(shù)d(幅度調(diào)節(jié)器)與倒相參數(shù)a(相位調(diào)節(jié)器)是外調(diào)節(jié)因子,比例因子(幅相鎖定器)是內(nèi)調(diào)節(jié)因子,內(nèi)外調(diào)節(jié)因子的協(xié)同作用,使得改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的同步體系更加靈活、可控.數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了上述同步方案的正確性與可實(shí)施性,也驗(yàn)證了內(nèi)外三個(gè)調(diào)節(jié)因子各自的控制與調(diào)節(jié)作用.

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Li Chun-Biao1)2)?Hu Wen3)

1)(Department of Engineering Technology,Jiangsu Institute of Econom ic and Trade Technology,Nanjing 210007,China)

2)(Department of Electric Source and System,Research and Development Center of Food Safety Engineering Technology of Jiangsu Province,Nanjing 210007,China)

3)(School of Infor mation Science and Technology,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

PACC:0545

Synchronization methods and properties of the improved chaotic system with constantLyapunov exponent spectrum＊

6 May 2009;revised manuscript

9 June 2009)

The existence of special piecewise-linear structure,global linear amplitude adjuster and phase-reverse controller in improved chaotic system with constant Lyapunov exponent spectrum contributed much to finding new synchronization methods and new adjusting parameters.According to the principle of generalized synchronization,by constructing appropriate driving system and response system,generalized synchronization of the improved chaotic system with constant Lyapunov exponent spectrum then can be achieved.By changing the parameter of response system,the complete synchronization and generalized projective synchronization can be further realized.The amplitude of the state variable of the driving system and the response system can be controlled to increase and decrease synchronously by the global linear amplitude adjuster,while the phase of certain variables can be controlled to reverse synchronously by the phase-reverser. This synchronization system dispenseswith other special controllers,possesses simple structure and so can be implemented easily.Finally,the implement circuit of synchronization system is designed.It is validated by experiment simulation that the synchronization methods are feasible,the amplitude and the phase of the state variable in the synchronization system can be controlled by special parameters of the improved chaotic system.

improved chaotic system with constant Lyapunov exponent spectrum,synchronization,amplitude control, phase-reverse control

＊江蘇省“青藍(lán)工程”(批準(zhǔn)號(hào):蘇教師[2008]30號(hào))和航空基金(批準(zhǔn)號(hào):2009ZC52038)資助的課題.

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＊Project supported by the QingLan Project of Jiangsu Province,China(Grant No.[2008]30)and the Aeronautical Science Foundation of China (GrantNo.2009ZC52038).

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