鄭 睿 高星輝2) 曹偉文 陳利霞 陸大全 郭 旗 吳立軍 胡 巍?

1)(華南師范大學光子信息技術廣東省高校重點實驗室,廣州 510006)

2)(廣州大學機械與電氣工程學院,廣州 510006)

光譜重置法在非局域空間光孤子研究中的應用＊

鄭 睿1)高星輝1)2)曹偉文1)陳利霞1)陸大全1)郭 旗1)吳立軍1)胡 巍1)?

1)(華南師范大學光子信息技術廣東省高校重點實驗室,廣州 510006)

2)(廣州大學機械與電氣工程學院,廣州 510006)

(2009年5月4日收到;2009年5月26日收到修改稿)

利用光譜重置法在數值上求解非局域非線性薛定諤方程,快速準確地計算出非局域非線性介質中空間光孤子的波形,并得到在不同非局域程度下形成孤子的臨界功率和臨界束寬的關系.研究結果表明,在任意非局域程度條件下都可以形成穩(wěn)定的空間光孤子.在響應函數不同時分別與解析解進行對比,發(fā)現數值解和解析解只有在強非局域和弱非局域這兩種極限條件下是一致的,并給出了對應解析解的有效范圍.

光譜重置法,非局域空間光孤子,臨界功率,臨界束寬

PACC:4265S

1.引言

非局域空間光孤子是存在于空間非局域非線性介質中的空間光孤子,當非線性效應產生的會聚效果與衍射產生的發(fā)散效果平衡時,光束在介質中就以空間光孤子的形態(tài)傳輸.在非局域非線性介質中光束的傳輸可以用非局域非線性薛定諤方程來描述[1—3],介質的特性由響應函數表示,根據響應函數的寬度和光束寬度的相對大小可以把非局域程度分為四種:局域、弱非局域、一般非局域和強非局域[4].根據響應函數是否處處連續(xù)可導,可分為無奇點型響應函數材料(如高斯型響應)和有奇點型響應函數材料(如指數衰減型響應),常用的液晶材料即為指數衰減型響應[5].

當前對非局域空間光孤子的研究已經引起了人們廣泛的興趣[1—15].Synder等[1]在強非局域條件下得到了精確的高斯型空間孤子解.郭旗等[6,7]的進一步研究得到了強非局域模型下無奇點型響應函數材料中的解析解,曹龍貴等[15]求得了強非局域條件下有奇點型響應函數材料中的近似解析解. Królikowski等[8]得到了弱非局域條件下空間光孤子的解析解.

然而至今尚未見有文獻報道能夠給出在不同非局域程度下求得光孤子精確解析解的統(tǒng)一方法,在一般非局域條件下更沒有得到光孤子的解析解.本文利用一種新算法,從1+1維非局域非線性介質出發(fā),在數值上求出兩種不同類型響應函數材料中任意非局域程度條件下的空間光孤子,得到了不同非局域程度下的空間光孤子的波形.結果表明在任意非局域程度條件下都可以形成穩(wěn)定的光孤子,且光孤子的臨界功率隨著非局域程度的減弱而減小.在強非局域和弱非局域兩種極限條件下,我們的數值結果與解析結果精確符合.

2.光譜重置法求光束在非局域非線性介質中的孤子解

光束在1+1維非局域非線性介質中的傳輸可以用非局域非線性薛定諤方程[1—3]來描述

式中,ψ為光束的振幅分布,k=ωn0/c(ω為光束的角頻率,n0為材料的線性折射率,c為真空中的光速),ρ=kη(η為介質常數,η>0表示自聚焦介質,η <0表示自散焦介質,本文取η>0),r(x)是介質的對稱非線性響應函數,其滿足歸一化條件

本文討論兩種類型的響應函數,分別是高斯型和指數衰減型

式中wm為響應函數的寬度.通過以下的歸一化變換:

通過在強非局域條件下展開響應函數R(X)[6,14,15],弱非局域條件下展開光強U(X)2的方法[8]可以分別得到相應條件下的解析解.但是在一般非局域條件下至今尚沒有人給出解析解,所以只能在數值上求出任意非局域程度條件下的孤子解,以便進一步研究孤子的性質.因此我們可以利用Ablowitz等[9]提出的光譜重置法來求得精確的孤子波形.

由于空間光孤子是衍射效應和非線性效應達到平衡時光束在非線性介質中的一種穩(wěn)定傳輸狀態(tài).如果光束函數的孤子態(tài)一定存在,那么非局域非線性薛定諤方程的孤子解在傅里葉空間內的光譜在整個傳輸過程中保持不變.因此對于任意可積的初始光束,我們可以在傅里葉空間對它的光譜進行迭代,直到其收斂于穩(wěn)定狀態(tài).

光譜重置法即是將能產生孤子的系統(tǒng)(如非局域非線性薛定諤方程)變換到傅里葉空間,找到一對耦合的積分方程和代數方程,這一對方程可以有效地保證光譜重置法收斂,將任意可積的初始光束函數代入方程進行迭代,最終得到孤子解.由于采用一對耦合的方程雙重逼近,該算法的收斂速度極其迅速.與利用分步傅里葉算法找孤子的方法[10,11]相比,本算法不用手動調整初始入射波形和振幅,且不利用光束的傳輸狀態(tài)來判斷是否為孤子形態(tài),因此更加準確和易于實現.

在歸一化系統(tǒng)中,孤子解的形式[8]可設為

這里μ>0是傳播常數(即孤子的特征值),u(X)為任意可積的待定波形.代入(5)式,得到

定義傅里葉變換F為

對(9)式進行傅里葉變換,可以得到

在這里我們引入一個新的變量λ以限制無邊界條件下其他增益對振幅的影響,并避免振幅趨向零.令u(X)=λv(X),u^(K)=λv^(K),這里λ≠0是一個能夠確定的常數.(10)式變形為

在(11)式兩邊同時乘以v^＊并在整個K空間內積分,可以確定常數λ的值

從(11)和(12)式,我們可以得到耦合的迭代關系式

整個光譜重置法的計算流程如下:給出一個任意的試探波形v1(X)(如高斯函數或者雙曲正割函數),對其作傅里葉變換得到v^1(K),代入(13)式,可以得到代入(14)式,可以得到v^2(K).如果迭代n+1次以后,有其中δ確定光束波形的精度,這里取10-6,則可認為此時的光譜為孤子狀態(tài)的光譜.對v^n+1作逆傅里葉變換,可以得到孤子態(tài)的光束函數u(X) =λn+1vn+1(X).

計算中,對不同的響應函數我們選取合適的μ值通過迭代得到孤子的波形u(X)(見圖1),并計算出不同μ值時的臨界功率Pc和二階矩束寬Wc,

由于方程是按照wm歸一化的,所以Wc也代表了非局域程度.當Wc?1時,說明在物理坐標中孤子的臨界束寬遠遠小于介質響應函數的寬度,代表了強非局域情況;Wc?1時,說明在物理坐標中孤子的臨界束寬遠遠大于介質響應函數的寬度,代表了弱非局域情況;當Wc→∞時,則(1)式演化為局域條件下的非線性薛定諤方程.即隨著Wc的增大,在物理坐標中非局域程度逐漸變小.

我們計算出空間光孤子的臨界功率與臨界束寬的關系如圖2所示,可以看出孤子臨界束寬越小,孤子所需的臨界功率越大.這是因為入射光束越細,則衍射效應越強,要求的非線性就越強.當Wc?1時,響應函數的寬度遠遠小于光束束寬,兩種類型響應函數隨著非局域程度的減小,都逐漸趨近于δ函數,高斯響應和指數衰減響應形成孤子的臨界功率逐漸相等.而當Wc?1時,兩種不同的響應函數對應的臨界功率有很大差別,說明在強非局域條件下,響應函數的形狀對臨界功率有很大的影響.通過圖3我們可以看出dPc/dμ>0,因此孤子可以穩(wěn)定存在[10].

圖1 不同傳播常數在高斯響應和指數衰減響應下的孤子波形

圖2 孤子臨界功率與臨界束寬的關系

圖3 傳播常數與臨界功率的關系

3.與非局域非線性介質中空間光孤子解析解的對比

將光譜重置法計算出的數值解和已有的解析解對比,可以驗證我們算法的準確性,并得到兩種響應函數材料中不同非局域程度條件下解析解的適用范圍.

3.1.與強非局域條件下解析解的對比

強非局域情況下孤子的解析解和響應函數的類型有關.由于響應函數的寬度遠大于光束的束寬,對無奇點型響應函數(如高斯型響應),根據郭旗等[6]的方法,在本文的歸一化坐標下將響應函數展開

可以得到強非局域介質中孤子解的波形

孤子的臨界功率和臨界束寬的關系為

將響應函數展開到四階,使該方法在亞強非局域條件下也適用[7],即得到亞強非局域下孤子臨界功率和臨界束寬的關系

高斯響應情況下解析解和數值解的對照參見圖4.圖4中的細實線為我們求得的數值解,虛線為強非局域條件下的解析解(17)式,帶三角的細線則為亞強非局域條件下的解析解(18)式.可以看出,當Wc?1時,滿足強非局域條件,解析結果和數值解完全符合.隨著Wc增大,非局域程度減小,解析解逐漸偏離數值解.將解析解和數值解的相對誤差為10%時作為解析解的失效條件,可以得到高斯響應時強非局域條件下解析解失效時的Wc值為0.26.也就是說響應寬度約為光束束寬的4倍時,文獻[6]的解析解仍然可以給出相當精確的結果.在亞強非局域條件下解析解失效時Wc值為0.48,即此時響應寬度僅為光束束寬的2倍.

如果響應函數有奇點,原則上無法對響應函數進行泰勒展開.但是對于指數衰減響應,可以采用另外一種方法[15]將響應函數展開為

利用變分法[14],可求得孤子臨界束寬和臨界功率的關系

(20)式存在奇異性,考慮在強非局域條件下有Wc?1,上式可近似為

注意到(21)式中Pc與Wc的三次方成反比,而(17)式中Pc與Wc的四次方成反比,說明強非局域條件下響應函數的形狀對臨界功率有很大影響,如圖2所示.如果將響應函數RE(X)展開到5階,則可得到在亞強非局域程度下的解析解[15],并得到臨界束寬和臨界功率的關系

圖5給出了響應函數為指數衰減型時解析解與數值解的對比.其中細實線表示數值解,虛線為強非局域條件下的近似解(21)式,帶三角的細線為亞強非局域條件下的解析解(22)式.同樣我們得到指數衰減型響應下強非局域和亞強非局域條件下解析解失效時的Wc值分別為0.11和0.93.可以看出將(19)式展開到高階可以得到更高的精度.

3.2.與弱非局域條件下解析解的對比

在弱非局域條件下,響應函數的寬度遠小于光束的束寬,我們可以在歸一化系統(tǒng)下將光強展開[8],(5)式可寫為

其中

對于弱非局域條件,Wc?ξ.當R(X)=δ(X)時,ξ= 0,此時(23)式退化為局域非線性薛定諤方程.

設u0=u(0)表示振幅的最大值,表示光強,可以得到[8]

已知在局域條件下孤子解的形狀為雙曲正割[16],因此我們可以合理地推斷隨著非局域程度的減小,孤子的波形將逐漸趨向雙曲正割.由此我們可以得到弱非局域情況下二階矩臨界寬度Wc為光束光強減小為1/e2處束寬的1.123倍,得到臨界束寬關于傳播常數的表達式

對不同的響應函數,ξ有不同的取值.對于高斯型響應ξG=0.25;對于指數衰減型響應ξE=1.從(26)和(27)式得到弱非局域條件下臨界功率與臨界束寬在高斯響應和指數衰減響應時的關系分別如圖4和圖5中的點劃線所示.可以看出在Wc?1時,滿足弱非局域條件,解析解和數值解完全符合.當Wc變小時,非局域程度加強,弱非局域下的解析解失效.同樣以10%作為誤差限,可以得到解析解失效時的Wc值在高斯響應和指數響應時分別為3.15和4.86.也就是說當光束寬度是響應函數寬度的3—5倍以上時,弱非局域模型[8]可以給出相當精確的結果.

圖4 響應函數為高斯型時數值模擬結果與解析解的比較

圖5 響應函數為指數衰減型時數值模擬結果與解析解的比較

4.結論

本文通過光譜重置法,精確快捷地計算出在非局域非線性介質中響應函數分別為高斯型和指數衰減型的情況下的空間光孤子,得到了光孤子臨界功率與臨界束寬的關系.隨著空間光孤子臨界束寬的增加,即介質非局域程度越來越弱,光孤子的臨界功率會逐漸減小.在強非局域條件下響應函數的形狀對臨界功率有很大的影響,而弱非局域條件下響應函數的形狀對臨界功率影響很小.在強非局域和弱非局域條件下得到的解析解,只能局限于其非局域程度條件,在非局域程度趨向于一般非局域時都會失效,我們給出了其有效范圍.因此,在還未找到一個統(tǒng)一的表達式來描述任意非局域程度條件下空間光孤子的特性時,光譜重置法是研究空間孤子很好的工具,在數值上完成了從強非局域到弱非局域的過渡.

光譜重置法除了討論高斯型和指數衰減型響應函數,對其他類型的響應函數也是適用的.此外,光譜重置法還能用于和非局域非線性薛定諤方程類似的玻色-愛因斯坦體系、流體力學等問題的研究.

[1]SnyderA W,MitcherD J 1997Science276 1538

[2]Stegeman G I,SegevM 1997Science286 1518

[3]MitcherD J,SnyderA W 1999J.Opt.Soc.Am.B 16 236

[4]BangO,KrólikowskiW,Wyller J,Rasmussen J J 2002Phys. Rev.E 66 046619

[5]HuW,Zhang T,Guo Q 2006Appl.Phys.Lett.89 071111

[6]Guo Q,Luo B R,Yi F H,Chi S E,Xie YQ 2004Phys.Rev. E 69 016602

[7]Guo Q,Luo B,Chi S 2006Opt.Commun.259 336

[8]KrólikowskiW,BangO 2000Phys.Rev.E 63 016610

[9]AblowitzM J,Musslimani Z H 2005Opt.Lett.30 2140

[10]Xu C B,Guo Q 2004Acta Phys.Sin.53 3025(in Chinese) [許超彬、郭 旗2004物理學報53 3025]

[11]Cao J N,Guo Q 2005Acta Phys.Sin.54 3688(in Chinese) [曹覺能、郭 旗2005物理學報54 3688]

[12]Zhang X P,Guo Q,Hu W 2005Acta Phys.Sin.54 5189(in Chinese)[張霞萍、郭 旗、胡 巍2005物理學報54 5189]

[13]Gao X C,HuW,Zhang T,GuoQ,WangXA,LongXW 2007 Acta Phys.Sin.56 2237(in Chinese)[高喜存、胡 巍、張濤、郭 旗、王新愛、龍學文2007物理學報56 2237]

[14]BaiD F,Guo Q,Hu W 2008Acta Phys.Sin.57 5684(in Chinese)[白東峰、郭 旗、胡 巍2008物理學報57 5684]

[15]Cao L G,Lu D Q,Hu W 2008Acta Phys.Sin.57 6365(in Chinese)[曹龍貴、陸大全、胡 巍2008物理學報57 6365]

[16]Agrawal G P 2005Nonlinear FiberOptics(New York:Academic Press)p142

PACC:4265S

Applicat ions of spectral renor malization method to the research of nonlocaloptical spatial soliton＊

Zheng Rui1)Gao Xing-Hui1)2)Cao Wei-Wen1)Chen Li-Xia1)Lu Da-Quan1)Guo Qi1)Wu Li-Jun1)Hu Wei1)?

1)(Key Laboratory of Photonic Infor mation Technology of Guangdong Province,South China Nor mal University,Guangzhou 510006,China)
2)(College of M echanical and Electric Engineering,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)

4 May 2009;revised manuscript

26 May 2009)

We use spectral renormalization method to solve the nonlocal nonlinear Schr?dinger equation,which gives accurate waveform of nonlocal optical spatial soliton.The relation between critical power and critical beamwidth is acquired in different nonlocal conditions.We discovered that optical spatial soliton exists stably in any nonlocal degree.Comparing analytic solution with numerical solution for different response functions,we find that they are consistent only under strong nonlocal and weak nonlocal conditions.The effective range of analytic solution is also given.

spectral renormalization method,nonlocal optical spatial soliton,critical power,critical beamwidth

＊國家自然科學基金(批準號:10804033,10674050)、廣東省高校創(chuàng)新團隊計劃(批準號:06CXTD005)和高等學校博士學科點專項科研基金(批準號:200805740002)資助的課題.

?通訊聯系人.E-mail:huwei@scnu.edu.cn

＊Project supported by the NationalNatural Science Foundation of China(GrantNos.10804033,10674050),the Program for Innovative Research Team of High Education in Guangdong Province,China(GrantNo.06CXTD005),and the Specialized Research Fund for theDoctoral Program of Higher Education of China(GrantNo.200805740002).

?Corresponding author.E-mail:huwei@scnu.edu.cn