馬純

(西安思源學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西西安 710038)

一類具有垂直傳染的傳染病模型的分析

馬純

(西安思源學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西西安 710038)

建立了一類具有垂直傳染的SEIT結(jié)核病模型,利用Lyapunov函數(shù)和LaSalle不變集原理研究了系統(tǒng)無病平衡點的全局穩(wěn)定性;利用Jacobian矩陣研究了地方病平衡點的局部穩(wěn)定性，并利用Matlab數(shù)學(xué)軟件,通過數(shù)值模擬,對所建立的模型進(jìn)行了仿真.

傳染病模型 垂直傳染 穩(wěn)定性

結(jié)核病最常見的傳播途徑有三條：

一、空氣－呼吸道，這是結(jié)核病最主要的傳染途徑.

二、食物傳染.結(jié)核病人用的餐具、吃剩的食物上都可能污染了結(jié)核桿菌.

三、垂直傳播.患有結(jié)核病的母親在懷孕期間，其體內(nèi)的結(jié)核桿菌可通過臍帶血液進(jìn)入胎兒體內(nèi)，胎兒也可因咽下或吸入含有結(jié)核桿菌的羊水而感染，從而患上先天性結(jié)核病.

1 模型的建立

根據(jù)結(jié)核病的傳播特性[1-6]建立了模型，把人口種群分為四個類型 ：易感者（Susceptible individuals），潛伏者（Exposed（Latent）individuals），染病者（Infectious indi－viduals） 和治愈者（Treated individuals），分別簡寫為：S，E，I，T.總?cè)丝谟肗表示，則有

建立的如下的SEIT系統(tǒng)

其中，所有參數(shù)均為正：

μ：平均死亡率系數(shù)；b：人口出生率系數(shù)；β：平均傳染率系數(shù)（即易感者單位時間內(nèi)被感染者感染的次數(shù)）；c：一個人單位時間內(nèi)接觸的人數(shù)；d：因病死亡率系數(shù)；k：平均轉(zhuǎn)化率系數(shù)（即一個潛伏者成為染病者的概率）；r1：潛伏者的治愈率系數(shù)；r2：臨床病人的治愈率系數(shù)；p：潛伏者后代為潛伏者的比例系數(shù)；q：染病者后代為潛伏者的比例系數(shù)（其中0＜p；q＜1）；pbE＋qbI：出生人群成為潛伏者的項.因此總?cè)丝诳杀硎緸?/p>

因為s＋e＋i＋t＝1.通過觀察，變量t在系統(tǒng)的前三個方程中沒有出現(xiàn).這樣可以只需研究系統(tǒng)的前三個方程

從生物學(xué)意義考慮，只在

閉集中對系統(tǒng)進(jìn)行研究，可以證明A是關(guān)于系統(tǒng)的正向不變集.系統(tǒng)在A中有兩個平衡點：無病平衡點P0＝（1，0，0）和地方病平衡點P*（s*，e*，i*）且是系統(tǒng)的修正再生數(shù).

2 模型的分析

定理2.1當(dāng)σ＜1時，系統(tǒng)的無病平衡點P0＝（1，0，0）在A內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.當(dāng)σ＞1時，P0＝（1，0，0）是不穩(wěn)定的，且除S軸外，從A內(nèi)充分靠近P0點出發(fā)的解都遠(yuǎn)離P0.

定理2.2假設(shè)b＞d，當(dāng)σ≥1時P*，系統(tǒng)P*在集合A中局部漸近穩(wěn)定.

3 數(shù)值模擬

圖1 σ＜1無病平衡點P0全局穩(wěn)定示意圖

圖2 σ＞1地方病平衡點P*全局穩(wěn)定示意圖

在圖1是當(dāng)修正再生數(shù)σ＜1時，如圖所示，系統(tǒng)的無病平衡點P0在集合A中是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)修正再生數(shù)σ＞1時，其解無病平衡點不穩(wěn)定，此時，疾病將會持續(xù).在圖2當(dāng)修正再生數(shù)σ＞1時，系統(tǒng)的地方病平衡點 P*在集合A中全局漸近穩(wěn)定的.

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Abstract:An SEIT epidemic model with vertical transmission is considered.By Lyapunov function and LaSalle invariant set theorem,It proved the global asymptoticalstable results of the disease-free equilibrium.By Descartes'Rule of Signs,proved the local asymptotical stable results of the endemic equilibrium.It proved the results of the model with the help of Matlab by numerical simulations.

Key words:epidemic model;vertical transmission;stability

〔編輯 高?！?/p>

Stability of SEIT Epidemic Model with Vertical Transmission

MA Chun
(Department of Basic Courses,Xi'an siyuan University,Xi'an Shaanxi,710038)

O175.13

A

1674－0874（2010）03－0017－02

2010－03－15

馬純(1981-),男,山西晉城人,碩士,助教,研究方向:生物數(shù)學(xué).