(1.上海貝爾股份有限公司，上海 201206；2.復(fù)旦大學(xué) 電子工程系，上海 200433)

1 引 言

在無(wú)線多入多出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)系統(tǒng)中，若發(fā)射機(jī)預(yù)知信道狀態(tài)信息(Channel State Information, CSI)，則可采用簡(jiǎn)單的波束賦形(Beamforming)技術(shù)獲得陣列增益和分集增益[1-2]。在頻分雙工(Frequency Division Duplex, FDD)系統(tǒng)中，因上下行鏈路的CSI不具有互易性，故通常需要接收機(jī)將CSI反饋給發(fā)射機(jī)[3]。文獻(xiàn)[4-6]分析了FDD系統(tǒng)中各種反饋模式下的容量或誤碼率性能。

然而，反饋會(huì)增加FDD系統(tǒng)的開銷。在時(shí)分雙工(Time Division Duplex, TDD)系統(tǒng)中，上下行鏈路的CSI通常具有互易性，因此，發(fā)射機(jī)可以在當(dāng)前時(shí)刻利用接收到的導(dǎo)頻信號(hào)估計(jì)出CSI，計(jì)算出用于下一時(shí)刻的發(fā)射波束賦形向量或矩陣。但是，CSI估計(jì)誤差和上下行鏈路的時(shí)分復(fù)用特性導(dǎo)致的傳輸時(shí)延都會(huì)使得上下行鏈路的CSI不再具有理想的互易性。文獻(xiàn)[7]研究了非理想互易性對(duì)多入單出(Multiple-Input Single-Output, MISO)系統(tǒng)中單流波束賦形的誤碼率影響。

目前的主流無(wú)線通信標(biāo)準(zhǔn)之一LTE(Long Term Evolution)已經(jīng)在其Release-9版本中將雙流波束賦形[8]列入，它不但可以實(shí)現(xiàn)單流波束賦形具備的分集增益和陣列增益，還能帶來(lái)復(fù)用增益，正日益受到關(guān)注。就作者所知，在公開的文獻(xiàn)中，有關(guān)TDD系統(tǒng)中非理想互易性對(duì)雙流波束賦形影響的理論分析還十分少見。有鑒于此，針對(duì)實(shí)際系統(tǒng)采用非常廣泛的最小均方誤差(Minimum Mean Squared Error, MMSE)線性接收準(zhǔn)則，本文研究了非理想互易條件下雙流波束賦形的遍歷容量。在推導(dǎo)出兩個(gè)數(shù)據(jù)流的平均后驗(yàn)信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)上界的基礎(chǔ)上，得到了與之對(duì)應(yīng)的遍歷容量(Ergodic Capacity)上界的閉合表達(dá)式。數(shù)值和仿真結(jié)果表明：所得上界與準(zhǔn)確值較為接近，且互易度只會(huì)影響系統(tǒng)的陣列增益，而對(duì)系統(tǒng)的復(fù)用增益沒(méi)有影響。

對(duì)本文中的符號(hào)說(shuō)明如下：大小寫黑斜體字母分別表示矩陣和(列)向量；I表示單位矩陣，0表示元素全為0的向量；(·)T和(·)H分別表示轉(zhuǎn)置和Hermitian轉(zhuǎn)置；‖·‖表示Frobenius范數(shù)；n×m表示n×m維復(fù)矩陣空間；vec(A)表示矩陣A的列展開；tr(A)表示矩陣的跡；EX(·)表示關(guān)于隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，當(dāng)不致引起混淆時(shí)，也用E(·)表示；CN(m,Σ)表示均值向量為m、協(xié)方差矩陣為Σ的復(fù)高斯隨機(jī)向量分布。

2 系統(tǒng)模型

考慮基站有M個(gè)天線、終端有N個(gè)天線(2≤N≤M)的采用雙流波束賦形的下行鏈路。實(shí)際信道一般是頻率選擇性的，但采用正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)技術(shù)可以將寬帶信道轉(zhuǎn)化為多路窄帶信道[9]。為分析方便，假設(shè)收發(fā)兩端之間的信道是平坦衰落的。因此，系統(tǒng)的基本輸入輸出關(guān)系可表示為

r=HFs+z

(1)

式中，r∈N×1為接收信號(hào)向量；信道矩陣H∈

對(duì)TDD系統(tǒng)，雙流波束賦形的過(guò)程可詳述如下：

(2)

步驟3：終端估計(jì)下行鏈路的等效信道矩陣G=HF并基于MMSE線性接收準(zhǔn)則做相應(yīng)的信號(hào)檢測(cè)。因本文著重考察非理想互易條件對(duì)系統(tǒng)的影響，故假設(shè)G的估計(jì)準(zhǔn)確無(wú)誤。

3 遍歷容量分析

3.1 系統(tǒng)的等效輸入輸出關(guān)系

由以上分析知，式(1)可重寫為

r=Gs+z=s1g1+s2g2+z

(3)

將式(3)看作系統(tǒng)的等效輸入輸出關(guān)系，它等價(jià)于一個(gè)2發(fā)N收的MIMO，可采用各種經(jīng)典的MIMO檢測(cè)算法進(jìn)行處理。目前，考慮到性能和復(fù)雜度的折衷，業(yè)界一般采用MMSE線性接收準(zhǔn)則，本文也遵從這一假設(shè)。對(duì)應(yīng)于s1和s2的MMSE濾波器向量為

(4)

s1和s2對(duì)應(yīng)的判決表達(dá)式為

(5)

3.2 后驗(yàn)信干噪比推導(dǎo)

分析系統(tǒng)容量的關(guān)鍵是推導(dǎo)出兩個(gè)數(shù)據(jù)流的后驗(yàn)SINR。由式(3)～(5)可知，s1和s2具有對(duì)稱性，以下將以s1為例進(jìn)行分析。對(duì)s1，其濾波后的后驗(yàn)SINR為[13]

(6)

根據(jù)矩陣求逆引理(Sherman-Morrison公式)[12]：

(7)

將式(6)進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得：

(8)

(9)

這里利用了

(10)

(11)

式(9)和式(11)中“≤”成立源于Jensen不等式。

由對(duì)稱性，s2對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)SINR及其均值的上界分別為

(12)

和

(13)

表1 部分M和N對(duì)應(yīng)的和值

下面簡(jiǎn)要分析非理想互易情形對(duì)平均后驗(yàn)SINR的影響。定義平均后驗(yàn)SINR損失為理想互易情形與非理想互易情形的后驗(yàn)SINR比值的平均值，即(以s1為例)：

(14)

(15)

由式(14)和式(15)可以看出：s1和s2對(duì)應(yīng)的平均后驗(yàn)SINR損失的下界都將隨著P的增大收斂于一常數(shù)，而與P無(wú)關(guān)，且當(dāng)P→∞時(shí)前者大于后者。

3.3 遍歷容量推導(dǎo)

當(dāng)s1和s2分別滿足復(fù)高斯分布時(shí)，其對(duì)應(yīng)的(單位帶寬上的)容量為

(16)

其對(duì)應(yīng)的遍歷容量為

(17)

式中，“≤”成立源于Jensen不等式。將式(11)和式(13)代入式(17)即可得到遍歷容量的上界。

4 數(shù)值和仿真結(jié)果

在數(shù)值計(jì)算和仿真中，設(shè)定M=4、N=2，所用信道模型及系統(tǒng)處理流程與第2節(jié)描述完全一致。

圖1給出了信道互易度因子α為1、0.8、0.6三種情形下兩個(gè)數(shù)據(jù)流的平均后驗(yàn)SINR與信噪比的關(guān)系。其中分析所得上界根據(jù)式(11)和式(13)計(jì)算而得，準(zhǔn)確值根據(jù)式(8)和式(12)由Monte Carlo仿真而得；α=1對(duì)應(yīng)于上下行信道的理想互易情形(下同)。從中可以發(fā)現(xiàn)：

(1)對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)流，理論分析求出的上界與對(duì)應(yīng)的仿真值非常接近，說(shuō)明所得上界十分緊湊，也表明了理論推導(dǎo)的正確性；特別地，當(dāng)α=1時(shí)，上界與準(zhǔn)確值重合，這與3.2節(jié)的分析一致；

(2)對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)流，α越小將導(dǎo)致其后驗(yàn)SINR越小，但不同α對(duì)應(yīng)的曲線只有相對(duì)平移，而斜率相同，這一點(diǎn)由式(11)和式(13)也可以看出；

(3)無(wú)論是分析得到的下界還是仿真得到的準(zhǔn)確值，相對(duì)第一個(gè)數(shù)據(jù)流，第二個(gè)數(shù)據(jù)流的平均后驗(yàn)SINR損失較小，這與3.2節(jié)的分析一致。

(a)第一個(gè)數(shù)據(jù)流

(b)第二個(gè)數(shù)據(jù)流

圖2給出了信道互易度因子α為1、0.8、0.6三種情形下兩個(gè)數(shù)據(jù)流的遍歷容量與信噪比的關(guān)系。其中分析所得上界根據(jù)式(11)、式(13)和式(17)計(jì)算而得，準(zhǔn)確值根據(jù)式(8)、式(12)和式(16)由Monte Carlo仿真而得。從中可以看出：

(1)對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)流，理論分析求出的上界與對(duì)應(yīng)的仿真值較為接近，說(shuō)明所得上界比較緊湊，同樣表明了理論推導(dǎo)的正確性；

(2)對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)流，不同α對(duì)應(yīng)的曲線在中高信噪比(P≥10 dB)區(qū)域只有相對(duì)平移，而斜率相同，這表明雖然α越小將導(dǎo)致其遍歷容量越小，但只有陣列增益損失而沒(méi)有復(fù)用增益損失。

(a)第一個(gè)數(shù)據(jù)流

(b)第二個(gè)數(shù)據(jù)流

5 結(jié) 論

本文分析了TDD系統(tǒng)中上下行鏈路信道的非理想互易性對(duì)雙流波束賦形的影響，推導(dǎo)了基于MMSE線性接收準(zhǔn)則的兩個(gè)數(shù)據(jù)流的平均后驗(yàn)SINR及其上界，并進(jìn)一步得到了遍歷容量的上界。數(shù)值和仿真結(jié)果表明：所得上界與準(zhǔn)確值較為接近，且與理想互易情形相比，非理想互易性只會(huì)降低系統(tǒng)的陣列增益，而對(duì)系統(tǒng)的復(fù)用增益沒(méi)有影響。

下一步將研究非理想互易性對(duì)系統(tǒng)斷線容量(Outage Capacity)和誤碼率的影響以及兩個(gè)數(shù)據(jù)流之間的最優(yōu)功率分配。

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