李仲飛,李克勉

其中ε∈(0,1)是給定的VaR風險控制參數(shù)。將VaR的表達式(2.15)代入上式,可得投資策略的VaR約束集為:

動態(tài)VaR約束下帶隨機波動的衍生證券最優(yōu)投資策略＊

李仲飛,李克勉

該文研究了連續(xù)時間經(jīng)濟下投資者受動態(tài)VaR約束時做出的債券、股票和衍生證券最優(yōu)投資組合策略。金融市場上同時存在股票價格的擴散風險和波動風險,衍生證券的價格不僅依賴于標的股票的價格,還依賴于標的股票的波動,因此借助風險控制的思想對這類風險較大的衍生證券的投資行為進行有效約束是很有必要的。文章通過將隨機控制問題轉(zhuǎn)化為確定控制問題得到了該最優(yōu)化問題的解析解,在理論上借助一些數(shù)值例子分析了動態(tài)VaR約束如何對衍生證券的投資策略產(chǎn)生影響以及加入這樣的風險約束與不進行風險約束相比投資策略發(fā)生的變化

隨機波動;衍生證券;VaR;風險約束;投資策略

一、引言

本文研究的問題是在連續(xù)時間情形下投資者考慮動態(tài)(Value-at-Risk,簡稱VaR)約束時,如何做出債券、股票和衍生證券的最優(yōu)投資組合決策,以期實現(xiàn)投資者在投資期限結(jié)束時財富的期望效用達到最大的目標。本文在莫頓(Merton,1971)經(jīng)典的連續(xù)時間投資組合模型基礎(chǔ)上加入以股票為標的的資產(chǎn)的衍生證券,并且假設(shè)股票的波動服從均值-回歸(Mean-Reverting)的隨機過程;同時,投資者還必須動態(tài)地受到VaR約束,使得投資者的財富損失程度隨時控制在一定的可容忍范圍內(nèi),這更能反映投資者進行投資風險管理的現(xiàn)實心態(tài)。以下是一些文獻的回顧。

布萊克和舒爾茨(Black and Scholes,1973)建立的經(jīng)典歐式期權(quán)定價模型是基于一系列假設(shè)條件才成立的,其中一條便是假定標的股票的波動率為常數(shù)。然而一些文獻,如魯賓斯坦(Rubinstein,1985)、亞克維特和魯賓斯坦(Jackwerth and Rubinstein,1996)等通過實證研究比較了歐式期權(quán)的Black-Scholes理論價格與其市場交易價格的差異,發(fā)現(xiàn)標的股票的波動率呈現(xiàn)某種“隨機”性質(zhì),其隱含波動率隨行權(quán)價格呈“微笑(Smile)”特征。于是將波動率設(shè)定為隨機形式進行研究的文獻層出不窮,如赫爾和懷特(Hull and White,1987)的對數(shù)正態(tài)過程,斯科特(Scott,1987)、斯特恩和斯特恩(Stein and Stein,1991)的奧恩斯坦-烏倫貝克(Ornstein-Uhlenbeck,簡稱OU)過程,以及赫斯頓(Heston,1993)、鮑爾和羅瑪(Ball和Roma,1994)的考克斯-英格索爾-羅斯(Cox-Ingersoll-Ross,簡稱CIR)過程。除對數(shù)正態(tài)過程外,OU及CIR均為均值-回歸過程。因此當標的股票的波動率呈現(xiàn)隨機性時,Black-Scholes定價公式便不再成立。

西爾卡和帕帕尼科拉烏(Sircar and Papanicolaou,1999)根據(jù)無套利均衡的定價原則,給出了當波動率服從馬爾科夫伊藤(It?)過程時歐式衍生證券的定價形式,該衍生證券的價格同時跟標的股票的價格和波動相關(guān),在到期日的支付(Payoff)根據(jù)衍生品種類的不同而不同。劉和潘(Liu and Pan,2003)同時考慮影響金融市場完備性的兩個特定因素:隨機波動性和價格跳躍性,并以此來研究衍生證券的投資策略問題。該文借鑒Heston(1993)的隨機波動率模型,又將跳躍風險加入股票價格的運動方程,進而使得衍生證券的價格過程被假定受股票價格、波動率和跳躍性三者的影響。該文在效用函數(shù)采用CRRA(Constant Relative Risk Aversion)型,目標為最大化終端財富期望效用的情形下,通過隨機控制方法求得最優(yōu)投資組合策略的解析表達式。何蘇庫(Hsuku,2007)在Liu和Pan(2003)的基礎(chǔ)上研究跨期消費和衍生證券投資問題,不過只考慮了隨機波動性這一個因素。該文采用達菲和愛潑斯坦(Duffie and Epstein,1992)提出的連續(xù)時間遞歸偏好(Continuous Time Recursive Preference)效用形式,給出跨期替代彈性為1時的消費及衍生證券投資最優(yōu)策略解析式以及不為1時的近似表達式。

VaR是近年來度量和控制金融風險最常用的工具之一。具體來說,VaR是指在一段時間內(nèi),在給定置信水平下,財富損失可能達到的最大數(shù)額。對于連續(xù)時間情形的投資組合決策問題,如何動態(tài)地將財富可能的最大損失控制在給定范圍內(nèi),以下文獻給出了一些理論研究。庫歐科、何和愛沙恩庫(Cuoco,He and Isaenko,2007)在經(jīng)典的Merton(1971)框架下加入VaR約束,假定一段很小的時間間隔內(nèi)市場參數(shù)及投資頭寸不發(fā)生變化,投資者在這段間隔內(nèi)財富的VaR數(shù)額被限定在一定范圍內(nèi)。由于投資期連續(xù)地由這些很小的時間間隔組成,因此投資者在投資期內(nèi)能反復度量投資組合的風險,財富的數(shù)額連續(xù)地受到風險約束,進而在這更加現(xiàn)實的動態(tài)一致性模型下實現(xiàn)最優(yōu)投資策略的選擇。皮爾烏(Pirvu,2007)采用與上述文獻相同的假設(shè),同時考慮消費和投資的最優(yōu)選擇。與之不同的是,前者運用隨機控制方法求解,后者的求解方法主要是利用It?積分的鞅性質(zhì)將該隨機控制問題轉(zhuǎn)化為確定控制問題。該文在最大化跨期消費及終端財富的總效用目標下給出自然對數(shù)效用形式下最優(yōu)策略的解析解和一般CRRA效用形式下的數(shù)值解。陳、李和李(Chen,Li and Li,2009)也采用同樣的VaR約束方法研究保險公司的投資和再保險策略,目標是最小化保險公司的破產(chǎn)概率,并得到最優(yōu)策略的解析解。

本文在前述文獻的基礎(chǔ)上所做的研究是,在衍生證券的投資過程中動態(tài)地加入風險控制,以便有效地隨時約束風險性較大的衍生品投資。Liu和Pan(2003)及Hsuku(2007)設(shè)定的衍生證券同時考慮了標的資產(chǎn)價格的擴散風險和波動風險,但它們對風險如此大的衍生品投資的分析卻沒有考慮到投資過程中投資者財富可能出現(xiàn)巨大損失的可能性。本文在此基礎(chǔ)上采用Cuoco,He和Isaneko(2007)的思想,在連續(xù)時間的投資過程中動態(tài)地加入VaR約束。假設(shè)在某個很小的時間區(qū)間內(nèi)市場參數(shù)及投資策略不發(fā)生變化,并用VaR度量這個間隔內(nèi)財富損失的風險。倘若每一個給定的時間區(qū)間內(nèi)都這樣度量財富損失的風險,那么財富將會連續(xù)地滿足風險約束的要求。借鑒Pirvu(2007)的求解方法,通過將隨機控制問題轉(zhuǎn)化為確定控制問題,本文給出該最優(yōu)化問題的解析解,即得到了在加入動態(tài)VaR約束后投資股票和衍生證券的最優(yōu)策略。從這個最優(yōu)策略的表達式可以看出,進行風險約束后投資者將會更加謹慎地進行投資決策:越嚴格地控制財富損失的風險,就會越小比例地投資風險資產(chǎn)(包括股票和衍生證券)。另外一個有趣的結(jié)論是,本文給出的最優(yōu)投資行為既可以選擇與未考慮風險控制的情形同向的操作,也可以選擇與之反向的操作,只是要求進行同向或反向的操作時兩個風險資產(chǎn)同時都要進行。

二、模型的建立與描述

(一)金融市場環(huán)境

本文考慮連續(xù)時間情形下的隨機經(jīng)濟,數(shù)學模型的隨機性建立在概率空間(Ω,F,P)上。假設(shè)金融市場上存在債券和股票這兩種基礎(chǔ)證券,以及一種以股票為標的資產(chǎn)的衍生證券。

債券是無風險資產(chǎn),價格過程如下:

其中利率r>0為常數(shù)。

股票是風險資產(chǎn),代表整個股權(quán)市場,價格服從下面的動態(tài)過程:

其中Zt是標準布朗運動,反映股價的擴散風險。這里假定股票的預(yù)期超額收益ηVt隨其波動Vt的變動而變動①嚴格意義上來說,t表 示股票收益的波動率,Vt表示股票收益的方差。,常數(shù)η反映這種變動的程度,即股票收益的風險溢價程度。波動則參照Heston(1993)的假設(shè),服從下面的均值-回歸過程:

其中κ>0表示均值-回歸的規(guī)模,υ>0表示波動收斂的長期均值,σ≥0表示波動的系數(shù);~Zt也是標準布朗運動,是市場上除了擴散風險外的另一風險源,它反映的是股票的波動風險。假設(shè)這兩種風險源的相關(guān)系數(shù)為常數(shù)ρ∈(-1,1),則d一般地,假設(shè)ρ<0。直觀上看,波動風險越大,波動得越頻繁越激烈,資產(chǎn)的價格就會越低?？蓪Zt分解為兩部分,如下所示:

衍生證券以上述股票為標的資產(chǎn),其價格形式采用Liu和Pan(2003)及Hsuku(2007)的設(shè)定。具體來說,衍生證券價格是標的股票的價格及其波動的函數(shù),運動方程如下:

其中常數(shù)ξ反映隨機波動的風險溢價程度②股票價格的波動風險表示為Z~t,嚴格來說,ξ反映的是風險源Zˉt的溢價程度。。這里gS和gV分別衡量股票的價格和波動發(fā)生變化時衍生證券價格的變化程度,具體形式如下:

非零的gS和gV反映衍生證券對擴散風險和波動風險的暴露(Exposure)。

對此衍生證券的價格過程需要說明以下三點:首先,這是根據(jù)無套利均衡定價原則給出的一般形式,具體的衍生品種類由其到期日具體的支付形式來確定。比如g(τ,Sτ,Vτ)=max(Sτ-K,0)表示該衍生品為歐式看漲期權(quán),g(τ,Sτ,Vτ)=max(K-Sτ,0)表示其為歐式看跌期權(quán),其中τ和K分別表示上述期權(quán)的到期日和行權(quán)價格。其次,該衍生證券的到期時間不一定要與投資者的投資期限一致,只要在投資期限內(nèi)存在這樣的衍生品就行。比如一個投資者做10年的證券投資決策,他選擇投資的期權(quán)也許在兩年內(nèi)就到期。但只要該期權(quán)到期后市場上仍存在具有相同價格過程(2.6)的與之相同或不同種類的衍生品,他就可以繼續(xù)投資該新的衍生品。因此他只需關(guān)注在投資的時刻如何選擇衍生品的投資,而不需考慮其到期后的情況。第三,只要ρ≠±1,該衍生品就能使市場完備,是非冗余的證券。任意由風險源Z和所驅(qū)動的風險資產(chǎn),其支付都可由股票和該衍生證券的支付的組合復制出來。因此,它能完備地反映出市場上存在的兩種基本風險:擴散風險和波動風險。

(二)交易策略及財富過程

本文討論投資者采取自融資方式進行投資操作行為,即他的財富變化源自于投資損益,沒有額外的資金注入或撤出;同時假設(shè)市場允許投資者賣空,即證券的頭寸可以為負;另外,頭寸的再調(diào)整不產(chǎn)生任何交易費用。

令Wt表示投資者在時刻t擁有的財富,他所做的決策是確定在時刻t投資于股票及衍生證券上的財富比例θt和φt。自然地,投資在債券上的財富數(shù)額即為(1-θt-φt)Wt。于是他的財富滿足下面的動態(tài)過程:

合理地假設(shè):

并已知投資者的初始財富W0>0,則隨機微分方程(2.7)存在惟一解:

(三)動態(tài)VaR約束

本文依據(jù)Cuoco,He和Isaenko(2007)的方法計算投資者財富損失的VaR數(shù)額?？紤]從某個時刻t≥0開始,固定一個很小的時間間隔δ>0。假設(shè)在時間區(qū)間[t,t+δ]內(nèi)市場參數(shù)以及交易策略均不發(fā)生變化,則投資者在時刻t+δ的財富為:

進而在[t,t+δ]內(nèi)財富的損失額為:

給定置信水平為1-α,α∈(0,1/2]。根據(jù)VaR的定義,投資者在[t,t+δ]內(nèi)財富損失的VaR數(shù)額滿足:

令Φ(·)表示標準正態(tài)累積分布函數(shù),Φ-1(·)為其反函數(shù),則VaR的表達式由命題2.1給出。

命題2.1 給定1-α的置信水平條件下,投資者在[t,t+δ]內(nèi)財富損失的VaR水平為:

證明 參見附錄1。

本文借鑒Pirvu(2007)的思想,考慮財富損失率的概念,即財富損失的VaR數(shù)額與財富數(shù)額的比例。于是在連續(xù)時間投資組合選擇問題中加入的風險約束即為財富損失率在每個交易時刻不超過事先給定的水平。具體來說,VaR約束表示為投資者在任一時刻t所做的投資決策(θt,φt)或必須滿足:

其中ε∈(0,1)是給定的VaR風險控制參數(shù)。將VaR的表達式(2.15)代入上式,可得投資策略的VaR約束集為:

(四)投資者追求的目標

假設(shè)投資者從初始時刻開始參與金融市場的投資活動,投資期為給定的T>0。他的行為是在時期[0,T]內(nèi)的每一時刻做出債券、股票以及衍生證券的投資決策,同時在每一時刻控制較小的財富損失率,目標是最終實現(xiàn)終端時刻財富期望效用的最大化。

本文采用自然對數(shù)型效用函數(shù)U(x)=Inx來衡量風險規(guī)避投資者的財富效用。由于本文主要考察的是衍生證券的最優(yōu)投資策略在加入動態(tài)風險約束后,相較不控制風險的情形將會發(fā)生何種變化,因而效用函數(shù)形式?jīng)]有考慮風險厭惡參數(shù)的作用和影響。于是投資者面臨的最優(yōu)投資策略問題如下:

這是一個受兩個狀態(tài)過程(2.5)和(2.7)約束的隨機控制問題。常用的求解方法是構(gòu)建Hamilton-Jacobi-Bellman(簡稱HJB)方程,猜測值函數(shù)的形式,運用隨機動態(tài)規(guī)劃知識得到控制變量和狀態(tài)變量的最優(yōu)路徑。在本文中,由于控制變量(即證券投資決策)還受到VaR約束集的影響,求解上述高階非線性偏微分方程比較困難,因此本文采用Pirvu(2007)中將隨機控制問題轉(zhuǎn)化為確定控制問題的手段求解最優(yōu)化問題(2.19)。第三節(jié)便利用這種方法求得該問題的最優(yōu)解析解。

三、最優(yōu)投資組合策略

考慮投資者的財富方程(2.10),對其兩端取自然對數(shù),得:

假設(shè)股票的隨機波動Vt滿足:

這是一個技術(shù)性假設(shè),但對于一般的金融市場而言,這個假設(shè)也是合理的。

證明 參見附錄2。

由引理3.1的結(jié)論可知,投資者終端時刻財富的期望效用為:

引理3.2 對任意給定的路徑ω∈Ω和時刻t∈[0,T],如果是函數(shù)的最大值點,即:

證明 參見附錄3。

根據(jù)引理3.2的結(jié)論并結(jié)合(3.4)可知,在動態(tài)風險約束下,若要最大化EU(WT),可以先同時固定路徑ω∈Ω和時刻t∈[0,T],選擇最優(yōu)的(π,ˉπ)∈Q(t)來最大化L(t,π,ˉπ)。于是原動態(tài)最優(yōu)化問題(2.19)可先轉(zhuǎn)化為如下靜態(tài)最優(yōu)化問題的求解:

引理3.3 對任意給定的路徑ω∈Ω和時刻t∈[0,T],最優(yōu)化問題(3.7)的解為:

證明 參見附錄4。

定理3.4 在動態(tài)VaR約束下,投資者為實現(xiàn)其終端財富期望效用最大化的目標而選擇的股票和衍生證券的最優(yōu)投資組合策略如下:令

證明 參見附錄5。

至此,本文已經(jīng)給出在動態(tài)VaR約束下股票和衍生證券的最優(yōu)投資策略。定理3.4表明,不加入風險控制而直接進行投資操作所得的最優(yōu)策略即為情形1°的結(jié)果(3.10);進行了動態(tài)VaR約束后最優(yōu)投資策略則要根據(jù)市場參數(shù)以及VaR約束帶來的外生參數(shù)所滿足的條件來確定,即為情形2°的結(jié)果(3.11)。下一節(jié)將研究市場參數(shù)(如隨機波動Vt等)和外生參數(shù)(如置信水平1-α等)對最優(yōu)投資組合策略選擇的影響,以及動態(tài)VaR約束對投資策略產(chǎn)生的影響和作用。

四、最優(yōu)策略的經(jīng)濟分析

(一)最優(yōu)投資組合策略的選擇

與Liu和Pan(2003)不考慮股票價格跳躍的情形及Hsuku(2007)最大的不同之處在于,本文引入動態(tài)VaR約束后最優(yōu)證券投資組合策略將直接受到來自由VaR約束帶來的外生參數(shù)1-α,δ和ε,即置信水平、時間間隔和風險控制參數(shù)的影響。由定理3.4可知,兩種不同情形下最優(yōu)策略的選擇是不同的。市場參數(shù)中的隨機波動Vt,股票收益和隨機波動的風險溢價程度η和ξ,無風險利率r,再加上前述三個外生參數(shù)一起,共同決定了最優(yōu)策略的選擇。

當r,α,δ和ε滿足Δ>0條件時,則需依據(jù)隨機波動Vt的取值來確定的表達式。若最優(yōu)策略仍由(3.10)給出,具體的經(jīng)濟分析如前所述,此處不再贅述。若則最優(yōu)策略由(3.11)給出,這是定理3.4中的情形2°。這時,本文發(fā)現(xiàn)以下四個有趣的結(jié)論。第一,(3.11)給出的最優(yōu)策略有兩個,投資者不論選擇哪一個,都能實現(xiàn)終端財富期望效用最大化的目標。第二,情形2°下的股票及衍生證券投資策略都與情形1°呈正比例關(guān)系,比例系數(shù)要么同為1+f1(Vt),要么同為1-f2(Vt)。第三,由f1(Vt)和f2(Vt)的表達式(3.9)可以看出,1+f1(Vt)>0,1-f2(Vt)<0。這說明情形2°下的投資操作與情形1°相比,既可讓兩種風險資產(chǎn)同時與之同向操作,亦可讓兩者同時與之反向操作。例如0表明情形1°下投資者在時刻t持有股票和賣空衍生證券,倘若參數(shù)的值滿足情形2°,那么投資者在時刻t可以選擇持有財富比例的股票和賣空|財富比例的衍生證券,也可以選擇賣空財富比例的股票和持有財富比例的衍生證券。第四,根據(jù)情形2°下參數(shù)所滿足的條件可推得這個結(jié)論由以下命題給出。

命題4.1 當定理3.4中的情形2°出現(xiàn),即Δ>0且N1

證明 參見附錄6。

由此可知,情形2°相較情形1°而言,兩種風險資產(chǎn)的投資組合策略在絕對值意義上來說是同比例減少了。仍以前述情形1°下<0為例,在情形2°時,若兩者同時采取與情形1°同向的操作,則投資者在時刻t持有的股票份額將比情形1°時同比例的少,而賣空的衍生證券份額也將同比例的少;若兩者同時采取與情形1°反向的操作,則投資者在時刻t選擇賣空股票和持有衍生證券,但賣空的股票份額卻比情形1°時持有的股票份額同比例的少,持有的衍生證券份額也比情形1°時賣空的衍生證券份額同比例的少。

(二)財富損失率的約束對投資策略的影響

由對投資者財富的動態(tài)VaR約束所帶來的三個外生參數(shù)中,置信水平1-α和時間間隔δ可根據(jù)現(xiàn)實的金融市場環(huán)境來確定。例如,1995年4月巴塞爾銀行監(jiān)督管理委員會在對銀行資本充足率進行風險管理時,要求各銀行計算的VaR數(shù)額需基于10個交易日(或兩個星期)和99%的置信水平①參見喬瑞(Jorion,2001)第3章第3節(jié)的描述。。因此本文著重研究風險控制參數(shù)ε(即財富損失率的約束)如何影響投資者的投資行為。一般來說,ε越小表明投資者對財富的損失情況控制得越嚴格,即是對投資風險的厭惡程度越高。

參照Liu和Pan(2003)對市場參數(shù)的設(shè)定,本文取無風險的年利率r=5%,股價的風險溢價程度η=4,波動的風險溢價程度ξ=-6,股票在時刻t的瞬時波動率根據(jù)前述巴塞爾委員會在要求各銀行計算VaR時對各參數(shù)的設(shè)定,本文取置信水平1-α=99%(即Φ-1(α)=-2.326),時間間隔δ=0.04②假設(shè)全年共有250個交易日,則10個交易日即為0.04年。。由于本文著重研究在加入VaR約束后的投資策略所發(fā)生的變化,且Liu和Pan(2003)及Hsuku(2007)已經(jīng)研究了各市場參數(shù)對未加風險約束情形的股票及衍生證券投資策略的影響,因此本文的數(shù)值例子僅分析情形2°中正比例系數(shù)隨變化而產(chǎn)生的變化。由前面H(r,η,ξ,Vt;α,δ)的表達式可算出H≈38%,這表明若財富損失率控制在38%以內(nèi),投資者將采取(3.11)給出的投資操作行為。此時,結(jié)合f1(Vt)和f2(Vt)的表達式(3.9)可描繪出正比例系數(shù)與ε的關(guān)系,如圖1所示。

圖1 正比例系數(shù)與風險控制參數(shù)ε的關(guān)系

上圖顯示情形2°下兩種風險資產(chǎn)同時采取與情形1°同向操作時正比例系數(shù)隨ε嚴格遞增,下圖顯示反向操作時正比例系數(shù)隨ε嚴格遞減。

五、結(jié)論

本文研究了連續(xù)時間經(jīng)濟下投資者受動態(tài)VaR約束時在債券、股票和衍生證券市場上做出的最優(yōu)投資組合決策。市場上同時存在股票價格的擴散風險和波動風險,衍生證券為了同時對沖這兩種風險并使市場完備而被設(shè)計出來。然而投資這樣的衍生品本身就具有很大的風險,因此隨時約束此類衍生品投資是很有必要的。本文的結(jié)論表明,考慮了財富損失的風險約束后,投資者將會更加謹慎地進行財富的投資分配。對股票和衍生證券這樣的風險資產(chǎn),投資者將會做出與沒有考慮任何風險約束的情形相同或者規(guī)模更小的投資操作行為;自然地,投資者將更加垂青債券這樣的無風險資產(chǎn)。

不過,仍有一些問題可作思考。第一,本文考慮了市場上的兩種風險,但倘若存在其他的風險源(比如股票價格的跳躍風險),有更多對沖這類風險的衍生證券出現(xiàn),那么投資者應(yīng)如何約束或控制此種風險更大的衍生品投資呢?第二,本文采用VaR方法來度量投資的風險,但阿次恩爾等(Artzner et al.,1999)指出,VaR不滿足次可加性因而并非一致的風險測度,而且它不能度量財富損失的尾部風險,以至于有可能在極小的概率出現(xiàn)時發(fā)生巨大的財富損失。那么使用其他的風險測度是否會有更好的效果呢?比如Conditional Value-at-Risk(簡稱CVaR)或稱為Conditional Tail Expectation(簡稱CTE)風險測度。CVaR或CTE被定義為一段時間內(nèi)給定置信水平條件下財富損失超過其VaR數(shù)額的條件期望值,它克服了VaR的上述兩大缺陷。用CVaR代替VaR進行動態(tài)的風險約束能否使投資組合策略更好地服務(wù)于投資者追求的目標?第三,本文采用的效用函數(shù)是最簡單的自然對數(shù)型,它是CRRA型當相對風險厭惡參數(shù)等于1時的特例。倘若使用更一般的CRRA型來衡量投資者財富的效用是否會對最優(yōu)投資組合策略帶來某些影響或變化?以上問題將作為作者進一步研究的方向。

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附錄

1. 命題2.1的證明

因為ΔWt,δ是連續(xù)型隨機變量,所以(2.14)等價于

所以(2.15)成立。顯然VaR數(shù)額不能為負。

2. 引理3.1的證明

根據(jù)柯西-斯瓦茨(Cauthy-Schwatz)不等式,可得

3. 引理3.2的證明

對給定的路徑ω∈Ω,由于(3.5)對任意t∈[0,T]成立,根據(jù)定積分的性質(zhì)可得

現(xiàn)在讓ω在樣本空間Ω上隨機取所有可能的值,于是上述不等式兩端都成為隨機變量,進而由數(shù)學期望的性質(zhì)可知(3.6)成立。

4. 引理3.3的證明

固定路徑ω∈Ω和時刻t∈[0,T]后,(3.7)為確定性的靜態(tài)最優(yōu)化問題。

同時有互補松弛條件:

若λt=0,則由(A.3)可解得(π＊,ˉπ＊)=(η,ξ)。但它不滿足y(t,π＊,ˉπ＊)≥0的約束,所以只能是λt>0。此時有

聯(lián)立(A.3)和(A.5),可求得最優(yōu)解如下

其中f1(Vt)和f2(Vt)的表達式由(3.9)給出。

5. 定理3.4的證明

由(2.8)可得

則容易驗證當N1-1也是容易驗證的。

再看f2(Vt)。容易驗證當N11和M3<2也是容易驗證的。

【責任編輯:許玉蘭;責任校對:許玉蘭,楊海文】

F830.9

A

1000-9639(2010)03-0184-09

2010-01-14

教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目(批準號:07JA630031);國家杰出青年科學基金項目(批準號:70825002)

李仲飛(1963-),男,內(nèi)蒙古鄂爾多斯人,管理學博士,國家杰出青年科學基金獲得者,中山大學嶺南學院教授、博士生導師(廣州510275);李克勉(1981-),男,重慶人,中山大學嶺南學院博士研究生(廣州510275)。