土體的并聯(lián)理想彈塑性彈簧損傷模型

肖紅宇,黃 英

(1.湖南省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究總院,湖南長(zhǎng)沙 410007;2.昆明理工大學(xué)電力工程學(xué)院,云南昆明 650051)

土體的并聯(lián)理想彈塑性彈簧損傷模型

肖紅宇1,黃 英2

(1.湖南省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究總院,湖南長(zhǎng)沙 410007;2.昆明理工大學(xué)電力工程學(xué)院,云南昆明 650051)

通過(guò)土顆粒之間的連接其在土體受力過(guò)程中的變形特性,根據(jù)彈塑性理論建立土體的并聯(lián)彈簧模型。結(jié)合土體在受力過(guò)程中處于塑性流動(dòng)的連接數(shù)目和土體中連接總數(shù)目的比值來(lái)建立土體的損傷變量,進(jìn)而推導(dǎo)出土體受力時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。實(shí)例表明,所推導(dǎo)的土體本構(gòu)關(guān)系是合理的。

本構(gòu)關(guān)系;損傷變量;加載;卸載

0 引言

材料的本構(gòu)關(guān)系是反映材料力學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式,巖土材料是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng),因此其力學(xué)性狀相當(dāng)復(fù)雜,不僅是因?yàn)橥馏w的組成相當(dāng)復(fù)雜,而且影響因素很多,如溫度、濕度、時(shí)間等[1]都對(duì)其有很大的影響。從1773年庫(kù)侖(coulomb)提出土質(zhì)破壞條件(后來(lái)推廣為莫爾—庫(kù)侖準(zhǔn)則)以來(lái),各國(guó)學(xué)者紛紛提出許多巖土的材料的破壞準(zhǔn)則[2],每種破壞準(zhǔn)則都有一定的適用范圍,但沒(méi)有一種可以通用的破壞準(zhǔn)則。在現(xiàn)代的巖土的本構(gòu)關(guān)系中,提出屈服面、塑性勢(shì)、內(nèi)變量等概念,都是以晶體滑移為依據(jù)的,并不一定符合土體的微觀變形機(jī)理,現(xiàn)在的巖土力學(xué)的研究應(yīng)該從微觀和宏觀相結(jié)合的道路上進(jìn)行,在搞清巖土材料的微觀變形機(jī)理的基礎(chǔ)上進(jìn)行[3]。

損傷力學(xué)力學(xué)是從1958年前蘇聯(lián)學(xué)者Kachanov在金屬儒變的研究中提出的,主要說(shuō)明材料在外部作用下,材料將形成大量的微觀裂紋,這些微觀缺陷通過(guò)形核、擴(kuò)展、匯合造成材料劣化直到破壞[4]。經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展,損傷力學(xué)已經(jīng)發(fā)展到適用階段。中國(guó)學(xué)者沈珠江在1988年把損傷力學(xué)引入土力學(xué)[5],隨后何開(kāi)勝[6],趙錫宏[7]等在這方面作了研究。本文從土顆粒微觀結(jié)構(gòu)入手,通過(guò)談塑性模型建立了土體的并聯(lián)彈簧模型,從而建立土體受力時(shí)的損傷變量來(lái)探討土體的本構(gòu)關(guān)系,在土體力學(xué)性質(zhì)研究中具有一定的理論價(jià)值。

1 模型的建立

1.1 模型假設(shè)

土體是由土顆粒通過(guò)顆粒之間的連接組成的多孔材料,土體在受力過(guò)程中,土顆粒之間的連接要發(fā)生變形,一方面土顆粒之間的連接發(fā)生彈性變形,當(dāng)應(yīng)力撤消以后,土顆粒又回到其原來(lái)的位置,另一方面,土顆粒之間的連接發(fā)生不可以恢復(fù)的塑性變形,土顆粒在土體中的相對(duì)位置發(fā)生改變,這樣土體產(chǎn)生了塑性變形。由于土體中顆粒的變形一般較小,相對(duì)土體的變形而言,其變形可以忽略不計(jì),因此土顆粒之間的連接的力學(xué)性質(zhì)直接決定了土體的力學(xué)性質(zhì)。為研究的方便,對(duì)土體顆粒之間的連接做如下假設(shè)。

人們經(jīng)常有多種元件來(lái)描述材料的特性,常用的有彈簧、滑片、粘壺。沈珠江老先生在研究土體損傷力學(xué)的時(shí)候提出了膠結(jié)桿元件用來(lái)描述土體的脆性損傷特性[8],本文將通過(guò)理想彈塑性彈簧元件來(lái)建立土體的彈塑性模型,為研究方便,對(duì)此模型做如下假設(shè):

(1)土體可以看作由N0個(gè)彈性系數(shù)相同的彈簧并聯(lián)組成的系統(tǒng),如圖1,N0是一個(gè)很大的數(shù)目,每一個(gè)彈簧的彈性系數(shù)為e,且有土體在初始狀態(tài)時(shí)彈性模量為E0=N0e;

(2)每一個(gè)彈簧是理想彈塑性體,當(dāng)某一彈簧應(yīng)變超過(guò)其極限應(yīng)變值時(shí),彈簧發(fā)生塑性流動(dòng),且其拉伸極限應(yīng)變和壓縮極限應(yīng)變絕對(duì)值相等,如圖2;

(3)每個(gè)彈簧的極限應(yīng)變值不相等,某一應(yīng)變?chǔ)畔掳l(fā)生塑性流動(dòng)彈簧的數(shù)目服從平均分布,其分布密度函數(shù)為f(ε)=1/εmax,其中εmax為所有彈簧中最大的極限應(yīng)變值,也就是土體的極限應(yīng)變值。

圖1 土體并聯(lián)彈簧模型Fig.1 The parallel springsmodel of soilmass

圖2 理想彈塑性模型Fig.2 The ideal elastic-plastic model

1.2 土體的本構(gòu)關(guān)系

1.2.1 損傷理論

損傷力學(xué)認(rèn)為,材料的破壞過(guò)程是材料中微裂慢慢演化過(guò)程,同時(shí)也是一個(gè)從完全未破壞到完全破壞的過(guò)程,描述這一變化過(guò)程的關(guān)系的參量用損傷變量D來(lái)表示,當(dāng)材料處于完全未破壞狀態(tài)時(shí),D=0,當(dāng)材料處于完全破壞狀態(tài)時(shí),D=1。由損傷變量定義可以知道,材料在某一狀態(tài)下力學(xué)特征可以表示為[9]:

式中:S0表示在完全未損傷狀態(tài)下材料的某一力學(xué)特征參數(shù)值;Sd表示完全損傷狀態(tài)下某一力學(xué)特征參數(shù)值。損傷變量的確定有多種方法,由以上的彈塑性假設(shè)可知,土體在某一應(yīng)變狀態(tài)下時(shí),部分彈簧發(fā)生了塑性流動(dòng),當(dāng)外荷載增加時(shí),這部分彈簧不再承受所增加的應(yīng)力。這樣,我們可以定義損傷變量為處于塑性流動(dòng)狀態(tài)彈簧的數(shù)目和土體中總彈簧的數(shù)目的比值,即有:

N(ε)為土體處于塑性流動(dòng)的連接的數(shù)量,這樣只要可以確定某一應(yīng)力狀態(tài)下處于塑性流動(dòng)狀態(tài)的彈簧數(shù)目就可以確定土體的損傷變量值。

1.2.2 損傷狀態(tài)下土體的本構(gòu)關(guān)系

沈珠江老先生最先把損傷力學(xué)引入土力學(xué),認(rèn)為土體的破壞也是一個(gè)從完全未破壞的到完全破壞的過(guò)程。故和金屬材料一樣,土體的力學(xué)特征參量值也是隨損傷變量演化而變化的,同樣具有如式①的關(guān)系。在研究土體彈性模量時(shí),由模型假設(shè)2可以知道,土體處于完全破壞狀態(tài)下時(shí)不再承受增加的應(yīng)力,即完全損傷狀態(tài)下土體的彈性模量Ed為0,故在某一損傷狀態(tài)下土體的彈性模量具有如下關(guān)系:

式中:E(ε)為某一應(yīng)力狀態(tài)下土體的彈性模量;E0為完全未破壞的狀態(tài)下土體的彈性模量。

這樣土體的應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系可以表示為:

由于土體受力過(guò)程是一個(gè)損傷演變的過(guò)程,我們認(rèn)為土體在固結(jié)完成未加載的時(shí)候的彈性模量為土體完全未破壞狀態(tài)下的彈性模量,即認(rèn)為土體加載時(shí)的初始彈性模量為土體完全未損傷狀態(tài)下的彈性模量。

圖3 土體加卸載示意圖Fig.3 The schematic diagram of soilmass on load and unload

1.2.3 土體加載時(shí)的本構(gòu)關(guān)系

土體在加載過(guò)程中,如圖3中OA段,當(dāng)加載到某一應(yīng)變狀態(tài)ε(ε<εmax)下,極限應(yīng)變小于ε的彈簧都處于塑性流動(dòng)的狀態(tài),由模型假設(shè)條件3,可以知道,此時(shí)處于塑性流動(dòng)的彈簧數(shù)量為εf(ε)N0,這樣由式②可以建立土體加載的損傷變量為:

其中:D1為土體加載過(guò)程中的損傷變量;εmax為土體的極限應(yīng)變值。由此可以看出,土體在加載的過(guò)程中某一狀態(tài)下,其損傷變量實(shí)際可以用該狀態(tài)下的應(yīng)變值和土體的極限應(yīng)變值的比值來(lái)決定,這樣只要已知土體的某一狀態(tài)應(yīng)變值和土體的極限應(yīng)變值就可以確定土體的損傷變量。

將式⑤代入式④可以得到極限應(yīng)變范圍內(nèi)土體加載時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系式為:

對(duì)上式積分整理可得:

其中C1為積分常數(shù),初始加載條件:σ=0,ε=0,把其代入上式可以得到積分常數(shù)C1=εmax2。

由于ε<εmax,則對(duì)式⑦兩邊開(kāi)方,整理可得極限應(yīng)變范圍內(nèi)土體加載時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式為:

當(dāng)土體應(yīng)變達(dá)到土體的極限應(yīng)變時(shí),則所有彈簧都發(fā)生塑性流動(dòng),即此時(shí)土體的應(yīng)變趨向于無(wú)窮,而土體的應(yīng)力值保持不變,設(shè)此時(shí)土體所受的應(yīng)力值為σmax,由式⑧可以解得綜合式⑧,可以得到加載時(shí)土體的本構(gòu)關(guān)系:

有式⑨可以知,只要確定土體的最大應(yīng)變值和土體的初始彈性模量,就可以確定土體的加載關(guān)系。

1.2.4 土體卸載時(shí)的本構(gòu)關(guān)系

設(shè)土體在某一應(yīng)變狀態(tài)ε1下卸載(如圖3中曲線BFC,B點(diǎn)為卸載點(diǎn)),當(dāng)處于某一應(yīng)力狀態(tài)ε時(shí),其卸載應(yīng)變?yōu)棣?ε=ε-ε1,此時(shí)部分彈簧由于卸載應(yīng)變超過(guò)了其負(fù)應(yīng)變方向的應(yīng)變極限而發(fā)生反方向塑性流動(dòng)。由假設(shè)3可知,此時(shí)處于塑性流動(dòng)的彈簧數(shù)目由于在卸載過(guò)程中,0<ε<ε1,所以有|Δ ε|=ε1-ε,這樣由式②可以確定土體卸載時(shí)的損傷變量為:

由此可以看出,卸載時(shí)的損傷變量實(shí)際可以由卸載應(yīng)變值的1/2和最大應(yīng)變值之間的比值來(lái)確定,這樣只要確定了卸載時(shí)的初始應(yīng)變值和土體的極限應(yīng)變值,則可以確定卸載時(shí)某一應(yīng)變狀態(tài)下的損傷變量值。

由模型假設(shè)2可知土體在卸載時(shí)初始彈性模量和土體加載時(shí)初試彈性模量相等,故卸載時(shí)的初始彈性模量也為Ei,把式⑨代入式④就可以得到土體加載時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系為:

對(duì)上式積分可以得到:

C2為積分常數(shù),設(shè)卸載點(diǎn)ε1所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值為σ1,則卸載的初始條件為σ=σ1,ε=ε1,將其代入式 ?可以得到積分常數(shù)C2:

同時(shí)由式⑦可以得到在卸載時(shí)ε1對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值為:

把σ1和C1代入式 ?就可以得到:

對(duì)式 ?變形,把C2代入可以得到土體卸載時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系:

由上式可知當(dāng)應(yīng)力值為0時(shí),此關(guān)系曲線在σ-ε坐標(biāo)系中與ε軸的交點(diǎn)值為,即土體的塑性變形值:

土體在卸載完成時(shí),土體的應(yīng)變并不等于0,即土體發(fā)生了不可恢復(fù)的變形ε0。由土體的彈塑性理論可知,土體的并不是理想的彈性體,由以上的計(jì)算結(jié)論可知,在卸載時(shí),可以認(rèn)為ε0為土體加載過(guò)程中產(chǎn)生的塑性變形。

1.2.5 再加載本構(gòu)關(guān)系

土體卸載后對(duì)其重新加載時(shí),如圖3中CDB段,在沒(méi)有超過(guò)卸載時(shí)最大應(yīng)變時(shí),即ε<ε1時(shí),在卸載時(shí)沒(méi)有發(fā)生塑性流動(dòng)的彈簧在重新加載時(shí)同樣處在彈性范圍之內(nèi),不會(huì)發(fā)生塑性流動(dòng);而卸載時(shí)在負(fù)應(yīng)變方向發(fā)生塑性流動(dòng)的彈簧在再加載的過(guò)程中同樣發(fā)生正應(yīng)變方向塑性流動(dòng),同樣由假設(shè)3可知,土體中在應(yīng)變?chǔ)艩顟B(tài)下,發(fā)生塑性流動(dòng)的彈簧數(shù)目為這樣由式②可以得到土體在再加載時(shí)的損傷變量:

其中D3為再加載時(shí)土體的損傷變量。此時(shí)的損傷變量實(shí)際上是土體在再加載時(shí)應(yīng)變值的1/2和土體的極限應(yīng)變值之間的比值,這樣只要確定了再加載時(shí)初始狀態(tài)時(shí)的應(yīng)變值和土體的極限應(yīng)變值,就可以確定某一應(yīng)變狀態(tài)下土體的損傷變量。

同理,由假設(shè)3可知,在再加載時(shí)土體的初始彈性模量也和土體加載時(shí)的彈性模量相等,同樣也為E0,這樣通過(guò)式④可以得到土體再加載時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系:

對(duì)上式積分可得:

C3為積分常數(shù),由式 ?和再加載時(shí)的初始邊界條件σ=0,ε=ε0,可以得到:C3=4εmax2。

對(duì)式 ?變形可以得到再加載時(shí)應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系為:

當(dāng)應(yīng)變值超過(guò)卸載時(shí)的最大應(yīng)變時(shí),應(yīng)力應(yīng)變將具有和加載同樣的關(guān)系,結(jié)合式 ?、⑨,這樣可以得到土體的再加載時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為:

2 實(shí)例驗(yàn)證

本文引用文獻(xiàn)[1]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證可以得到,土體的初始彈性模量可以通過(guò)某一實(shí)測(cè)值代如式⑦得到,由實(shí)驗(yàn)資料數(shù)據(jù)代入式⑦,可以得到本土體的初始彈性模量為23.7 MPa;土體的最大應(yīng)變?nèi)⊥馏w實(shí)測(cè)曲線接近塑性流動(dòng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)值,由實(shí)驗(yàn)資料可以取土破壞是最大應(yīng)變?yōu)?.471%,本文采用的卸載應(yīng)變?yōu)?.5%,這樣可以得到理論曲線和實(shí)驗(yàn)曲線關(guān)系如圖4。

圖4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖Fig.4 The graph of stress-strain relation

由圖可以看出,預(yù)測(cè)曲線和實(shí)驗(yàn)曲線相差很小,基本上可以反映土體的本構(gòu)關(guān)系。同時(shí)土體卸載和回彈曲線組成回滯環(huán),這和巖土的實(shí)驗(yàn)加卸載特性是一致的,同時(shí)土體在回彈和重新加載時(shí)彈性模量和初始彈性模量接近。

3 結(jié)論

(1)土體在加卸載表現(xiàn)彈塑性性質(zhì)可以看作有由許多理想彈塑性彈簧共同作用的結(jié)果,通過(guò)理想彈塑性彈簧建立土體彈塑性損傷模型基本上可以反映土體加卸載時(shí)的本構(gòu)關(guān)系;

(2)由本文土體模型反映土體的回彈和再加載時(shí)組成一個(gè)閉和環(huán),可以反映土體在加卸載時(shí)產(chǎn)生回滯環(huán)的特性;

(3)在加載過(guò)程中,土體的彈性模量隨著土體的應(yīng)變的增加而減小,當(dāng)達(dá)到一定的應(yīng)變時(shí),土體的彈性模量將趨向于0;

(4)土體中連接并不一定服從平均分布,以后的研究可以從找出土體最適應(yīng)的分布形式,從而建立更加合適土體變形特性的本構(gòu)關(guān)系。

[1] 李廣信.高等土力學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

[2] 鄭穎人,沈珠江,龔曉南.巖土塑性力學(xué)原理[M].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社,2002.

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[9] 沈珠江.結(jié)構(gòu)性粘土的彈塑性損傷模型[J].巖土工程學(xué)報(bào),1993,15(3):21-28.

(責(zé)任編輯:胡立智)

Parallel Ideal Elastic-plastic Spring Damage Model of SoilMass

XIAO Hongyu1,HUANG Ying2
(1.Hunan Province Hydraulic and PowerDesign Institute,Changsha,Hunan410007;2.Kunm ing University of Science and Technology,School of Electric Power Engineering,Kunm ing,Yunnan650051)

Based on the defor mation property in the process of soil mass in stress because soils was closed with each other,and the elastic-plastic theory,this paper established the parallel spring model of soil mass.And also built up the damage variable of soil based on the ratio be tween the connection number in flexible flow and the total connection number when soilmasswas in stress,then deduced the stress-strain relation of the soilmass in stress.The instance indicated that the stress-strain relation of soilmass deduced in the paperwas appropriate.

constitutive relation;damage variable;load;unload

TU43

A

1671-1211(2010)05-0566-05

2010-07-15;改回日期:2010-09-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,項(xiàng)目編號(hào):50868009。

肖紅宇(1979-),男,工程師,勘察技術(shù)與工程專業(yè),從事巖土工程勘察、巖土工程設(shè)計(jì)等方面的工作。E-mail:xhongyy@126.com