錢(qián)華峰 王其申

（安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246011）

LRC電路系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量

錢(qián)華峰 王其申

（安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246011）

Lagrange力學(xué)在類(lèi)力學(xué)系統(tǒng)中有著重要的應(yīng)用，利用Lagrange方程，可用來(lái)處理一些類(lèi)力學(xué)系統(tǒng)的問(wèn)題。本文運(yùn)用Lagrange方程處理LRC電路系統(tǒng)，通過(guò)引入群的無(wú)限小變換，可以獲得該類(lèi)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性和守恒量。

類(lèi)力學(xué)系統(tǒng)；LRC電路；對(duì)稱(chēng)性；守恒量

Lagrange力學(xué)是分析力學(xué)的重要組成部分，但在很多非力學(xué)和非物理領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，Lagrange方程的優(yōu)點(diǎn)之一，可用來(lái)處理一些類(lèi)力學(xué)系統(tǒng)的問(wèn)題。本文運(yùn)用Lagrange方程來(lái)處理由電感L，電阻R，電容C和電動(dòng)勢(shì)E所組成的電路系統(tǒng)的問(wèn)題。在LRC電路系統(tǒng)中，通過(guò)引入群的無(wú)限小變換，可以獲得該類(lèi)類(lèi)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性和守恒量。

1 預(yù)備知識(shí)

我們首先分析最簡(jiǎn)單的LRC串聯(lián)電路，如圖1所示

圖1

這是一個(gè)最基本的振蕩電路，如果電源是電動(dòng)勢(shì)E=E0ejωt的穩(wěn)態(tài)振蕩，則由電路中各元件的物理性質(zhì)和歐姆定律，電路中的電流所滿(mǎn)足的方程是

這一方程與圖2所示的力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程

有著完全相同的形式。

圖2

比較以上兩式，可以看到存在以下類(lèi)比關(guān)系：

機(jī)械振動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)位移（x） 質(zhì)量（m） 彈簧常數(shù)（K） 阻尼系數(shù)（γ） 強(qiáng)迫力（F）電磁振蕩 電容帶電量（q） 自感系數(shù)（L） 電容量的倒數(shù)（C-1） 電阻（R） 電動(dòng)勢(shì)（E）

根據(jù)這一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步可以指出兩個(gè)系統(tǒng)之間存在如下的能量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

動(dòng)能 勢(shì)能 耗散能 補(bǔ)充能源機(jī)械振動(dòng) 1 2mx˙2 1 2kx2 1 2 γx˙ 2 F電磁振蕩 1 2Lq˙2 1 2cq2 1 2Lq˙2 E

此表說(shuō)明：LRC電路中磁場(chǎng)能量相應(yīng)于動(dòng)能，電場(chǎng)能量相應(yīng)于勢(shì)能，電阻耗損的能量相應(yīng)于阻尼力所耗損的能量。

2 LRC電路系統(tǒng)的Lagrange方程

假設(shè)LRC電路系統(tǒng)由m個(gè)回路組成，每個(gè)回路由導(dǎo)線和電容，電感組成。用ik（k=1，2，…m）表示第k個(gè)回路中的電流，qk表示電容器中的電荷，它與電流之間的關(guān)系為q˙k=ik，Rk和Ck，Lk分別表示為第k個(gè)回路中的電阻和電容，電感。系統(tǒng)受理想，完整的約束，取qk為廣義坐標(biāo)，LRC電路系統(tǒng)如圖3所示：

圖3

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為：

系統(tǒng)的能量耗散函數(shù)為：

則系統(tǒng)的Lagrange方程為：

T，V分別為系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能

假設(shè)方程（4）非奇異，由（4）可解得：

3 LRC電路系統(tǒng)的Noether對(duì)稱(chēng)性與守恒量

引進(jìn)群的無(wú)限小變換：

其中ε為無(wú)限小參數(shù)，ξ0，ξk為無(wú)限小變換的生成元或生成函數(shù)。取無(wú)限小生成元向量

式中右式為第二項(xiàng)對(duì)重復(fù)指標(biāo)從1到m求和（下同）。其一次擴(kuò)展為

以及二次擴(kuò)展為

若LRC電路系統(tǒng)在變換（5）下，使Noether等式成立

其中 GN=GN（t，q，q˙）稱(chēng)為規(guī)范函數(shù)，則系統(tǒng)具有 Noether對(duì)稱(chēng)性，并存在 Noether守恒量

證明：

將（8）式中的 代入得：

將（4）代入上式得：

4 LRC電路系統(tǒng)的Lie對(duì)稱(chēng)性與守恒量

方程（2）在無(wú)限小變換（5）下，Lie對(duì)稱(chēng)性確定方程為：

利用（6），（7），（8）式得到

此方程為關(guān)于無(wú)限小生成元ξ0，ξk相對(duì)于LRC電路系統(tǒng)的確定方程。

對(duì)于滿(mǎn)足方程（9）的 ξ0， ξk如果存在滿(mǎn)足

的函數(shù) GN=GN（t，q，q˙），則存在對(duì)應(yīng)于 Lie 對(duì)稱(chēng)性的守恒量

證明見(jiàn)（3）中的證明。

5 LRC電路系統(tǒng)的Mei對(duì)稱(chēng)性與守恒量

假設(shè)在無(wú)限小變換（5）下，取無(wú)限小生成元向量

X（1）是無(wú)限小生成元向量X（0）的一次擴(kuò)展，有

對(duì)LRC電路系統(tǒng)，生成元滿(mǎn)足如下方程

則相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性為L(zhǎng)RC電路系統(tǒng)的Mei對(duì)稱(chēng)性。

如果無(wú)限小變換（5）是系統(tǒng)的 Mei對(duì)稱(chēng)性變換，且存在規(guī)范函數(shù) GN=GN（t，q，q˙），滿(mǎn)足方程：

6 總結(jié)

本文中研究結(jié)果表明：群的無(wú)限小變換，在LRC電路系統(tǒng)同樣具有Noether對(duì)稱(chēng)性，Lie對(duì)稱(chēng)性，Mei對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)其生成元ξ0，ξk滿(mǎn)足一定的確定方程時(shí)，便可獲得相對(duì)應(yīng)的守恒量，從而可以開(kāi)辟應(yīng)用Lagrange力學(xué)來(lái)研究這些領(lǐng)域的新途徑。

[1]趙躍宇，梅風(fēng)翔.力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量[M].北京：科學(xué)出版社，1999.

[2]傅景禮，陳向煒，羅紹凱.Lagrange-Maxwell系統(tǒng)的 Lie對(duì)稱(chēng)性與守恒量[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2000，21（2）：157～160.

[3]張毅，葛偉寬.相對(duì)論性力學(xué)系統(tǒng)的 Mei對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致的新守恒律[J].物理學(xué)報(bào)，2005，54（04）：1464～1467.

[4]梅風(fēng)翔，劉瑞，羅勇.高等分析力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，1999.

[5]王其申.經(jīng)典力學(xué)[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2005.

SYMMETRIES AND CONSERVED QUANTITIES OF THE LRC CIRCUIT SYSTEM

Qian Hua-feng Wang Qi-shen
（School of Mathematics and Computation Science of Anqing Teacher College，Anqing Anhui 246011）

The important applications are obtained for the Lagrange mechanics in the class-mechanical system.Taken use of the Lagrange equation，we can deal with some the class-mechanical system questions.Used the Lagrange equation under the group infinitesimal transformations，the symmetries and conserved quantities of the LRC circuit system are obtained.

the class-mechanical system； LRC circuit； symmetry； conserved quantities

O302

A

1672－2868（2010）06－0057－05

2010－09-05

錢(qián)華峰（1973-），男，安徽桐城人。安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院研究生。

責(zé)任編輯：宏 彬