由定比分點的定義引發(fā)的探究

● (襄樊市第一中學 湖北襄樊 441000)

為了方便進行空間拓廣，對結(jié)論稍作變動：令λ=λ1∶λ2(λ1+λ2≠0),則

并討論如下問題：O為空間內(nèi)任意一點，M為△ABC所在平面內(nèi)不同于點A,B,C的一點，且

S△MAB∶S△MBC∶S△MAC=λ1∶λ2∶λ3,

分以下3種情形討論：

情形1點M在△ABC的內(nèi)部.

圖1

如圖1所示，延長AM交BC于點D，過點B作BE⊥AD,垂足為點E，過點C作CF⊥AD,垂足為點F.由S△MAB∶S△MAC=λ1∶λ3及△MAB與△MAC有公共邊MA，得

BE∶CF=λ1∶λ3，

于是

BD∶CD=λ1∶λ3,

又

于是

所以

整理可得

圖2

情型2點M在△ABC三邊所在的直線上，且不與點A,B,C重合.

同理可得如下結(jié)論:

(1)若點M在線段BC的延長線上，則

(2)若M在線段CB的延長線上，則

(3)若點M在線段AB上，則

(4)若點M在線段AB的延長線上，則

(5)若點M在線段BA的延長線上，則

(6)若點M在線段AC上，則

(7)若點M在線段AC的延長線上，則

(8)若點M在線段CA的延長線上，則

情形3點M在△ABC外，且不在△ABC三邊所在的直線上.

圖3

為了方便討論，將△ABC外的區(qū)域分成如圖3所示的6個部分.由于探求過程與情形1完全類似，這里只列出最終結(jié)論.

(1)若點M在區(qū)域Ⅰ內(nèi)，則

(2)若點M在區(qū)域Ⅱ內(nèi)，則

(3)若點M在區(qū)域Ⅲ內(nèi)，則

(4)若點M在區(qū)域Ⅳ內(nèi)，則

(5)若點M在區(qū)域Ⅴ內(nèi)，則

(6)若點M在區(qū)域Ⅵ內(nèi)，則

受文獻[1]的啟發(fā)，筆者對上述結(jié)論進行了分析、比較，最終發(fā)現(xiàn)可以將以上16個式子統(tǒng)一起來，下面以定理的形式給出.

定義

于是得到如下定理:

定理2O為空間內(nèi)任意一點，點M是△ABC所在平面內(nèi)不同于A,B,C的一點，且

T△MAB∶T△MBC∶T△MAC=λ1∶λ2∶λ3，

則

[1] 陳云烽.一個與三角形相關(guān)的向量等式的討論[J].中學數(shù)學教學參考，2006(10):26-28;2006(11):26-29.