非奇異H-矩陣的實(shí)用判定

蘭 溪， 孫玉祥

（1.吉林油田第十一中學(xué)，吉林松原 138000； 2.北華大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系代數(shù)教研室，吉林 132013）

非奇異H-矩陣的實(shí)用判定

蘭 溪1， 孫玉祥2

（1.吉林油田第十一中學(xué)，吉林松原 138000； 2.北華大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系代數(shù)教研室，吉林 132013）

H-矩陣在許多領(lǐng)域中都起著非常重要的作用，例如數(shù)學(xué)分析、矩陣?yán)碚摗?shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制論等.但是在實(shí)際運(yùn)用中判定H-矩陣卻十分困難.本文類似于文［4］，均以α-對(duì)角占優(yōu)理論為基礎(chǔ)，給出H-矩陣的若干實(shí)用判定，改進(jìn)了文［3］的相應(yīng)結(jié)果.

非奇異H-矩陣；廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣；廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣

1 引言及記號(hào)

眾所周知，廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣就是非奇異H-矩陣.因非奇異H-矩陣主對(duì)角元素非零，所以本文假定所涉及矩陣主對(duì)角元非零，設(shè)A＝（aij）∈n×n為n階復(fù)方陣，N＝｛1，2，…，n｝.設(shè)A的比較矩陣M（A）＝（mij）∈R Rn×n為n階實(shí)方陣，其中

則稱為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為A∈D.若存在一組正數(shù)di（i＝1，2，…，n），使得

則稱A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為A∈H.

定義2 設(shè)A＝（aij）∈n×n，若存在α∈（0，1），使?i∈N N，有

則稱A為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，記A∈D（α）.若存在一組正數(shù)di（i＝1，2，…，n），使

則稱A為廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為A∈D＊（α）.

引理1［1］設(shè)A＝（aij）∈n×n，則A是廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A是廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理2［2］設(shè)A＝（aij）∈n×n，B＝M（A）＋MT（A）.若B是廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A是廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

2 主要結(jié)論

定理設(shè)A＝（aij）∈C Cn×n.若存在α∈（0，1），使

則B為廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，由引理1知B為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，再由引理2知A∈H.

3 數(shù)值例子

有了上述定理我們就很容易判定高階矩陣是否為非奇異H-矩陣.看下面的例子：

［1］ Sun Yu-Xiang.An improvement on a theorem by Ostrowski and its applications［J］.North-eastern Math，1991，7（4）：497-502.

［2］ Berman A and Plemmons R J.Nonnegative matrices in the mathematical sciences［M］.New York：Academic，1979.

［3］ 徐仲，陸全.判定廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的一組充分條件［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18（3）：11-15.

［4］ 謝清明.判定廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的幾個(gè)充分條件［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23（4）：757-760.

Practical Criterion for Nonsingular H-Matrices

LAN Xi1， SUN Yu-xiang2
（1.No.11 Senior Middle School of Jilin Oil Field，Songyuan，Jilin 138000，China；
2.Department of Mathematics，Normal Science College，Beihua University，Jilin 132013，China）

H-matrices play a very important role in many fields like Numerical Analysis，Matrix theory，Mathematical Economics，Control theory，etc.But it is difficult to judge H-matrices in practice.In this paper，we give some practical criterions for nonsingular H-matrices abase on the theory ofα-diagonally dominant matrices，it is similar to［4］.And improve the results of［3］.

nonsingular H-matrices；generalized strictly diagonally dominant matrix；generalized strictlyα-diagonally dominant matrix

O151.21

A

1672-1454（2010）05-0109-03

2008-06-16