聚焦空間坐標(biāo)系的合理建立

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(吉水中學(xué) 江西吉水 331600)

聚焦空間坐標(biāo)系的合理建立

●孫春生

(吉水中學(xué) 江西吉水 331600)

空間坐標(biāo)系建立的合理與否，不僅直接關(guān)系到空間點(diǎn)坐標(biāo)求法的繁簡，而且好的坐標(biāo)系更能凸現(xiàn)圖像的實(shí)質(zhì)，更深入地把握問題的本質(zhì)．本文結(jié)合近幾年高考試題中的各類情形，談?wù)効臻g坐標(biāo)系的合理建立．

空間坐標(biāo)系的建立可分為以下幾類:

(1)圖形中有3條兩兩垂直相交的直線．常以這3條兩兩垂直的直線分別作坐標(biāo)軸，以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系.

(2008年江西省數(shù)學(xué)高考試題)

分析由題意知，側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，因此可考慮將3條側(cè)棱的交點(diǎn)O作原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系．

圖1

圖2

解得z=3,即B1(0,0,3).同理可得,C1(0,3,0)．

評注出現(xiàn)不直觀的3條兩兩垂直的相交直線時,可將坐標(biāo)原點(diǎn)置于3條線的交點(diǎn)處.在建立坐標(biāo)系時,要注意使用右手法則,并根據(jù)條件求出一些不太明顯的空間點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)圖形中沒有兩兩垂直的3條直線，但出現(xiàn)線面垂直的圖形，常以垂線或與垂線平行的某直線作為一條坐標(biāo)軸，再依據(jù)圖形考慮垂面上另2條相互垂直的直線作為坐標(biāo)軸.

(2009年安徽省數(shù)學(xué)高考試題)

分析AE，CF都與平面ABCD垂直，因此可將坐標(biāo)原點(diǎn)置于點(diǎn)A處(或點(diǎn)C處)，以AE為z軸,以AC為y軸建立坐標(biāo)系；考慮到四邊形ABCD是菱形,也可將坐標(biāo)原點(diǎn)置于AC的中點(diǎn)，以AC與BD為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系．

圖3

圖4

評注空間坐標(biāo)系的建立,一般要考慮盡量地將各點(diǎn)的坐標(biāo)置于坐標(biāo)軸上.這樣建成的坐標(biāo)系能較快地把各點(diǎn)坐標(biāo)表示出來,再者能為后續(xù)的問題減少運(yùn)算量.

(3)圖形中沒有兩兩垂直的3條直線，但出現(xiàn)面面垂直的關(guān)系，常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，將空間坐標(biāo)原點(diǎn)置于兩垂面的交線上.

例3如圖5，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn),AC=16，PA=PC=10.試建立合適的空間坐標(biāo)系，并求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)．

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析由于△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,因此由面面垂直的性質(zhì)定理知,OB⊥平面PAC.同理可得,OP⊥平面BAC,于是OB,OC,OP兩兩垂直.

圖5

圖6

解如圖6，連結(jié)OP.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則O(0，0，0),A(0，-8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6).又E,F,G的分別為相應(yīng)線段的中點(diǎn),所以

E(0，-4，3)，F(xiàn)(4，0，3)，G(0，4，0).

評注坐標(biāo)系的建立要有一定的空間幾何知識作背景.有許多問題是先利用空間幾何性質(zhì)分析出一些線線垂直、線面垂直或面面垂直，再來考慮空間坐標(biāo)系的合理建立的．

(4)無三線垂直相交，并且無特殊垂直關(guān)系．需要從宏觀上把握圖形，考慮將圖形放置在我們熟知的幾何圖形尤其是正方體或長方體中來考察.

圖7

(2006年江西省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本例題中的圖形用常規(guī)方法建立坐標(biāo)系，感覺坐標(biāo)原點(diǎn)無從安排．考慮到BD⊥DC，因此想到以點(diǎn)D為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，構(gòu)造正方體(長方體)的模型來求解．

解作AH⊥面BCD于點(diǎn)H,連結(jié)BH,CH,DH,則四邊形BHCD是正方形,且AH=1,以點(diǎn)D為原點(diǎn),以DB為x軸,DC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖7，則D(0,0,0),B(1,0,0)，C(0,1,0),A(1,1,1).

評注對一些特殊圖形的熟練把握，有助于我們在解題時廣開思路，尋求到解題捷徑．

空間坐標(biāo)系建立的好壞關(guān)系到解題運(yùn)算量的大小，甚至是解題的成?。挥胁粩嗟剡M(jìn)行歸納比較、分析總結(jié)，才能在遇到各類圖形的情形下，找到合適方法，突破解題瓶頸．