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(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)
簡述極小值點(diǎn)與三角形內(nèi)心相關(guān)的點(diǎn)函數(shù)
●黎海燕吳康
(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)
幾何極值是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題之一,很多專家、教師都研究過大量的幾何極值問題,總結(jié)了很多求解方法.其實(shí),除了各式各樣的求幾何極值的方法外,其中蘊(yùn)含著的美妙性質(zhì)更是值得我們?nèi)ヌ骄?研究發(fā)現(xiàn)不少點(diǎn)函數(shù)(設(shè)P為非空點(diǎn)集,若按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,即對(duì)于集合P中任意一點(diǎn)A,在實(shí)數(shù)集R中都有唯一確定的數(shù)y與之對(duì)應(yīng),則稱f:P→R為從點(diǎn)集到實(shí)數(shù)集R的一個(gè)函數(shù),簡稱點(diǎn)函數(shù))的極小值點(diǎn)恰為圓外切多邊形的內(nèi)心.
(第22屆IMO試題)
圖1
推廣1如圖1,在四邊形ABCD中,AB=a+b,BC=b+c,CD=c+d,DA=d+a.四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P,點(diǎn)P到AB,BC,CD,DA各邊的距離分別為x,y,m,n,使得函數(shù)
取極小值的點(diǎn)P為四邊形ABCD的內(nèi)心.
證明因?yàn)?/p>
∠A+∠B+∠C+∠D+2∠1+
2∠2+2∠3+2∠4=4π,
所以
∠1+∠2+∠3+∠4=π,
即
∠GOE+∠GFE=π.
同理可證
∠FGO+∠FEO=π,
于是點(diǎn)O,E,F(xiàn),G共圓.設(shè)圓心為I,線段OG的中點(diǎn)為H,連結(jié)AH,IH,則
AH⊥GO,IH⊥GO,
所以點(diǎn)A,H,I共線.因?yàn)锳O=AG,所以AI為∠A的角平分線.同理可證BI,CI,DI分別為∠B,∠C,∠D的角平分線,所以四邊形ABCD的內(nèi)心存在,為點(diǎn)I.設(shè)∠PAB=α,∠PBC=β,∠PCD=γ,∠PDA=δ,由
AB=x·cotα+x·cot(B-β),
BC=y·cotβ+y·cot(C-γ),
CD=m·cotγ+m·cot(D-δ),
DA=n·cotδ+n·cot(A-α),
得
cotα+cos(A-α)+cotβ+cot(B-β)+
cotγ+cot(C-γ)+cotδ+cot(D-δ).
又因?yàn)?/p>
所以
當(dāng)且僅當(dāng)2α=A,2β=B,2γ=C,2δ=D,即點(diǎn)P為四邊形ABCD的內(nèi)心時(shí),f(P)取得最小值.
證明設(shè)二面角∠A-BC-D=θ1,∠A-CD-B=θ2,∠A-BD-C=θ3,∠C-AB-D=θ4,∠B-AC-D=θ5,∠B-AD-C=θ6,∠P-BC-D=α1,∠P-BD-C=α2,∠P-CD-B=α3,∠P-AC-D=β1,∠P-AD-C=β2,∠P-AB-C=γ.由
2S1=BC·h1·cotα1+BD·h1·cotα2+
CD·h1·cotα3,
2S2=CD·h2·cot(θ2-α3)+AC·h2·cotβ1+
AD·h2·cotβ2,
2S3=BD·h3·cot(θ2-α2)+AD·h3·cot(θ6-β2)+
AB·h3·cotγ,
2S4=BC·h4·cot(θ1-α1)+AB·h4·cot(θ4-γ)+
AC·h4·cot(θ5-β1).
類似推廣1,可得
當(dāng)且僅當(dāng)2α1=θ1,2α2=θ3,2α3=θ2,2β1=θ5,2β2=θ6,2γ=θ4,即點(diǎn)P為四面體A-BCD的內(nèi)心時(shí),f(P)取得極小值.
除了在與幾何極值相關(guān)的問題中可挖掘大量極小值點(diǎn)恰為圓外切多邊形內(nèi)心的點(diǎn)函數(shù),在與圖形內(nèi)心相關(guān)的恒等式中,常常也可以構(gòu)造出相應(yīng)的以圖形內(nèi)心為極小值點(diǎn)的點(diǎn)函數(shù),因此按照此研究思路可以發(fā)現(xiàn)更多類似的點(diǎn)函數(shù),例如以下定理和推論.
定理1△ABC內(nèi)任一點(diǎn)到3個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為x,y,z,使得函數(shù)f(P)=ax2+by2+cz2取得極小值的點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心.
證明由于在△ABC中,平面內(nèi)任意一點(diǎn)P到內(nèi)心I的距離[1]為
f(P)=(a+b+c)F2(P)+abc.
當(dāng)F(P)取得極小值時(shí),f(P)取得極小值.由于F(P)的極小值為F(I)=0,因此使f(P)取得極小值的點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心.
圖2
證明如圖2,設(shè)△ABC的內(nèi)心為I,與頂點(diǎn)A,B,C相對(duì)的旁心分別為Ia,Ib,Ic,AI,BI,CI分別與△ABC外接圓相交于點(diǎn)A1,B1,C1,則
因?yàn)閍=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
由B1Ib=B1I,C1Ic=C1I,A1Ia=A1I[2],得
IbIc=2B1C1,IaIc=2A1C1,IaIb=2A1B1,
由推論2得
取得極小值的點(diǎn)P為△ABC旁心三角形的內(nèi)心.
[1] 劉黎明.三角形內(nèi)心的性質(zhì)和心距公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué),1996(2):45-47.
[2] 胡耀宗.涉及三角形旁心的幾何命題[J].益陽師專學(xué)報(bào),1994,10(5):37-39.