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(歙縣中學 安徽歙縣 245200)

利用固定變量法解一類競賽試題

●鄭觀寶

(歙縣中學 安徽歙縣 245200)

1 引例與巧思妙解

下面來看2道試題：

這是一道很難的經(jīng)典題.先請看參考答案提供的巧思妙解：

解

2 固定變量法

很顯然，上述解法構(gòu)造新穎、解法獨特，不是一般學生所能想到的．那么有沒有學生易想且可算的方法呢？下面就介紹一種新的方法——固定變量法，其步驟如下：

第1步，本題有3個變量x,y,z，將變量y,z看作常數(shù)，求出S的最大值或取最大值的條件.

第2步，將變量x,z看作常數(shù)，求出S的最大值或取最大值的條件；如此等等，進行逐步調(diào)整.

第3步,最終求出原函數(shù)的最大值或取最大值的條件．

解(1)將變量y,z看作常數(shù)，則T僅是x的函數(shù)，于是

由于x,y,z∈R+，因此當且僅當

時，T取到最小值．

(2)同理，將變量x,z看作常數(shù)，則T僅是y的函數(shù)，于是

所以當且僅當

時,T取到最小值；再將變量x,y看作常數(shù)，則T僅是z的函數(shù)，于是

所以當且僅當

時,T取到最小值；

這就是固定變量法.最終結(jié)果與巧思妙解法完全一致，但是這種方法是為大多數(shù)學生接受、掌握并且可計算到底的．

在數(shù)學競賽試題或高考壓軸題中，經(jīng)常遇到和例1一樣的求多元函數(shù)最值等問題.一般地，對于多元函數(shù)的最值問題，不少時候都可以利用固定變量法來解決．

3 簡單應(yīng)用

(2008年江西省數(shù)學高考試題)

下面就用固定變量法證明這道高考試題．

(1)證明:S<2．

不妨設(shè)x≥y≥z>0，則z≤2.由于xyz=8，因此這里只有2個變量．

思路1第2步：

圖1

g(4)=16-4(A2-3A)+A=-4A2+13A+16≤-4×42+13×4+16<0，

所以4∈(α,β)．故函數(shù)S(x)的草圖如圖1所示．由草圖可知S(x)的最大值為

說明上述解法從頭到尾幾乎都是求導(dǎo)或求最值，這正好是學生熟練掌握的知識與方法，雖然計算比較復(fù)雜，但是應(yīng)該是學生能想、能算的方法．

同理，由對稱性可知，當y=y0時，S(y)取得最大值；當z=z0時，S(z)取得最大值；并且y0,z0都是方程x2-(A2-3A)x+A=0的大根．

綜上所述，當且僅當x=y=z=2時，S取得最大值，故

于是

(2)證明:S>1．

4 課后練習