無窮概念的重新統(tǒng)一

何華燦，何智濤

(1.西北工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，陜西 西安710072;2.北京航空航天大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，北京100191)

在探索實(shí)無窮概念的過程中，康托爾(G.Cantor)根據(jù)他的實(shí)數(shù)不可數(shù)定理(ω1＞ω0)提出了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)(the continuum hypothesis，CH):在 ω0和 ω1之間沒有其他的超限基數(shù)存在.CH是現(xiàn)行的層次實(shí)無窮觀的理論基石，這種無窮觀認(rèn)為實(shí)無窮是一個由無窮多個大小不同的超限基數(shù)組成的系列ω0，ω1，ω2，… (ωi+1=2ωi)［1］.由于 CH 涉及到數(shù)學(xué)、邏輯和哲學(xué)中的許多基本問題，1900年希爾伯特(D.Hilbert)把它作為20世紀(jì)需要重點(diǎn)解決的23個數(shù)學(xué)問題之首提了出來.1938年哥德爾(K.G?del)證明了ZF公理集合論與CH相容.1963年柯亨(P.J.Choen)用他創(chuàng)立的力迫法證明ZF系統(tǒng)與CH相容.所以用數(shù)學(xué)公理方法不能解決CH問題，CH的真?zhèn)沃两駴]有結(jié)論［2］.但是，這些證明都是在承認(rèn)ω1＞ω0的基礎(chǔ)上去證明CH是否正確，沒有人懷疑ω1＞ω0的正確性.現(xiàn)在，在ω1＞ω0的基礎(chǔ)上已經(jīng)形成了許多自圓其說的“理論”，它們妨礙了后人對實(shí)無窮問題的繼續(xù)探索.我們將直接證明ω1＞ω0本身是不正確的，CH當(dāng)然就不成立.

筆者認(rèn)為，所謂建立統(tǒng)一的實(shí)無窮概念就是要定義一個特殊的數(shù)∞，它在運(yùn)算中必須滿足2個條件:1)∞比任何有限數(shù)都大;2)不存在比∞更大的數(shù).康托爾規(guī)定正整數(shù)集的勢為ω0，滿足了對實(shí)無窮的條件1)，他用一一對應(yīng)方法來確定2個無窮集之間的等勢關(guān)系，已成功地證明對任意正整數(shù)n∈N+，n+ω0=n×ω0=(ω0)n=ω0成立［1］.只是由于沒有找到證明2ω0=ω0的合適方法，才最后放棄了對統(tǒng)一實(shí)無窮概念的追求，轉(zhuǎn)而提出了相對實(shí)無窮概念.我們根據(jù)無窮編碼的不變性(infinite coding invariance，ICI原理)進(jìn)一步證明2ω0=ω0，說明ω0能夠滿足實(shí)無窮的條件2)，所以ω0就是統(tǒng)一的實(shí)無窮∞.又由于∞比任何有限數(shù)都大，其中已經(jīng)包含了潛無窮的思想，所以∞也是統(tǒng)一的無窮概念.

1 研究背景

1.1 數(shù)的發(fā)展簡史

人類認(rèn)識數(shù)至少已有30萬年的歷史，到19世紀(jì)實(shí)數(shù)概念已基本形成，其間經(jīng)歷了自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、數(shù)字“0”、負(fù)數(shù)和無理數(shù)等5個主要認(rèn)識階段，近100多年來對數(shù)的深入認(rèn)識主要表現(xiàn)在2個方面:一是繼續(xù)探索實(shí)無窮概念，以最終完成對實(shí)數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識;二是通過對實(shí)數(shù)的組合運(yùn)用，形成更復(fù)雜的數(shù)，如復(fù)數(shù)(加入虛數(shù))、狹義數(shù)(加入超復(fù)數(shù))和廣義數(shù)(加入向量、張量、矩陣等)［3］.

1.2 3種無窮觀

在歷史上關(guān)于無窮曾經(jīng)出現(xiàn)過2種完全不同的觀念:一種是潛無窮觀(potential infinity)，它認(rèn)為無窮是一個永無終止的增長過程，它不是數(shù);另一種是實(shí)無窮觀(actual infinity)，它認(rèn)為無窮是一個有確定含義的特殊數(shù).亞里士多德(Aristotle)是歷史上明確區(qū)分實(shí)無窮和潛無窮的第一人，他的老師柏拉圖(Plato)則是持實(shí)無窮觀的最早代表.伽利略(G.Galilei)最先發(fā)現(xiàn)一個無窮集可與自己的真子集等勢，他用一一對應(yīng)的方法證明了自然數(shù)集{0，1，2，3，4，…}與平方數(shù)集{0，1，4，9，16，…}等勢，從而推翻了歐幾里德(M.Eukleides)整體一定大于部分的看法.在微積分理論的萌芽時期，曾經(jīng)采取過純粹的實(shí)無窮觀，把無窮小量(infinitesimal)看成是一個確定的特殊數(shù).在柯西(A.L.Cauchy)和魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass)建立了嚴(yán)格的極限理論后，無窮小量概念被拋棄，實(shí)無窮觀被絕對地排斥，整個19世紀(jì)幾乎完全被潛無窮觀統(tǒng)治［2］.直到19世紀(jì)末康托爾創(chuàng)立集合論，才使實(shí)無窮觀重新回到數(shù)學(xué)的視野，不過他建立的卻是介乎潛無窮和實(shí)無窮之間的第3種無窮觀，稱為層次實(shí)無窮觀(layered infinity).為了與康托爾的實(shí)無窮觀相區(qū)別，以后在稱他之前的實(shí)無窮觀為統(tǒng)一實(shí)無窮觀.概括起來看這3種無窮觀的主張分別是:

1)潛無窮觀:認(rèn)為無窮是一個永無終止的增長過程，它不是數(shù)，不能參加運(yùn)算.也就是說無窮只是一種說話方式，它表示對任何一個整數(shù)，都能找到一個比它更大的數(shù)，但決不可能窮舉所有的整數(shù).

2)統(tǒng)一實(shí)無窮觀:認(rèn)為無窮是一個惟一存在的特殊數(shù)，它不僅比任何有限數(shù)都大，而且不存在比無窮更大的數(shù).也就是說無窮的任何運(yùn)算結(jié)果都不會大于無窮，無窮是能夠包容一切增長過程的極限.

3)層次實(shí)無窮觀:層次無窮觀是現(xiàn)行的無窮觀，它認(rèn)為實(shí)無窮有不同的層次，最低的實(shí)無窮是可數(shù)無窮ω0，由于有性質(zhì)n∈N+，n+ω0=n×ω0=(ω0)n=ω0的保證，ω0是一個相對穩(wěn)定的特殊數(shù);更高一級的實(shí)無窮是不可數(shù)無窮ω1，2ω0=ω1，其他以此類推.這就像原子的能級結(jié)構(gòu)一樣，電子平常穩(wěn)定在一個較低的能級上旋轉(zhuǎn)，只有吸收到足夠的能量后，才會上升到更高的能級.可見，在層次無窮觀中使用的是相對實(shí)無窮概念，而在實(shí)無窮觀中使用的是統(tǒng)一實(shí)無窮概念.

這3種無窮觀都承認(rèn)無窮是一個永無終止的增長過程，差別僅僅是無窮是否是數(shù)以及有多少個無窮.

本文的論證目標(biāo)是利用ω0的相對穩(wěn)定性(即n∈N+，n+ω0=n×ω0=(ω0)n=ω0)來直接證明2ω0=ω0成立，即證明更高一級的無窮 ω1根本不存在，統(tǒng)一實(shí)無窮觀是惟一正確的無窮觀.為此首先介紹康托爾的層次實(shí)無窮觀，并且分析他的成功和不足.

1.3 可數(shù)集和不可數(shù)集

為了說明相對實(shí)無窮概念，康托爾把正整數(shù)集N+定義為可數(shù)集(denumerable set)的基準(zhǔn)，規(guī)定N+的勢是最小的無窮ω0.然后用一一對應(yīng)方法來確定一個無窮集A是否與N+等勢(equinumerous)，如果等勢則A也可數(shù);否則A不可數(shù)(uncountable)，具有比N+更大的勢.他已經(jīng)成功地證明了整數(shù)、N+×N+、有理數(shù)和代數(shù)數(shù)都可數(shù).還證明了單位區(qū)間實(shí)數(shù)集和實(shí)數(shù)集等勢，這反映在下面的一些重要定理中［1，4-5］.

本文直接使用了樸素集合論中的許多基本概念，如:“具有某種特定性質(zhì)的事物的全體稱之為集合，組成集合的每一個事物稱為該集合的元素”、“不含元素的集合稱為空集?”、“集合中的元素必須具有確定性、互異性和無序性”、集合S中元素的個數(shù)叫S的基數(shù)(cardinal number)或勢(cardinality)，用|S|表示.

定義1 如能在2個集合A、B的元素之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，則稱這2個集合等勢，用|A|=|B|表示.

定義2 如果1個集合能夠和它的真子集等勢，則叫無窮集，否則叫有限集.

定義3 正整數(shù)集N+={1，2，3，4，…}是可數(shù)集，它的勢是最小的實(shí)無窮，用超限基數(shù)ω0表示.

由于有限集不能和自己的真子集等勢，所以有限集之間等勢關(guān)系的確定與元素之間的對應(yīng)方式無關(guān).而無窮集可與自己的真子集等勢，所以必須有如下定義4.

定義4 只要能找到1種方法證明無窮集A與正整數(shù)集N+等勢，則稱A為可數(shù)集;反之，只有所有的方法都不能證明A與N+等勢時，才能稱A為不可數(shù)集，不可數(shù)集的勢大于可數(shù)集的勢.

康托爾根據(jù)上述定義已經(jīng)證明了下述結(jié)論:

定理1 單位區(qū)間實(shí)數(shù)集R1和任意有限區(qū)間實(shí)數(shù)集Rn等勢.

定理2 單位區(qū)間實(shí)數(shù)集R1和無限區(qū)間實(shí)數(shù)集R等勢.

定理3 單位區(qū)間實(shí)數(shù)集R1和正整數(shù)集N+的冪集ρ(N+)等勢.

定理4 自然數(shù)集 N={0，1，2，3，4，…}是可數(shù)集.

定理5 正整數(shù)集N+的直積N+×N+是可數(shù)集.

定理6 整數(shù)集 Z={…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…}是可數(shù)集.

定理7 奇數(shù)集O={…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}是可數(shù)集.

定理8 偶數(shù)集E={…，－8，－6，－4，－2，0，2，4，6，8，…}是可數(shù)集.

定理9 有理數(shù)集Q={x|x=p/q，p，q∈Z，q≠0，p，q間沒有公因子}是可數(shù)集.

定理10 代數(shù)數(shù)集A={x|x是整系數(shù)代數(shù)方程的根}是可數(shù)集.

推論1 可數(shù)集與有限集的并集是可數(shù)集;反之，可數(shù)集可分解為一個有限集和可數(shù)集的并集.

推論2 2個不同可數(shù)集的并集是可數(shù)集;反之，可數(shù)集可分解為2個不同可數(shù)集的并集.

推論3 至多可數(shù)個不同可數(shù)集的并集是可數(shù)集;反之，可數(shù)集可分解為至多可數(shù)個不同可數(shù)集的并集.

推論4 對于任何n∈N+，可數(shù)集的勢ω0具有以下運(yùn)算性質(zhì):n+ω0=n×ω0=(ω0)n=ω0.

1.4 實(shí)數(shù)不可數(shù)定理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)

在自然數(shù)的運(yùn)算中，加法是最小的基本增值運(yùn)算，其次是乘法和乘方，最大的基本增值運(yùn)算是冪乘.康托爾已經(jīng)證明n+ω0=n×ω0=(ω0)n=ω0，只要他能夠進(jìn)一步證明2ω0=ω0，統(tǒng)一實(shí)無窮的概念就成立了.遺憾的是由于康托爾始終沒有找到證明實(shí)數(shù)可數(shù)的一一對應(yīng)方法，而在1874年得出了實(shí)數(shù)不可數(shù)、2ω0=ω1＞ω0的結(jié)論，并根據(jù)這個結(jié)論在1878年提出了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和層次無窮觀.1874年康托爾證明實(shí)數(shù)不可數(shù)定理的過程十分復(fù)雜，對角論法是他3年后提出的另一個比較簡單的證法［6］.該方法用反證法證明單位區(qū)間的實(shí)數(shù)集R1是不可數(shù)集合，下面用二進(jìn)制數(shù)模仿康托爾的對角線法來進(jìn)行實(shí)數(shù)不可數(shù)定理的證明(見圖1).

圖1 康托爾的對角線法Fig.1 Cantor’s diagonal method

偽定理1(實(shí)數(shù)不可數(shù)定理) 單位區(qū)間實(shí)數(shù)集R1是不可數(shù)集，2ω0= ω1＞ ω0.

證明 用反證法證:

1)設(shè)R1是可數(shù)集，它必然與正整數(shù)集N+={1，2，3，4，…，i，… }等勢，可表示成 R1={x1，x2，x3，x4，…，xi，…}，二者在 i和 xi(i=1，2，3，4，…)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系;

2)將每一個單位區(qū)間實(shí)數(shù)都以無窮小數(shù)的全碼形式xi=0.ai1ai2ai3ai4…aii…表達(dá)，即保留二進(jìn)制編碼中全部無效位和有效位，且不允許有近似性的舍入出現(xiàn)(例如嚴(yán)格區(qū)分0.011…1 和0.100…0是2個完全不同的數(shù));

3)規(guī)定實(shí)數(shù)集{x1，x2，x3，x4，…，xi，…}中的順序是隨機(jī)排列的;

4)將每個 xi=0.ai1ai2ai3ai4…aii…中 aii的值改變?yōu)閧0，1}中的另一個值bi;

5)這樣就可得到單位區(qū)間中的一個新實(shí)數(shù)y=0.b1b2b3b4…bi…，由于 y中至少有 bi與 xi中的 aii不相同，所以 y?{x1，x2，x3，x4，…，xi，…};

6)由于 x1，x2，x3，x4，…，xi，…的順序是隨機(jī)排列的，可以任意改變，aii的值也是隨機(jī)出現(xiàn)的，可以任意改變，所以上述幾點(diǎn)已經(jīng)一般性地證明了實(shí)數(shù)集R1是可數(shù)集合的前提假設(shè)不成立.

7)根據(jù)定義4，實(shí)數(shù)集R1是不可數(shù)集合，其勢|R1|＞ω0;

8)由于實(shí)數(shù)xi=0.ai1ai2ai3ai4…aii…中每位都有0、1兩種取值的可能性，實(shí)數(shù)集R1的勢|R1|=2ω0，所以有2ω0=ω1＞ω0成立.

根據(jù)偽定理1(后面將用偽定理2證明它的錯誤)，康托爾認(rèn)為潛無窮觀和統(tǒng)一實(shí)無窮觀都不正確，他提出了著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和超限基數(shù)假設(shè)，形成了他自己的層次實(shí)無窮觀.

假設(shè)1(連續(xù)統(tǒng)假設(shè)CH) 在ω1和ω0之間沒有其他的超限基數(shù)存在.

假設(shè)2(超限基數(shù)假設(shè)) 實(shí)無窮不是一個惟一確定的特殊數(shù)，而是一個可無限增大的超限基數(shù)序列:ω0，ω1，ω2，… (ωi+1=2ωi，i=0，1，2，3，…).

康托爾曾經(jīng)多次聲稱要給出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的證明，但直到臨終他也沒有發(fā)表.與他當(dāng)年在數(shù)學(xué)界遭到普遍反對的情況不同，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，康托爾的層次實(shí)無窮觀和相對實(shí)無窮概念已經(jīng)牢牢地占據(jù)了統(tǒng)治地位.

1.5 康托爾的層次實(shí)無窮觀和相對實(shí)無窮概念

根據(jù)超限基數(shù)假設(shè)，康托爾把無窮分成了許多不同的等級:0級實(shí)無窮是可數(shù)無窮，它廣泛存在，其典型實(shí)例是正整數(shù)集和有理數(shù)集的勢;1級實(shí)無窮是不可數(shù)無窮，其典型實(shí)例是實(shí)數(shù)集和正整數(shù)冪集的勢;2級實(shí)無窮的典型實(shí)例是所有函數(shù)的集合和R1冪集的勢;2級以上的實(shí)例現(xiàn)在也說不清楚.

定義5 設(shè)f(ωi)、g(ωi)是定義在超限基數(shù)序列 ωi(i=0，1，2，3，…)上的基本增值函數(shù)，如果f(ωi)=ωi，則稱 f(ωi)為 i級保級函數(shù);如果g(ωi)=ωi+1，則稱 g(ωi)為升級函數(shù).

由推論4知，康托爾已經(jīng)證明在可數(shù)集合中有0級保級函數(shù) f1(ω0)=n+ω0=ω0、f2(ω0)=n×ω0=ω0和 f3(ω0)=(ω0)n=ω0;在不可數(shù)集合中有1級保級函數(shù) f1(ω1)=n+ω1=ω0+ω1=ω1，f2(ω1)=n× ω1=ω0ω1=ω1和 f3(ω1)=(ω1)n=ω1;用類似的方法還可證明這3個保級函數(shù)能推廣到任意i級.由偽定理1知，康托爾已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的升級函數(shù)只有g(shù)(ωi)=2ωi=ωi+1.

由此可見，康托爾提出的相對實(shí)無窮不是統(tǒng)一實(shí)無窮，因?yàn)樗皇俏┮淮嬖诘奶厥鈹?shù);但也不是潛無窮，因?yàn)樗翘厥獾臄?shù)，有相對確定的大小，在各種保級函數(shù)的保護(hù)下具有相對的穩(wěn)定性，只有在遇到升級函數(shù)作用時，才會改變它的大小.所以康托爾的無窮觀是層次實(shí)無窮觀，他使用的是相對實(shí)無窮概念.下面給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述.

定義6 如果存在一個超限基數(shù)∞，它對任意正整數(shù)n∈N+滿足:1)n＜∞;2)對任意基本增值函數(shù)f(x)有f(∞)≤∞ ，則稱∞為統(tǒng)一實(shí)無窮.

定義7 如果存在一個無限增大的超限基數(shù)序列:ω0，ω1，ω2，… (ωi+1=2ωi，i=0，1，2，…)，其中的任意ωi都滿足:n∈N+，1)n＜ωi;2)存在保級函數(shù) f(ωi)=ωi(如 n+ωi=n×ωi=ωni=ωi);3)存在升級函數(shù)g(ωi)=2ωi=ωi+1，則稱ωi為相對實(shí)無窮.

概括起來說，康托爾的層次實(shí)無窮觀有以下要點(diǎn):

1)不存在一個統(tǒng)一的實(shí)無窮∞;

2)存在無窮多個大小不同的相對實(shí)無窮ωi(ωi+1=2ωi，i=0，1，2，…);

3)正整數(shù)集的勢是最小實(shí)無窮ω0的典型代表，單位區(qū)間實(shí)數(shù)集R1的勢是ω1的典型代表，R1冪集的勢是ω2的典型代表;

4)在每級無窮i內(nèi)，都有一些保級函數(shù)f(ωi)=ωi使相對實(shí)無窮ωi在i級內(nèi)保持穩(wěn)定不變;

5)只有升級函數(shù) g(ωi)=2ωi=ωi+1才能提升相對實(shí)無窮的層次.

形成康托爾層次實(shí)無窮觀的關(guān)鍵因素是實(shí)數(shù)不可數(shù)定理(偽定理1)，它是升級函數(shù)g(ωi)=2ωi=ωi+1成立的理論依據(jù)，是促使實(shí)無窮不斷升分級的根源.要想建立統(tǒng)一實(shí)無窮理論，必須首先推翻這個定理.

100多年來有不少數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家發(fā)現(xiàn)，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)為數(shù)學(xué)帶來悖論和許多麻煩，因而懷疑康托爾的層次實(shí)無窮觀，但至今沒有找到解決它的有效辦法.在我國，一直有人在以各種不同的方式論證實(shí)數(shù)可數(shù)、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立，但是這些工作一直沒有引起數(shù)學(xué)界的足夠重視［7-8］.

本文將用無窮編碼的不變性原理證明2∞=∞成立，重新統(tǒng)一無窮概念，所以下面直接用∞表示無窮.

2 完全編碼算法和自然數(shù)集

2.1 自然數(shù)集的原始形態(tài)

1)最典型的無窮集是數(shù)集，而數(shù)集又有自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、狹義數(shù)和廣義數(shù)之分［3-4］.從數(shù)的發(fā)展史上看，最早出現(xiàn)的是自然數(shù)，它是純粹的數(shù)字編碼符號串.后來出現(xiàn)的各種數(shù)集都是在這個編碼符號串的基礎(chǔ)上，或者在串外增加小數(shù)點(diǎn)的位置標(biāo)志，或者在串內(nèi)增加某些輔助符號(如表示 +、-的符號位，表示虛部和實(shí)部的 i/r位)，或者給編碼符號串指定位置標(biāo)志(如在數(shù)組、行列式中表示不同分量的特別標(biāo)志符an)，如此等等，就形成了不同類型的數(shù)集.所以從本質(zhì)上看，各種數(shù)集都是變形的數(shù)字編碼符號串，或者說是在自然數(shù)編碼基礎(chǔ)上的變形.

2)本文討論的各種無窮數(shù)集都是完全集，它包含了該數(shù)集中可能有的全部元素(數(shù)值)，其中包括通常見到的有限值數(shù)和理論上存在的無窮值數(shù)兩大部分，且可以從小到大順序地排列.

3)自然數(shù)集同時具有內(nèi)蘊(yùn)性(inner implication property)和排序性(ordering property)2種不同的性質(zhì)，它在無窮性方面也有2種不同的表現(xiàn).內(nèi)蘊(yùn)性是潛藏于自然數(shù)列中的微觀屬性，表現(xiàn)為個別數(shù)與數(shù)之間的各種不同關(guān)系，這些關(guān)系將隨自然數(shù)列的不斷延伸而變化，永遠(yuǎn)不可能被完全認(rèn)識.排序性是自然數(shù)列中的宏觀本性，表現(xiàn)為自然數(shù)列整體所具有的單一序結(jié)構(gòu)，它不隨自然數(shù)列的不斷延伸而變化，可以被完全認(rèn)識.根據(jù)自然數(shù)集的內(nèi)蘊(yùn)性，必然主張潛無窮觀，認(rèn)為無窮是一個永遠(yuǎn)不會完成的開放過程.根據(jù)自然數(shù)集的排序性，可以形成實(shí)無窮觀，認(rèn)為無窮是一個已經(jīng)完成了的封閉過程.可見康托爾定義正整數(shù)集的勢是實(shí)無窮∞，利用的就是自然數(shù)集的排序性，在這里正整數(shù)集{1，2，3，4，…}是一個已經(jīng)完成了(延伸達(dá)于終止)的無限過程［9］.

4)由于{1，2，3，4，…}是一個已經(jīng)完成了的無限過程，它有∞個元素，所以可用外推法在原來考慮的對象{1，2，3，4，…}中添加理想元∞ 而得到{1，2，3，4，…，∞}，這個新的數(shù)學(xué)實(shí)體既可把“∞”圈在其中，又把原來的東西原封不動地保留下來［4］.{1，2，3，4，…，∞}的意思是集合中的元素可以無限制的增加，但是它總是從1開始，到∞結(jié)束.“無窮集合在形式上有下界和上界”并不是荒謬的事情，例如［0，1］區(qū)間的實(shí)數(shù)集就是這樣，它從0開始，到1結(jié)束，中間包含有無窮多個元素.其實(shí)，添加理想元素的方法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用，如在射影空間中為了表示平面中2條平行線能夠在無窮遠(yuǎn)處相交，在直線上增加一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞，得到了“擴(kuò)充直線”的概念.又如在拓?fù)鋵W(xué)中的單點(diǎn)緊化、非歐幾何模型和數(shù)論中的庫默理想數(shù)等.

5)自然數(shù)中的所有數(shù)都可用進(jìn)位制數(shù)來具體表示(本文以二進(jìn)制數(shù)為例進(jìn)行討論).從編碼的角度看，盡管通常見到的有限數(shù)可以用有限位編碼來表示，但理論上存在的無窮數(shù)必然是無窮位編碼.所以，為了得到數(shù)集中的全部數(shù)值，必須用無窮位計數(shù)器來生成這些數(shù)的編碼.對有限數(shù)來說，編碼中包含有效位和無效位，通常的表示方法是省略無效位，保留有效位.而理論上存在的無窮數(shù)必須是無窮位編碼，其中沒有無效位可以省略.為了方便討論，規(guī)定一律使用無窮位全碼表示法，不允許省略無效位.

綜上幾點(diǎn)，可以得出這樣的結(jié)論:1)任何一個完全的數(shù)集都需要用一個無窮位計數(shù)器來進(jìn)行編碼，編出的不同符號串代表數(shù)集中的不同數(shù)值;2)數(shù)集中的數(shù)包括有窮值和無窮值，它們?nèi)加脽o窮位的編碼符號串來表示，即本文中不允許把有窮值中的無效位省略.

不加任何輔助符號的數(shù)字編碼符號串的直接解釋就是自然數(shù)，所以稱自然數(shù)集為原始數(shù)集，自然數(shù)集以外的其他數(shù)集為現(xiàn)實(shí)數(shù)集.本節(jié)用完全編碼算法先研究原始形態(tài)的自然數(shù)集，下節(jié)再用完全譯碼算法研究各種添加了輔助符號的現(xiàn)實(shí)數(shù)集.

由康托爾的層次實(shí)無窮觀知，盡管統(tǒng)一實(shí)無窮不存在，存在的都是相對實(shí)無窮，但以正整數(shù)集N+的勢為代表的0級實(shí)無窮仍然是一個相對穩(wěn)定的特殊基數(shù)∞.∞的包容性已經(jīng)非常強(qiáng)大，按照康托爾發(fā)現(xiàn)的0級保級函數(shù)知，n+∞ =n×∞ =(∞)n=∞，這就是說，∞的容量已經(jīng)大到可以容下(∞)n多個∞在里面，只是在遇見了升級函數(shù)2∞后，才會升到1級實(shí)無窮.本文將進(jìn)一步證明∞不僅是相對穩(wěn)定的特殊基數(shù)，而且是絕對穩(wěn)定的特殊基數(shù).也就是說，先假定∞是0級實(shí)無窮，然后證明1級實(shí)無窮等于0級實(shí)無窮，即∞是統(tǒng)一實(shí)無窮.

2.2 完全編碼算法

根據(jù)圖靈機(jī)原理，完全編碼算法(complete encoding algorithm，CEA)由完全計數(shù)器(complete counter，CC)和原始存儲器(primitive memory，PM)兩部分組成.CC的功能是按照二進(jìn)制進(jìn)行連續(xù)地計數(shù)，生成所有∞位二進(jìn)制原始碼，它從∞位0(用0…00表示)開始，不斷地加1，直到∞位1(用1…11表示)結(jié)束，共生成了2∞個不同的原始碼.無窮位計數(shù)過程在理論上能夠結(jié)束，是因?yàn)榘凑?級無窮的性質(zhì)，理論上講∞位是計數(shù)器的最高位，如果到∞位1…11后還要繼續(xù)加1，將產(chǎn)生進(jìn)位溢出，重新回到∞位0…00狀態(tài).PM的功能是順序存放CC生成的所有原始碼，它共有2∞個存儲單元，按照 0，1，2，…，2∞-1 順序編號.

圖2 是 PM 的存儲狀態(tài)圖，其中 a1，a2，a3，a4，…，a∞表示計數(shù)器的∞位，d0，d1，d2，d3，…表示存儲器的地址編號.圖2(a)是2位計數(shù)的狀態(tài)，它共有22=4 種不同的原始編碼:00、01、10、11;圖2(b)是3位計數(shù)的狀態(tài)，它共有23=8種不同的原始編碼:000、001、010、011、100、101、110、111;圖 2(c)是∞位計數(shù)的狀態(tài)，它共有2∞個不同的原始編碼:0…00，0…01，0…010，0…011，…，1…11.

圖2 PM的存儲狀態(tài)圖Fig.2 Illustration of the storage states of PM

2.3 ICI原理

定理11 原始碼集合P={0…00，0…01，0…010，0…011，…，1…11}的勢是2∞.

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下(參見圖2):

因?yàn)橛嫈?shù)器的每一位都有0、1兩種可能性，所以由完全編碼算法CEA可知，CC(2)可生成22=4個不同的原始碼;CC(3)可生成23=8個不同的原始碼;如果CC(n)可生成2n個不同的原始碼，則CC(n+1)可生成2×2n=2n+1個不同的原始碼;由數(shù)學(xué)歸納法可知，當(dāng)n→∞ 時，CC可生成2∞個不同的原始碼.而PM正好能夠存放CC生成的2∞個不同的原始碼，所以原始碼集合P={0…00，0…01，0…010，0…011，…，1…11}的勢是2∞.

定理12 原始碼集合P={0…00，0…01，0…010，0…011，…，1…11}的數(shù)值解釋是自然數(shù)集N，P是可數(shù)集.

證明 將P中的原始碼看成是二進(jìn)制整數(shù)，由于其中的無效位并不影響數(shù)的值，得到的數(shù)值是{0，1，10，11，100，…，1…11}，所以P的數(shù)值解釋是自然數(shù)集N，按照定理4，P是可數(shù)集.

以后常常稱原始碼集合P={0…00，0…01，0…010，0…011，…，1…11}為自然數(shù)集的原始形式或者自然數(shù)集，稱CC為自然數(shù)生成器，稱PM為自然數(shù)存儲器.

推論5(無窮編碼的不變性ICI原理) 由∞位計數(shù)器生成的代碼數(shù)仍然是∞，即2∞=∞.

在這里利用康托爾的相對實(shí)無窮概念和性質(zhì)，進(jìn)一步證明了升級函數(shù)g(ωi)=2ωi=ωi+1不成立，相對實(shí)無窮ω0就是惟一存在的實(shí)無窮∞.

2.4 ICI原理的物理解釋

ICI原理有3層含義，它們都體現(xiàn)在圖2中，圖2是一個值得反復(fù)領(lǐng)悟的重要對象.

第1層意思是關(guān)于∞是0級相對實(shí)無窮的詮釋.由于0級保級函數(shù)的性質(zhì) n+∞ =n×∞ =(∞)n=∞保持了∞的相對穩(wěn)定性，它最多可以容下(∞)n多個∞而不會升級;所以在圖2(c)中，無論計數(shù)器CC的長度是相對地增加或是縮短，它仍然是∞位.計數(shù)器CC的長度∞不變，它在PM中生成的全部編碼也就不變，仍然是從∞位0…00開始，不斷地加1，直到∞位1…11結(jié)束，這個計數(shù)狀態(tài)圖十分穩(wěn)定.

第2層意思是關(guān)于∞是統(tǒng)一實(shí)無窮的詮釋.從圖2(a)和(b)看，n位計數(shù)器可編出2n個碼，顯然有2n＞n，但是從圖2(c)看，情況就完全不同了.盡管∞位計數(shù)器編出的碼有2∞個，但由于∞位計數(shù)器本身是自然數(shù)生成器，它編出的全部編碼集就是自然數(shù)集，其勢必然是∞，所以2∞=∞ .這就是說，用∞位的計數(shù)器，生成的全部編碼集仍然是∞.所以有一個無窮符號∞就完全夠用了，不需要更多的無窮符號，∞是統(tǒng)一實(shí)無窮.

第3層意思是關(guān)于∞中有潛無窮思想的詮釋.在實(shí)無窮的概念中并沒有排斥潛無窮的思想，而是融進(jìn)了潛無窮的思想.從圖2(c)看，盡管計數(shù)器有∞位(即ω0)，但這個∞只是代表一個永無終止的增長過程的抽象符號.圖2(c)用這個抽象符號規(guī)定了一個新的計數(shù)過程(即ω1)，它從∞位0…00開始，不斷地加1，直到∞位1…11結(jié)束.由于這個計數(shù)過程要等待一個永無終止的增長過程，即全1…11狀態(tài)的到來才能結(jié)束，所以這個計數(shù)過程也是一個永無終止的增長過程，它仍然可以用同一個抽象符號∞來代表.如果再把這個計數(shù)過程 (即ω1)當(dāng)成計數(shù)器的∞位，重新規(guī)定了一個新的計數(shù)過程(即ω2)，情況仍然會同樣地重復(fù)下去，永遠(yuǎn)不會改變(即ω0=ω1=ω2=…=∞ ).從這個意義上講，在實(shí)無窮∞中，包含有潛無窮的思想，即這個特殊數(shù)∞代表的是一個永無終止的增長過程.

概括起來說，通過ICI原理可以得出如表1所示的結(jié)論.

表1 根據(jù)ICI原理所得出的結(jié)論Table 1 The conclusions through the ICI principle

現(xiàn)在已經(jīng)很清楚，能夠重新統(tǒng)一無窮概念的基礎(chǔ)是3種無窮觀都認(rèn)為無窮是一個永無終止的增長過程.過去潛無窮論者之所以反對實(shí)無窮觀，是因?yàn)樗麄儧]有發(fā)現(xiàn)用一個特殊的數(shù)(即理想元∞)來抽象地表示這個過程的方法;后來盡管康托爾發(fā)現(xiàn)了用一個特殊的數(shù)來抽象地表示這個過程的方法，但由于沒有找到證明2∞=∞的有效方法，得出了2∞＞∞的錯誤結(jié)論，所以他又提出層次實(shí)無窮觀來反對統(tǒng)一實(shí)無窮觀;本文在康托爾的基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明了2∞=∞，重新統(tǒng)一了無窮概念，最終確立了統(tǒng)一實(shí)無窮觀.

ICI原理是信息世界的基本屬性之一，這個性質(zhì)對人類正確認(rèn)識和理解與無窮有關(guān)的各種自然規(guī)律有重要意義.ICI原理是理解本文的關(guān)鍵，而數(shù)的無窮位編碼原理又是理解ICI原理的關(guān)鍵，它們是統(tǒng)一無窮概念、進(jìn)一步建立統(tǒng)一實(shí)無窮理論的重要基礎(chǔ).

2.5 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立的更多證明

本來，ICI原理的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)直接推翻了2∞＞∞的錯誤結(jié)論，層次無窮觀已經(jīng)失去了它存在的前提，自然就回到了統(tǒng)一實(shí)無窮觀.但是，由于層次無窮觀已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的每一個細(xì)胞，最近100多年來在它的基礎(chǔ)上已經(jīng)形成了各種各樣自圓其說的概念、理論和學(xué)說，要想讓人們馬上接受這個顛覆性結(jié)果絕非易事.可以想象，不少人的第一反應(yīng)肯定是強(qiáng)烈的反對，他們會不自覺地根據(jù)在2∞＞∞基礎(chǔ)上形成的這些概念、理論和學(xué)說，對2∞=∞提出各種各樣的疑問和非難.有的人甚至?xí)恍家活櫍J(rèn)為它不過是眾多的“民科抄作”之一.為了積極回應(yīng)可能出現(xiàn)的疑問和非難，下面將用更多的方法來證明2∞=∞成立，它們的作用和ICI原理等效.

1)利用單位區(qū)間實(shí)數(shù)集證明2∞=∞.

定理13 單位區(qū)間實(shí)數(shù)集R1與自然數(shù)集等勢，2∞=∞.

證明 單位區(qū)間實(shí)數(shù)集R1用無窮位小數(shù)的全碼{0.0…00，0.0…001，0.0…010，0.0…011，0.0…0100，…，0.1…11}來表示，由于每位都有0、1兩種可能性，其勢是2∞.又因?yàn)橛嫈?shù)器的編碼狀態(tài)與小數(shù)點(diǎn)的有無毫無關(guān)系，顯然在單位區(qū)間實(shí)數(shù)集的全碼與自然數(shù)集的全碼之間存在如下的一一對應(yīng)關(guān)系.

按照定義4知，單位區(qū)間實(shí)數(shù)集R1與自然數(shù)集等勢，|R1|=∞.所以，2∞=∞.

2)利用正整數(shù)的冪集證明2∞=∞.

定理14 正整數(shù)的冪集 ρ(N+)={?，{1}，{2}，{2，1}，{3}，…，{∞，…，4，3，2，1}}與自然數(shù)集等勢，2∞=∞.

證明 由于N+的勢是∞，而N+中每個元素在N+的每個子集中都有出現(xiàn)或不出現(xiàn)2種可能性，所以|ρ(N+)|=2∞.將原始碼集 P中的0、1代碼作下列變換:將全部0 變換成 ?，將 ai(i=1，2，3，4，…，∞ )位中的全部1變換成i，然后把每個∞位編碼串內(nèi)部的符號取并集，就可以發(fā)現(xiàn)在正整數(shù)冪集ρ(N+)和原始碼集P之間有如下的一一對應(yīng)關(guān)系存在.

而原始碼集就是自然數(shù)集，按照定義4知，正整數(shù)冪集與自然數(shù)集等勢，|ρ(N+)|=∞.所以，2∞=∞.

3)利用∞ +1=∞證明2∞=∞.

康托爾已經(jīng)證明可數(shù)無窮具有基本運(yùn)算性質(zhì)∞ +1=∞，直接利用∞ +1=∞和數(shù)學(xué)歸納法，同樣可證明2∞=∞成立.

公理1 子集的勢不大于全集的勢.

例如，|{1，2}|≤ |N|，2∞≥∞，2∞≤∞∞等.

定理15 如果∞是可數(shù)無窮，它滿足∞+1=∞，則必然滿足2∞=∞.

證明 反復(fù)利用基本性質(zhì)∞+1=∞和數(shù)學(xué)歸納法:

第1次:由∞ +1=∞知，(∞ +1)+1=∞ +2=∞，(∞ +2)+1=∞ +3=∞，如果∞ +n=∞成立，則(∞ +n)+1=∞ +(n+1)=∞成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知有∞ +∞ =∞成立，也就是2∞ =∞成立;

第2次:由∞ +∞ =2∞ =∞知，2∞ +∞ =3∞ =∞，3∞ +∞ =4∞ =∞，如果 n∞ +∞ =(n+1)∞=∞ 成立，則(n+1)∞ +∞ =(n+2)∞ =∞成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知有∞∞ =∞成立，也就是∞2=∞成立;

第3次:由∞∞ =∞2=∞知，∞2∞ =∞3=∞，∞3∞ =∞4=∞，如果∞n∞ =∞n+1=∞成立，則∞n+1∞ =∞n+2=∞成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知有∞∞=∞成立.

根據(jù)公理1知2∞≥ ∞，又由∞∞=∞知2∞≤∞∞=∞，所以2∞=∞成立.

4)利用無窮層滿二叉樹證明2∞=∞.

有2種不同的方法生成無窮層滿二叉樹(見圖3):

圖3 2個不同的無窮層滿二叉樹完全同構(gòu)Fig.3 Two different infinite levels full binary trees are complete isomorphism

a)一種是自下向上的無限倍增法(見圖3(a))，它能夠生成全部的自然數(shù)，其具體過程是:

從最左葉結(jié)點(diǎn)S開始，它代表自然數(shù)0;

通過倍增生成第1層父結(jié)點(diǎn)，得到的葉結(jié)點(diǎn)代表［0，1］中的全部自然數(shù)0和1;

通過倍增生成第2層父結(jié)點(diǎn)，得到的葉結(jié)點(diǎn)代表［0，3］中的全部自然數(shù) 0、1、10、11;

通過倍增生成第3層父結(jié)點(diǎn)，得到的葉結(jié)點(diǎn)代表［0，7］中的全部自然數(shù) 0、1、10、11、100、101、110、111;

……

一般地，通過倍增生成第n層父結(jié)點(diǎn)，得到的葉結(jié)點(diǎn)代表［0，2n-1］中的全部自然數(shù) 0，1，10，11，100，101，110，111，…，1…11;

……

最后，通過倍增生成第∞層父結(jié)點(diǎn)，得到的葉結(jié)點(diǎn)代表全部自然數(shù) 0，1，10，11，100，101，110，111，…，1…11000，1…11001，1…11010，1…11011，1…11100，1…11101，1…11110，1…11;

根結(jié)點(diǎn)E表示過程結(jié)束.整個無窮層滿二叉樹有共有∞層，2∞個葉結(jié)點(diǎn).

b)另一種是自上向下的無限二分法(見圖3(b))，它能生成全部的單位區(qū)間實(shí)數(shù)，其具體過程是:

從根結(jié)點(diǎn)S開始，它代表將被分割的實(shí)數(shù)1;

用二分法生成根的第1層子結(jié)點(diǎn)0、1，它們代表小數(shù)點(diǎn)后面1位的全部單位區(qū)間實(shí)數(shù)0.0、0.1;

用二分法生成根的第2層子結(jié)點(diǎn)00、01、10、11，它們代表小數(shù)點(diǎn)后面2位的全部單位區(qū)間實(shí)數(shù)0.00、0.01、0.10、0.11;

用二分法生成根的第3層子結(jié)點(diǎn)000、001、010、011、100、101、110、111，它們代表小數(shù)點(diǎn)后面 3位的全部單位區(qū)間實(shí)數(shù) 0.000、0.001、0.010、0.011、0.100、0.101、0.110、0.111;

……

一般地，用二分法生成根的第 n層子結(jié)點(diǎn)0…00，0…01，0…010，0…011，…，1…11，它們代表小數(shù)點(diǎn)后面 n位的全部單位區(qū)間實(shí)數(shù)0.0…00，0.0…01，0.0…010，0.0…011，…，0.1…11;

……

最后，用無限二分法生成根的第∞層子結(jié)點(diǎn)0…00，0…001，0…010，0…011，…，1…11，它們代表小數(shù)點(diǎn)后面∞位的全部單位區(qū)間實(shí)數(shù)0.0…00，0.0…001，0.0…010，0.0…011，…，0.1…11;

最左葉結(jié)點(diǎn)0代表過程結(jié)束，用E表示.整個無窮層滿二叉樹有∞層，2∞個葉結(jié)點(diǎn)，每個葉結(jié)點(diǎn)正好代表1個單位區(qū)間實(shí)數(shù).

對比圖3(a)和(b)2棵無窮層滿二叉樹，盡管一個代表自然數(shù)集，其勢是∞，另外一個代表單位區(qū)間實(shí)數(shù)，其勢是2∞;但它們都有∞層，2∞個葉結(jié)點(diǎn)，是完全同構(gòu)的，而已經(jīng)定義自然數(shù)集的勢是∞，所以必然有2∞=∞成立.

從康托爾的層次實(shí)無窮觀到無窮概念的重新統(tǒng)一，歷史走過了一個多世紀(jì)，但從公式上看，只差一個符號:是2∞=∞還是2∞＞∞?由于本文證明了2∞=∞成立，升級函數(shù)變成了保級函數(shù)，促使實(shí)無窮不斷升級的根源消除了，層次實(shí)無窮觀失去了理論支撐，自然回歸為統(tǒng)一實(shí)無窮觀.

2.6 康托爾失誤的原因

康托爾證明實(shí)數(shù)不可數(shù)定理的基本思想是:正整數(shù)的勢是∞，實(shí)數(shù)的勢是2∞，它們之間當(dāng)然不可能建立一一對應(yīng)關(guān)系.康托爾在對角線法中把單位區(qū)間的實(shí)數(shù)表示成無窮位編碼xi=0.ai1ai2ai3…aii…ai∞，把正整數(shù)表示為幾何點(diǎn) 1，2，3，…，∞，這沒有錯誤.因?yàn)槿魏我粋€數(shù)值點(diǎn)只有惟一一個數(shù)值編碼，反之亦然.錯誤發(fā)生在他把作為“點(diǎn)”的正整數(shù)和無窮位編碼形式的實(shí)數(shù)中“位”進(jìn)行了一一對應(yīng)的捆綁.這就使得問題的性質(zhì)發(fā)生了根本的改變，不再是數(shù)集和數(shù)集之間的比較，而成了在無窮位計數(shù)器中，位數(shù)和它生成的編碼數(shù)的直接比較.這就像是用計數(shù)器的“位數(shù)”作為長度單位，去丈量計數(shù)器生成的編碼數(shù)目，結(jié)果肯定是2∞/∞不等于1(見圖4(a)).所以通過這樣的捆綁后，用對角線法永遠(yuǎn)只能考察到實(shí)數(shù)中的一個真子集，沒有可能遍及所有2∞個不同的值.由定義4可知，根據(jù)對角線法只能得出在實(shí)數(shù)中存在許多可數(shù)的真子集的結(jié)論，不能得出實(shí)數(shù)不可數(shù)的結(jié)論.

反之，如果承認(rèn)對角線法的證明是正確的，那么同樣可以利用它證明自然數(shù)集不可數(shù).辦法十分簡單:只需在證明中將xi的小數(shù)點(diǎn)去掉，就得到一個全碼表示的自然數(shù)xi=ai1ai2ai3…aii…ai∞.在這里xi的表示與通常的自然數(shù)表示有2點(diǎn)不同:一般的表示是從低位向高位排序?yàn)閍i∞…aii…ai3ai2ai1，且有效位前面的0全部被省略.但這種形式上的差別不會影響證明的有效性.同樣利用aii(i=1，2，3，…)將自然數(shù)的位數(shù)和正整數(shù)的值數(shù)捆綁起來，就可以構(gòu)造出一個新的自然數(shù)b=b1b2b3…bi…b∞來，于是就證明了自然數(shù)集不可數(shù)!這和定理4是矛盾的.詳細(xì)的證明過程如下:

偽定理2(自然數(shù)不可數(shù)定理) 自然數(shù)集N是不可數(shù)集，|N|=ω1.

證明 用反證法:

1)假設(shè)N是可數(shù)集，它必然與正整數(shù)集N+={1，2，3，4，…，i，…}等勢，可表示成 N={x1，x2，x3，x4，…，xi，…}，在 i和 xi(i=1，2，3，4，…)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系;

2)將每一個自然數(shù)都以無窮位的全碼形式xi=ai1ai2ai3ai4…aii…表達(dá)，即保留有窮數(shù)的二進(jìn)制編碼中全部無效位和有效位，不允許省略有效位前面的所有0(例如自然數(shù)“0”是無窮位全0(00…00)，自然數(shù)“1”是無窮位全0后面一個1(00…01));

3)規(guī)定自然數(shù)集{x1，x2，x3，x4，…，xi，…}中的順序是隨機(jī)排列的;

4)將每個自然數(shù)xi=ai1ai2ai3ai4…aii…中aii的值改變?yōu)閧0，1}中的另一個值bi;

5)這樣就可得到一個新的全碼形式的自然數(shù)y=b1b2b3b4…bi…，由于y中至少有bi與 xi中的aii不相同，所以 y?{x1，x2，x3，x4，…，xi，…};

6)由于自然數(shù)集{x1，x2，x3，x4，…，xi，…}的順序是隨機(jī)排列的，可以任意改變，aii的值也是隨機(jī)出現(xiàn)的，可以任意改變，所以上述幾點(diǎn)已經(jīng)一般性地證明了自然數(shù)集N是可數(shù)集合的前提假設(shè)不成立.

7)根據(jù)定義4，自然數(shù)集N是不可數(shù)集合，其勢|N|＞ω0;

8)由于自然數(shù)xi=ai1ai2ai3ai4…aii…中每位都有0、1兩種取值的可能性，自然數(shù)集N的勢|N|=2ω0，所以有2ω0=ω1＞ω0成立.

這顯然是個不可接受的錯誤證明，然而它與偽定理1的證明過程完全一樣，差別只是一個小數(shù)點(diǎn)的有無!可見對角線法是否正確是值得懷疑的.更有甚者，利用對角線法可以導(dǎo)出如下悖論:如果定義正整數(shù)集是可數(shù)集，則可以證明正整數(shù)集是不可數(shù)集.為什么會這樣?從編碼的角度看，其中的道理十分簡單，因?yàn)樽匀粩?shù)集和實(shí)數(shù)的原始編碼完全一樣，都有∞位和2∞個不同的值，即rd=nd，rv=nv(見圖4).而正整數(shù)集和自然數(shù)集兩者只差一個自然數(shù)“0”，也有∞位和2∞個不同的值.可見對角線法和偽定理1都是錯誤的，康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)、超限基數(shù)假設(shè)和層次實(shí)無窮觀都是錯誤的.

圖4 實(shí)數(shù)集和自然數(shù)集都有∞位和2∞個值Fig.4 The number of digits are∞，and the number of values are 2∞，for real number set and the natural number set

上述2次使用對角線法進(jìn)行證明之所以都是錯誤的，其根本原因是:放在位數(shù)d位置上的正整數(shù)1，2，3，4，…保持著幾何點(diǎn)的形式，而放在值數(shù) v位置上的實(shí)數(shù)(或自然數(shù))x1，x2，x3，x4，…被展開成了無窮位編碼符號串 xi=0.ai1ai2ai3…aii…ai∞(或者xi=ai1ai2ai3…aii…ai∞，i=1，2，3，…，∞ )，它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系是不同“質(zhì)”的對應(yīng)關(guān)系，沒有可比性，其結(jié)論當(dāng)然是無效的.考察康托爾的其他證明，之所以都正確無誤，是因?yàn)樗阉械臄?shù)都同時作為幾何點(diǎn)來看待的，是在同“質(zhì)”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的對比，也沒有出現(xiàn)如圖4(b)那樣的整體和局部對應(yīng)的錯誤.

現(xiàn)在回頭來分析，康托爾當(dāng)年選擇實(shí)無窮理論作為他的探索目標(biāo)是正確的;他以集合論為工具來研究無窮概念的基本路線是正確的;他用元素之間的一一對應(yīng)方法來判定集合間的等勢關(guān)系也是正確的;他已經(jīng)成功地證明了3個保級函數(shù)n+∞ =n×∞ =(∞)n=∞的成立，如果再進(jìn)一步證明了2∞=∞也是保級函數(shù)，他建立實(shí)無窮的道路就全部打通了.但是由于“實(shí)數(shù)不可數(shù)定理”的失誤，他得到了一個使實(shí)無窮不斷擴(kuò)大的升級函數(shù)2∞＞∞，才不得不提出層次實(shí)無窮觀和相對實(shí)無窮概念.可見康托爾離建立實(shí)無窮概念的目標(biāo)只差一步之遙，他沒能走完這最后一步是非常遺憾的，為此數(shù)學(xué)在這里徘徊了130多年!

3 完全譯碼算法和現(xiàn)實(shí)數(shù)

根據(jù)完全編碼算法，已經(jīng)從原理上明白了一個重要的自然規(guī)律:無窮位計數(shù)器生成的全部編碼仍然是無窮個，也就是說通過無窮位計數(shù)器的編碼不可能得到更大或者更小的無窮集.利用自然數(shù)集的原始編碼形式可以很容易地發(fā)現(xiàn)，各種現(xiàn)實(shí)數(shù)集都可以由自然數(shù)集變換出來.變換的方法是通過不同的完全譯碼算法來規(guī)定小數(shù)點(diǎn)在符號串上的位置，將0、1符號串中的某些符號變換成輔助符號x或y(如 -或 +、r或 i、＜a0，a1，a2，…，an＞中的 ai標(biāo)志符等).而保級函數(shù)n+∞ =∞可以保證這種變換過程是“變形不變勢”，所以各種現(xiàn)實(shí)數(shù)與自然數(shù)之間都存在一一對應(yīng)的變換關(guān)系.

3.1 完全譯碼算法

n位完全譯碼算法(complete decoding algorithm)CDA(n)由n位完全觀察窗(complete window)CW(n)，n位完全譯碼器(complete decoder)CD(n)和現(xiàn)實(shí)存儲器(realistic memory)RM三部分組成.CW(n)的功能是按照某種二進(jìn)制計數(shù)規(guī)律閱讀PM中所有的n位二進(jìn)制自然數(shù)，窗口中可出現(xiàn)從n位全0…00開始，到n位全1…11結(jié)束的所有n位二進(jìn)制自然數(shù).無窮位完全觀察窗用CW表示，它能閱讀PM中所有的無窮位二進(jìn)制自然數(shù).CD(n)的功能是對CW(n)中的所有n位二進(jìn)制自然數(shù)進(jìn)行某種譯碼，如規(guī)定小數(shù)點(diǎn)在符號串上的位置，對符號串中每位的0、1符號進(jìn)行解釋或變換等.無窮位完全譯碼器用CD表示，它能把無窮位完全觀察窗CW中的所有無窮位二進(jìn)制自然數(shù)翻譯成某種現(xiàn)實(shí)數(shù).RM的功能是存放CD譯碼的結(jié)果，它與PM的存儲單元數(shù)目和地址編號完全相同，但存儲的形式不同，在RM中的現(xiàn)實(shí)值可以用任意符號表示，不一定是二進(jìn)制編碼.

不同的現(xiàn)實(shí)數(shù)由不同的完全觀察窗CW和不同的完全譯碼器CD相互配合生成，相應(yīng)的完全譯碼算法CDA也不相同.要研究自然數(shù)集與其他各種現(xiàn)實(shí)數(shù)集及無窮集的關(guān)系，主要是研究不同的完全譯碼算法CDA.其中特別需要掌握原始存儲器PM和現(xiàn)實(shí)存儲器RM的異同點(diǎn):PM和RM的存儲地址數(shù)目和編號完全相同，但存儲機(jī)制各不相同.PM是格式存儲器，它的每個存儲單元都有無窮位，每位只能寫一個0或1，不能不寫，也不能多寫，所以只能存儲原始形態(tài)的自然數(shù);RM是自由存儲器，它的每個存儲單元都可以存儲由完全譯碼器CD翻譯出來的任何符號.下面詳細(xì)舉幾個實(shí)例進(jìn)行具體說明.

3.2 單位區(qū)間實(shí)數(shù)的完全譯碼算法CDA-11

1型完全觀察窗CW-1從n=2開始按照n+1遞增，1型完全譯碼器CD-1規(guī)定小數(shù)點(diǎn)位置在最高位的前面.算法的功能是將PM中所有的自然數(shù)都變換成單位區(qū)間的實(shí)數(shù)存儲在RM中.下面是詳細(xì)的譯碼過程:

由CW-1(2)能閱讀到所有2位二進(jìn)制數(shù)00、01、10、11，因此 CD-1(2)能把它們翻譯成單位區(qū)間的實(shí)數(shù) 0.00、0.01、0.10、0.11;由 CW-1(3)能閱讀到所有 3 位二進(jìn)制數(shù) 000、001、010、011、100、101、110、111，因此CD-1(3)能把它們翻譯成單位區(qū)間的實(shí)數(shù) 0.000、0.001、0.010、0.011、0.100、0.101、0.110、0.111;如果所有 n 位二進(jìn)制數(shù)0…00，0…001，0…0010，0…0011，…，1…11能被CW-1(n)閱讀到，所有n位單位區(qū)間實(shí)數(shù)0.0…00，0.0…001，0.0…0010，0.0…0011，…，0.1…11(它們的十進(jìn)制表示是0/2n，1/2n，2/2n，3/2n，…，(2n-1)/2n)能被CD-1(n)翻譯出來;則所有 n+1位二進(jìn)制數(shù)00…00，00…001，00…0010，00…0011，…，11…11能被CW-1(n+1)閱讀到，所有n+1位單位區(qū)間的實(shí)數(shù) 0.00…00，0.00…001，0.00…0010，0.00…0011，…，0.11…11(它們的十進(jìn)制表示是0/2n+1，1/2n+1，2/2n+1，3/2n+1，…，(2n+1-1)/2n+1)能被 CD-1(n+1)翻譯出來;由數(shù)學(xué)歸納法可知，由CW-1能閱讀到所有無窮位二進(jìn)制數(shù)0…00，0…01，0…010，0…011，…，1…11，CD-1能把它們翻譯成單位區(qū)間的實(shí)數(shù) 0.0…00，0.0…01，0.0…010，0.0…011，…，0.1…11.可見在自然數(shù)和單位區(qū)間實(shí)數(shù)之間存在一一對應(yīng)的變換關(guān)系.

3.3 整數(shù)的完全譯碼算法CDA-12

1型完全觀察窗CW-1從2開始按照n=n+1遞增，2型完全譯碼器CD-2將最高位的“0”解釋為負(fù)號“-”，它后面的各位數(shù)字取補(bǔ)碼(反碼加1，例如將01…11變換成-0…001);將最高位的“1”解釋為正號“+”，它后面的各位數(shù)字取原碼，算法的功能是將PM中所有的自然數(shù)都變換成整數(shù)存儲在RM中.下面是詳細(xì)的譯碼過程:

由1位完全觀察窗CW-1(2)能閱讀到所有2位二進(jìn)制數(shù) 00、01、10、11，因此 2 位完全譯碼器CD-2(2)能把它們翻譯成整數(shù) -10、-1、0、1;由 3位完全觀察窗CW-1(3)能閱讀到所有3位二進(jìn)制數(shù) 000、001、010、011、100、101、110、111，因此 3 位完全譯碼器 CD-2(3)能把它們翻譯成整數(shù) -100、-11、-10、-1、+0、+1、+10、+11;如果由 n位完全觀察窗CW-1(n)能閱讀到所有n位二進(jìn)制數(shù)00…00，…，01…101，01…10，01…11，10…00，10…001，10…0010，…，11…11，n位完全譯碼器CD-2(n)能把它們翻譯成整數(shù) -10…0，… -11，-10，-1，+0，+1，+10，+1…11(即 -2n-1，…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…，2n-1-1);則由 n+1 位完全觀察窗CW-1(n+1)能閱讀到所有n+1位二進(jìn)制數(shù)000…00，…，011…101，011…10，011…11，100…00，100…001，100…0010，…，111…11，n+1位完全譯碼器CD-2(n+1)能把它們翻譯成整數(shù)-100…0，…，-11，-10，-1，+0，+1，+10，…，+11…11(即 -2n-1，…，-3，-2，-1，0，1，2，…，2n-1-1);由數(shù)學(xué)歸納法可知，無窮位完全觀察窗CW-1能閱讀到PM中所有無窮位二進(jìn)制數(shù)00…00，…，01…101，01…110，01…11，10…00，10…001，10…010，…，11…11，無窮位完全譯碼器CD-2能把它們翻譯成整數(shù) - ∞，…，-3，-2，-1，0，1，2，…，∞并存儲到RM中，可見在自然數(shù)集和整數(shù)集之間存在一一對應(yīng)的變換關(guān)系.

3.4 正整數(shù)冪集的完全譯碼算法CDA-13

1型完全觀察窗CW-1從2開始按照n=n+1遞增，3型完全譯碼器CD-3規(guī)定將所有的“0”變換成空集?，將所有的“1”變換成它所在的數(shù)位號i，然后在變換后的每個符號串內(nèi)部，將所有的符號取并集得到一個子集，用所有子集組成一個集合，就得到了與所有二進(jìn)制自然數(shù)集相應(yīng)的正整數(shù)的冪集，它存儲在RM中.下面是詳細(xì)的譯碼過程(見圖5).

圖5 正整數(shù)冪集的完全譯碼算法CDA-13Fig.5 Complete decoding algorithm of power set of positive integers CDA-13

由2位完全觀察窗CW-1(2)能閱讀到所有2位二進(jìn)制數(shù) 00、01、10、11，2 位完全譯碼器 CD-3(2)能把它們翻譯成2位正整數(shù)的冪集如下:變換的結(jié)果是 ??、?1、2?、21，全部子集是 ?、{1}、{2}、{1，2}，冪集是{?，{1}，{2}，{1，2}};由 3 位完全觀察窗CW-1(3)能閱讀到所有3位二進(jìn)制數(shù)000、001、010、011、100、101、110、111，3 位 完 全 譯 碼 器CD-3(3)能把它們翻譯成3位正整數(shù)的冪集如下:變換的結(jié)果是 ???、??1、?2?、?21、3??、3?1、32?、321，全部子集是 ?、{1}、{2}、{2，1}、{3}、{3，1}、{3，2}、{3，2，1}，冪集是{?，{1}，{2}，{2，1}，{3}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}};如果由 n 位完全觀察窗CW-1(n)能閱讀到所有n位二進(jìn)制數(shù)0…000，0…001，0…010，0…011，…，1…100，1… 101，1…110，1…111，n位完全譯碼器 CD-3(n)能把它們翻譯成 n 位正整數(shù)的冪集{?，{1}，{2}，{2，1}，…，{n，…，4，3}，{n，…，4，3，1}，{n，…，4，3，2}，{n，…，4，3，2，1}};則由 n+1 位完全觀察窗 CW-1(n+1)能閱讀到所有n+1位二進(jìn)制數(shù)0…000，0…001，0…010，0…011，…，1…100，1…101，1… 110，1…111，n+1位完全譯碼器CD-3(n+1)能把它們翻譯成n+1位正整數(shù)的冪集{?，{1}，{2}，{2，1}，…，{n+1，n，…，4，3}，{n+1，n，…，4，3，1}，{n+1，n，…，4，3，2}，{n+1，n，…，4，3，2，1}};由數(shù)學(xué)歸納法可知，無窮位完全觀察窗CW-1能閱讀到所有無窮位二進(jìn)制數(shù)0…00，0…001，0…010，0…011，0…0100，…，1…11，無窮位完全譯碼器CD-3能把它們翻譯成正整數(shù)的冪集{?，{1}，{2}，{2，1}，{3}，…，{∞，…，4，3，2，1}}.可見在自然數(shù)集和正整數(shù)集的冪集之間存在一一對應(yīng)的變換關(guān)系.

4 無窮集的數(shù)學(xué)模型

為了證明沒有比自然數(shù)集更大的無窮集，所有的無窮集都可以從自然數(shù)集變換出來，自然數(shù)集是所有無窮集的數(shù)學(xué)模型，下面用簡明的方式介紹更多類型的完全譯碼算法.

4.1 正整數(shù)的完全譯碼算法CDA-14

1型完全觀察窗CW-1從2開始按照n=n+1遞增，4型完全譯碼器CD-4將PM中所有的自然數(shù)都加1之后存到RM中，可見正整數(shù)與自然數(shù)之間有一一對應(yīng)的變換關(guān)系.

用類似的方法可以建立自然數(shù)(n)與偶數(shù)(m=2n)、奇數(shù) (m=2n+1)、平方數(shù)(m=n2)等有雙射函數(shù)關(guān)系的數(shù)(m=f(n))，它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系如下:

4.2 有限區(qū)間實(shí)數(shù)的完全譯碼算法CDA-25

以［0，4］區(qū)間為例來討論有限區(qū)間實(shí)數(shù)問題，即小數(shù)點(diǎn)前面最多只有2位整數(shù).

2型完全觀察窗CW-2從3開始按照n=n+1遞增，5型完全譯碼器CD-5規(guī)定小數(shù)點(diǎn)的位置永遠(yuǎn)放在最高2位的后面.最后當(dāng)n→∞時，PM中所有的自然數(shù)都可變換成［0，4］區(qū)間的實(shí)數(shù)并存到RM中.可見自然數(shù)與［0，4］區(qū)間的實(shí)數(shù)之間有一一對應(yīng)的變換關(guān)系.

4.3 正實(shí)數(shù)的完全譯碼算法CDA-36

3型完全觀察窗CW-3從2開始按照n=n+2遞增，6型完全譯碼器CD-6規(guī)定小數(shù)點(diǎn)位置在窗口的中間，最后當(dāng)n→∞時，PM中所有的自然數(shù)都可變換成正實(shí)數(shù)并存到RM中.可見自然數(shù)與正實(shí)數(shù)之間有一一對應(yīng)的變換關(guān)系.

4.4 實(shí)數(shù)的完全譯碼算法CDA-47

4型完全觀察窗CW-4從3開始按照n=n+2遞增，7型完全譯碼器CD-7規(guī)定將最高位的“0”解釋為負(fù)號“-”，它后面的各位數(shù)字取補(bǔ)碼;將最高位的“1”解釋為正號“+”，它后面的各位數(shù)字取原碼，小數(shù)點(diǎn)位置在有效數(shù)位的中間，最后當(dāng)n→∞時，PM中所有的自然數(shù)都可變換成實(shí)數(shù)并存到RM中.可見自然數(shù)與實(shí)數(shù)之間有一一對應(yīng)的變換關(guān)系.

4.5 會計數(shù)的完全譯碼算法CDA-58

通常的會計數(shù)只保留小數(shù)點(diǎn)后面的有限位，有正負(fù)數(shù)之分，以保留小數(shù)點(diǎn)后面2位為例討論.

5型完全觀察窗CW-5從3開始按照n=n+1遞增，8型完全譯碼器CD-8規(guī)定小數(shù)點(diǎn)的位置永遠(yuǎn)放在最低2位的前面，將最高位的“0”解釋為負(fù)號“-”，它后面的各位數(shù)字取補(bǔ)碼;將最高位的“1”解釋為正號“+”，它后面的各位數(shù)字取原碼.最后當(dāng)n→∞時，PM中所有的自然數(shù)都可變換成精確到小數(shù)點(diǎn)后面2位的會計數(shù)并存到RM中.可見自然數(shù)與會計數(shù)之間有一一對應(yīng)的變換關(guān)系.

4.6 復(fù)數(shù)的完全譯碼算法CDA-69

6型完全觀察窗CW-6從4開始按照n=n+2遞增，9型完全譯碼器CD-9規(guī)定將最高位的“0”解釋為實(shí)部“r”(通常省略)，最高位的“1”解釋為虛部“i”.規(guī)定將次高位的“0”解釋為負(fù)號“-”，它后面的各位數(shù)字取補(bǔ)碼;將次高位的“1”解釋為正號“+”，它后面的各位數(shù)字取原碼，小數(shù)點(diǎn)位置在有效數(shù)數(shù)字位的中間.最后當(dāng)n→∞時，PM中所有的自然數(shù)都可變換成復(fù)數(shù)并存到RM中，它的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù).可見自然數(shù)與復(fù)數(shù)之間有一一對應(yīng)的關(guān)系.

4.7 其他更復(fù)雜的數(shù)集

如狹義數(shù)中的超復(fù)數(shù)，廣義數(shù)中的向量、張量和矩陣等，它們都是由有限個實(shí)數(shù)組合而成的，可以用類似復(fù)數(shù)的方法來處理.為了表示m個分量，如果2n-1＜m≤2n(n是正整數(shù))，則需要在前面留n個空位.如對8 元向量 ＜ a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7＞ ，應(yīng)在最前面留3位，并規(guī)定000代表 a0，001代表a1，010 代表 a2，011 代表 a3，100 代表 a4，101 代表a5，110代表 a6，111代表 a7.后面其他位的翻譯與實(shí)數(shù)完全一樣.而對 7 元向量 ＜ a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6＞ ，規(guī)定 000 代表 a0，001 代表 a1，010 代表 a2，011 代表 a3，100 代表 a4，101 代表 a5，11X 代表 a6.對6 元向量 ＜ a0，a1，a2，a3，a4，a5＞ ，規(guī)定 000 代表a0，001 代表 a1，010 代表 a2，011 代表 a3，10X 代表a4，11X 代表 a5.其余類推.

4.8 自然數(shù)集是所有無窮集的數(shù)學(xué)模型

圖6表明各種無窮數(shù)集是一套編碼的多種解釋，其中△表示小數(shù)點(diǎn)的位置.由于自然數(shù)集和各種無窮數(shù)集之間可以相互翻譯，而自然數(shù)集十分簡單直觀，所以可以把自然數(shù)集作為各種無窮數(shù)集的數(shù)學(xué)模型來使用.方法是首先用特定的完全譯碼算法把一個無窮數(shù)集和其中的原始問題一同翻譯成自然數(shù)集和其中的同構(gòu)問題，對它進(jìn)行求解，得出自然數(shù)集中的同構(gòu)結(jié)果，然后把同構(gòu)結(jié)果反向翻譯成這個無窮數(shù)集中的原始形式，形成最后結(jié)果.

除了數(shù)集之外，任何事物都可以組成無窮集合，它們一般是無次序的.但非數(shù)的無窮集只有2類:一類是由離散分布的元素組成，如宇宙中所有量子組成的集合;另一類是由連續(xù)分布的元素組成，如宇宙中的場.可以人為地把元素按照某種規(guī)則順序編號，使離散型的無窮集轉(zhuǎn)化成正整數(shù)集，使連續(xù)型的無窮集轉(zhuǎn)化成正實(shí)數(shù)集，而這2種數(shù)集都可轉(zhuǎn)化成自然數(shù)集.可見一般的無窮集都與自然數(shù)集等勢，在屏蔽掉這種附加的次序關(guān)系后，自然數(shù)集也可以作為一般無窮集合的數(shù)學(xué)模型.

圖6 一套編碼多種解釋Fig.6 A set of codes with different interpretations

4.9 進(jìn)一步認(rèn)識實(shí)無窮概念和實(shí)無窮觀

本文從各種不同的角度系統(tǒng)地考察了各種無窮集合的狀況和無窮概念的涵義，現(xiàn)在有條件來建立完整準(zhǔn)確的實(shí)無窮概念和實(shí)無窮觀，它包括以下要點(diǎn):

1)無窮是一個永無終止的增長過程;

2)這個增長過程可用一個特殊的數(shù)“∞”表示，它數(shù)值上等于正整數(shù)集的勢，即∞ =|{1，2，3，4，…}|;

3)可參加各種運(yùn)算，由于對n∈N+，n+∞ =n×∞ =(∞)n=n∞=∞，所以運(yùn)算的結(jié)果都不可能大于∞;

4)由于∞ =|{1，2，3，4，…}|是一個理論上有確定含義的數(shù)，它代表一個已經(jīng)完成了的無限過程，所以正整數(shù)集可寫成{1，2，3，4，5，…，∞};

5)為什么不會出現(xiàn)比∞更大的數(shù)，因?yàn)椤薮淼牟皇且话阋饬x的數(shù)，而是一個代表永無終止的增長過程的抽象符號，就象{1，2，3，4，5，…，∞ }那樣，它從1開始，一個一個不斷地增大，直到∞為止，而∞本身的涵義就是永無終止的增長過程.可見在∞的涵義中，并不關(guān)心具體增長了多少步，只關(guān)心它是不是一個永無終止的增長過程.由于沒有比永無終止的增長過程更長的過程，所以n+∞ =n×∞ =(∞)n=n∞=∞能夠成立，也就是說不可能出現(xiàn)比∞更大的數(shù).這是無窮和有限的本質(zhì)差別.

6)我們所見到的形形色色的無窮數(shù)集都是由原始形態(tài)的自然數(shù)集變換出來的;

7)自然數(shù)集是一切有序無窮集合的數(shù)學(xué)模型，它們都可寫成 D={d1，d2，d3，d4，d5，…，d∞}的形式，如果忽略了有序無窮集合中的序關(guān)系，它就是無窮集合.

根據(jù)這些要點(diǎn)，我們能夠更清楚地知道，康托爾的對角線法為什么是錯誤的，無窮概念為什么能夠重新統(tǒng)一，可從根本上避免圖4那樣的錯誤.

5 有關(guān)的哲學(xué)思考

希爾伯特曾經(jīng)說過:無窮大!任何一個其他問題不曾如此深刻地影響人類的精神:任何一個其他觀點(diǎn)不曾如此有效地激勵人類的智力:然而，沒有任何概念比無窮大更需要澄清.

由于本文得出的一些結(jié)論與現(xiàn)行的許多“數(shù)學(xué)常識”相左，難免會引起各種各樣的爭議和思考，下面從數(shù)學(xué)哲學(xué)角度談幾點(diǎn)作者自己的思考，請讀者批評指正.

5.1 無窮和有界

本文的無窮位二進(jìn)制計數(shù)器有最低位和最高位，它生成的二進(jìn)制數(shù)也是從無窮位0…00開始，逐步增加到無窮位1…11結(jié)束，兩者都有邊界.這種有界的集合還是無窮集合嗎?懷疑論者首先提出的可能就是這個問題.

確實(shí)許多人都有這樣的數(shù)學(xué)常識:“無窮不能有界，有界就不是無窮”.這其實(shí)是受潛無窮思想長期影響形成的錯覺.建立實(shí)無窮概念的目的就是要找到一個比任何數(shù)都大的惟一確定的數(shù)∞，如果∞存在，它當(dāng)然就是數(shù)的上界.從已有的數(shù)學(xué)的實(shí)踐來看，“無窮”和“有界”并不是2個相互排斥不能共存的概念.例如，整數(shù)常表現(xiàn)為一種雙向無限擴(kuò)張的形式{- ∞，…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…，∞}，是無始無終沒有邊界的無窮集合;自然數(shù)常表現(xiàn)為單向無限擴(kuò)張的形式{0，1，2，3，4，…，∞ }，是一個有始無終的半封閉無窮集合;而單位區(qū)間的實(shí)數(shù)可表現(xiàn)為一種完全向內(nèi)無限擴(kuò)張的形式{0.0…00，0.00…01，0.0…010，0.0…011，…，0.1…11}，它從小數(shù)點(diǎn)后面的無窮位0…00開始，逐步增加到小數(shù)點(diǎn)后面的無窮位1…11結(jié)束，是有始有終的完全封閉的無窮集合.如果承認(rèn)∞也同0.0…00和0.1…11一樣是一個數(shù)，那么上述3種形式上的差別就完全消失了，無窮和有界的共存并不存在矛盾.

當(dāng)然，在這里引入的上界∞不是通常的數(shù)，而是一個理想元素，目的是建立一個新的數(shù)學(xué)實(shí)體，它既能把∞圈在其中，又能把原來考慮的對象{1，2，3，4，…}中的所有東西都原封不動地保留下來［4］.{1，2，3，4，…，∞}的意思是集合中的元素可以無限制地增加，但是它總是從1開始，到∞結(jié)束.其實(shí)，添加理想元素的方法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用.

5.2 模擬數(shù)和數(shù)字?jǐn)?shù)

懷疑本文的另一個重要論點(diǎn)是我們討論的都是“數(shù)字?jǐn)?shù)”，它本質(zhì)上是“離散”的，而實(shí)數(shù)是“模擬數(shù)”，它本質(zhì)上是“連續(xù)”的.

在現(xiàn)實(shí)世界中，確實(shí)有數(shù)字計算機(jī)和模擬計算機(jī)之分，而且數(shù)字計算機(jī)是離散的，模擬計算機(jī)是連續(xù)的.但是在理想情況下，當(dāng)像圖靈機(jī)那樣把數(shù)字計算機(jī)的位數(shù)擴(kuò)充到無窮時，數(shù)字計算機(jī)和模擬計算機(jī)在表示精度方面的差別就消失了，“離散”和“連續(xù)”之間的差別也隨之消失了.最著名的實(shí)例有:

1)康托爾在實(shí)數(shù)不可數(shù)定理的證明中，已經(jīng)把單位區(qū)間的實(shí)數(shù)表示成 xi=0.ai1ai2ai3…aii…ai∞，可見他認(rèn)為無窮位小數(shù)能精確地表示每一個實(shí)數(shù).

2)在圖靈機(jī)中，通過引入無限長的磁帶可把計算機(jī)的字長擴(kuò)充到無窮，把存儲器的地址空間擴(kuò)大到無窮.因此圖靈機(jī)能夠處理“離散型”和“連續(xù)型”的所有計算問題，是數(shù)字計算機(jī)和模擬計算機(jī)共同的理想計算模型.

所以我相信就單位區(qū)間的實(shí)數(shù)來說，除了數(shù)字形式的實(shí)數(shù) xi=0.ai1ai2ai3…aii…ai∞之外，不存在模擬形式的實(shí)數(shù)，也就是說，數(shù)字形式的實(shí)數(shù)和模擬形式的實(shí)數(shù)都是 xi=0.ai1ai2ai3…aii…ai∞.

5.3 稀疏的整數(shù)和稠密的實(shí)數(shù)

“整數(shù)十分稀疏，實(shí)數(shù)非常稠密”已作為科學(xué)常識深入人心，要接受它們等勢的結(jié)論十分困難.

這其實(shí)完全是數(shù)的認(rèn)識過程的局限性造成的錯覺.人們認(rèn)識整數(shù)的過程是從1、2、3開始的，這是從原始數(shù)的最低位開始認(rèn)識數(shù)，它一個一個排列地十分規(guī)整，相鄰數(shù)的差值恒定是1，按照這個局部特征想象，無窮大的整數(shù)也應(yīng)該是這樣分布，于是就形成了整數(shù)十分稀疏，有均勻間隙的感覺.人們認(rèn)識實(shí)數(shù)的過程則相反，例如認(rèn)識單位區(qū)間的實(shí)數(shù)是從0.0、0.1開始的，這是從原始數(shù)的最高位開始認(rèn)識實(shí)數(shù).一步步細(xì)分下去的過程是 2 位:0.00、0.01、0.10、0.11;3 位:0.000、0.001、0.010、0.011、0.100、0.101、0.110、0.111;……直到無窮位.

在這個認(rèn)識過程中，“0.1”不僅代表了實(shí)數(shù)0.1本身，而且還代表了高位是0.1的無窮多個實(shí)數(shù).不斷地細(xì)分下去，看到的情況都是這樣.根據(jù)這個局部特征就形成了實(shí)數(shù)非常稠密的感覺.一般情況下實(shí)數(shù)有整數(shù)部分和小數(shù)部分，從整數(shù)部分看，實(shí)數(shù)有∞個不同的整數(shù)值，從小數(shù)部分看，每2個相鄰整數(shù)之間又分布有∞個不同的實(shí)數(shù)值，這更加強(qiáng)化了實(shí)數(shù)無限稠密的感覺.其實(shí)，從無窮位的編碼集合可以看出，整數(shù)集和實(shí)數(shù)集完全等勢，相對于各自的覆蓋范圍來說，它們的“疏密”程度都一樣.

在現(xiàn)實(shí)生活中有這樣的實(shí)例:當(dāng)在樹林中散步時，我們只能見到身邊一棵一棵巨大的樹木，然后以這個局部知識為基礎(chǔ)，通過想象可以知道由無窮多的樹木可以組成更加巨大的無邊無際的大森林;相反，當(dāng)在高空中鳥瞰一片大森林時，我們只能見到密密麻麻沒有間隙的林子，然后以這個局部知識為基礎(chǔ)，通過想象可以知道這片大森林由無窮多的微小的樹木組成.其實(shí)樹木就是樹木，森林就是森林，它們沒有任何變化，變化的只是人們觀察它的視角.

5.4 數(shù)學(xué)和辯證矛盾

眾所周知，在數(shù)學(xué)中絕不允許出現(xiàn)任何邏輯矛盾，否則就會形成悖論，危及數(shù)學(xué)的生存.但在數(shù)學(xué)的建立和發(fā)展過程中，又無法回避各種辯證矛盾，否則數(shù)學(xué)就會停滯不前.實(shí)數(shù)可數(shù)性的證明就是一個典型的例證:一方面∞位二進(jìn)制數(shù)有2∞個不同的數(shù)值，按照有限位編碼的規(guī)律應(yīng)該是2∞＞∞;另一方面建立實(shí)無窮的概念又要求2∞=∞，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展過程中無法回避的一個辯證矛盾.

在這個問題上只有2種可能的選擇:一是按照有限位編碼的規(guī)律選擇2∞＞∞，結(jié)果不僅使建立實(shí)無窮的努力失敗，上述辯證矛盾還由于可在推理過程中任意擴(kuò)散，誘發(fā)出各種邏輯矛盾;二是按照無窮位編碼的規(guī)律(ICI原理)選擇2∞=∞，可將上述辯證矛盾完全封閉在實(shí)無窮的定義之內(nèi)，不讓它在推理過程中任意擴(kuò)散，有效地避免了各種次生的邏輯矛盾.本文為在數(shù)學(xué)中如何包容和處理辯證矛盾提供了一個成功的范例.

5.5 方法簡單不可信

還有一種懷疑本文正確性的普遍看法是:100多年來，不少人用各種各樣的先進(jìn)方法都沒有能夠推翻連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，說明康托爾的層次實(shí)無窮觀是十分穩(wěn)固的.本文用如此簡單原始的方法，沒有長篇的復(fù)雜證明過程或大量的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計數(shù)據(jù)支持，就企圖推翻連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和層次實(shí)無窮理論，建立統(tǒng)一實(shí)無窮理論，這本身就是一件不可信的事情.

筆者認(rèn)為，方法的對錯不在于它的復(fù)雜或者深奧程度，證明的有效性不在于它的長短，關(guān)鍵是看它是否抓住了問題的本質(zhì)，是否切中了問題的要害并把問題真正解決了.就連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和層次實(shí)無窮理論來說，它的核心問題就是回答2∞＞∞還是2∞=∞?康托爾之所以出錯，是因?yàn)樗颜麛?shù)保留在通常的幾何點(diǎn)狀態(tài)下，而把單位區(qū)間實(shí)數(shù)展開成了無窮位的編碼符號串，然后對兩者進(jìn)行了非同質(zhì)的一一對應(yīng)比較.這是出現(xiàn)錯誤的根本原因，不針對這個關(guān)鍵問題，采用任何復(fù)雜的先進(jìn)方法和長篇抽象的證明都沒有作用，反而會掩蓋問題的實(shí)質(zhì)，模糊人們的視線.

本文之所以正確，是因?yàn)榘颜麛?shù)和單位區(qū)間實(shí)數(shù)同時展開成了無窮位的編碼符號串，然后對兩者進(jìn)行同質(zhì)的一一對應(yīng)比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們都是∞位的編碼符號串，都有2∞個，因此兩者當(dāng)然等勢.道理本來十分簡單，從編碼符號串的角度看，無窮位的整數(shù)和無窮位的實(shí)數(shù)除了小數(shù)點(diǎn)之外沒有什么差別，而小數(shù)點(diǎn)存在于計數(shù)器的工作機(jī)制之外，它的有無和位置變化對計數(shù)器生成的編碼結(jié)果沒有任何影響.這不需要任何高深的數(shù)學(xué)原理和方法就能說清楚，之所以用這樣長的篇幅反復(fù)從各個方面進(jìn)行說明論證，只是因?yàn)榻?jīng)過100多年的沉淀，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和層次實(shí)無窮理論已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的每一個細(xì)胞，影響到許多學(xué)科的一些基本概念和方法，昔日備受爭議的假設(shè)早已成為人人皆知的數(shù)學(xué)常識，不對也對;而ICI原理才剛剛被發(fā)現(xiàn)和提出，人們一下子轉(zhuǎn)不過彎來，不得不從各方面產(chǎn)生懷疑和抵制，對也不對.其實(shí)醫(yī)生都有這樣的經(jīng)驗(yàn)，治病救人不在乎藥物的貴賤和手術(shù)的繁簡，關(guān)鍵在于是否對癥施治，是否把病人治好了.

5.6 返樸歸真

理解統(tǒng)一實(shí)無窮理論的關(guān)鍵是ICI原理，理解ICI原理的關(guān)鍵是完全數(shù)集的無窮位編碼原理，它們?yōu)槲覀儙砹艘粋€從各方面看都能協(xié)調(diào)一致的統(tǒng)一的無窮概念.可以用物理世界中的一個實(shí)例作形象地比喻:如果要嚴(yán)格地說宇宙是“無窮大”的，那就不能像在地球上那樣，區(qū)分球的半徑、直徑、赤道、表面積和體積的大小關(guān)系.因?yàn)槿绻菢?，定義“宇宙的半徑是無窮大A”，就會出現(xiàn)“宇宙的體積是更大的無窮大B”;用體積數(shù)B作半徑，又會得出“更更大的無窮大C”;如此反復(fù)迭代下去，會產(chǎn)生無窮多的無窮大，就像現(xiàn)行的層次實(shí)無窮理論那樣.怎么能讓理想的氣球模型不會變成理想的洋蔥模型呢?惟一有效的辦法是同時承認(rèn)宇宙的半徑、直徑、赤道、表面積和體積都是相同的無窮大.然而用什么方法能把這個道理說得通順圓滿，不會產(chǎn)生邏輯矛盾呢?

其實(shí)康托爾提出的原理和方法是完全可行和有效的.他首先定義正整數(shù)集的勢是無窮∞，表示∞是一個可以不斷地增大，沒有任何限制的過程，然后用一一對應(yīng)方法檢驗(yàn)2個無窮集合是否等勢.他缺少的只是一個理想的氣球模型(即本文中的完全編碼算法).這個理想的氣球模型可以從一個0點(diǎn)開始，連續(xù)不斷地充氣，一步一步地擴(kuò)大，沒有任何限制.如果用符號∞來表示這個無限增長的過程，就可以發(fā)現(xiàn)，宇宙的半徑、直徑、赤道、表面積和體積都是這樣一個無限增長的過程，它們都可以用符號∞來表示.當(dāng)然你也許會反問，如果充氣的速度是恒定不變的，那么宇宙的半徑、直徑、赤道、表面積和體積的增長速度和加速度都是完全不同的，如何能夠一樣呢?因?yàn)槲覀冊凇薜亩x中不關(guān)心變化的速度和加速度，只關(guān)心它是否可以無限地增長.例如在圖2(c)中，從計數(shù)器的位上看它從a1到a∞是一位一位增加的，是∞.從計數(shù)器生成的編碼符號串上看，它從∞位0…00開始，不斷地加1，直到∞位1…11結(jié)束，也是∞.至于計數(shù)器增加1位，生成的編碼會增加一倍的增長速度差別，與理想元∞的定義無關(guān)，可以忽略.這點(diǎn)在正確理解實(shí)無窮概念上非常重要.

自然規(guī)律本來是簡單的，所以越接近本質(zhì)的原理和方法越簡單.例如，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的集合論是非常簡單樸素的，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)只是其中的局部瑕疵，可是為了修補(bǔ)這個瑕疵，集合論已經(jīng)越變越復(fù)雜，越變越抽象，變得多數(shù)人無法理解，我們希望它能返樸歸真.又如，作為計算機(jī)科學(xué)理論基礎(chǔ)的圖靈機(jī)更是非常簡單樸素，數(shù)學(xué)家卻稱它為20世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)概念之一.

6 結(jié)論

1)希爾伯特說:“數(shù)學(xué)是關(guān)于無窮的科學(xué)”.這說明無窮在數(shù)學(xué)中占有極其重要的位置，無窮是數(shù)學(xué)的靈魂.“數(shù)值”和“計數(shù)”同源，是一個問題的2個方面，我們關(guān)于無窮的研究是在計數(shù)器基礎(chǔ)上進(jìn)行的.計數(shù)器生成的編碼都是自然數(shù)，由于有限n位二進(jìn)制數(shù)只能有2n個不同的編碼，仍然是有限值的自然數(shù)，所以，無限值的自然數(shù)必然是無窮位的進(jìn)位制數(shù).根據(jù)圖靈機(jī)原理構(gòu)造了一個無窮位二進(jìn)制計數(shù)器，將其全部清0后不斷地加1，就形成了一個計數(shù)過程.由于計數(shù)器的位數(shù)是無限的，所以它能無限制地計數(shù)下去，生成完整的自然數(shù)集，其中包括常見的有限值自然數(shù)和理論上存在的無限值自然數(shù).

2)根據(jù)自然數(shù)集的排序性，這個完整的自然數(shù)集是一個已經(jīng)完成(延伸達(dá)于終止)了的封閉的無窮集合.也就是說，可用外推法在自然數(shù)集中添加一個理想元∞而得到{0，1，2，3，4，…，∞}，它的意思是說自然數(shù)集有無窮多個元素，它從0開始，按照0、1、2、3、4 這樣的規(guī)律不斷地加 1，直到“結(jié)束”.這似乎十分荒唐，但類似的方法在數(shù)學(xué)中早已普遍使用，如單位區(qū)間的實(shí)數(shù)集是無窮集合，它有0、1兩個固定的端點(diǎn)，無窮性僅僅表現(xiàn)在單位區(qū)間內(nèi)部的無限可細(xì)分上.

3)由上述2點(diǎn)可得出一個必然結(jié)論:完整的自然數(shù)集必須由無窮位的計數(shù)器生成.

4)在研究無窮位計數(shù)器的編碼特性時，發(fā)現(xiàn)了無窮編碼的不變性(ICI原理).它表現(xiàn)在2個方面:一方面，如果說計數(shù)器有∞ 位(類似幾何中的∞ 個點(diǎn))，那么，按照計數(shù)器的工作原理，它生成的全部自然數(shù)編碼有2∞個.可是按照定理4，自然數(shù)集的勢必須是∞，這樣就出現(xiàn)了矛盾，只有承認(rèn)2∞=∞，才能消除這個矛盾;另一方面，如果直接把計數(shù)器的∞ 位(即∞ 點(diǎn))的編號1，2，3，4，…，∞ 用無窮位二進(jìn)制編碼一個一個認(rèn)真地寫出來(包括所有的無效位)，也只有寫到2∞個不同的編碼時才能寫完(寫到∞ 點(diǎn)).為了避免∞點(diǎn)和∞編碼之間的上述矛盾，只能規(guī)定2∞=∞.這說明任何數(shù)值的大小都有2種不同的表示形式:一是利用數(shù)軸上的幾何點(diǎn)，通過點(diǎn)的不同位置來表示不同的數(shù)值，二是利用進(jìn)位制編碼，通過不同的編碼來表示不同的數(shù)值.在有限值的情況下，點(diǎn)和編碼之間可建立嚴(yán)格的一一對應(yīng)關(guān)系.但是，同樣一個無窮集合A，如果根據(jù)A的點(diǎn)集形式定義它的勢是∞，那么根據(jù)A的編碼形式就會得出它的勢是2∞.可見，對所有的基本增值運(yùn)算來說，在有限值自然數(shù)范圍內(nèi)，任何大于1的m，n∈N，有n+m ＞m，n×m ＞m，mn＞m，2m＞m.在無窮值的范圍內(nèi)，任何大于1的n∈N，有n+∞ =n×∞ =∞n=2∞=∞.這些性質(zhì)全面地反映了有限和無窮的本質(zhì)差別.

5)2∞＞∞ 是有限值范圍內(nèi)的規(guī)律，康托爾把它引入到無窮的性質(zhì)中是個歷史性的錯誤.為什么會形成這樣影響深遠(yuǎn)的錯誤?從思想認(rèn)識層面上講，是由于數(shù)學(xué)中長期形成的思維和表示習(xí)慣.實(shí)數(shù)通常都會用無窮位編碼的形式x=0.a1a2a3…ai…a∞表示，所以康托爾很容易相信實(shí)數(shù)集有2∞個元素;而自然數(shù)通常都用幾何點(diǎn)的形式{0，1，2，3，4，…，∞}表示，所以很容易相信自然數(shù)集有∞ 個元素.“實(shí)數(shù)稠密，整數(shù)稀疏”的日常經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)化了他的信念.從證明技術(shù)層面上講，是由于對角線法的錯誤使用.康托爾當(dāng)時不僅沒有注意到點(diǎn)和編碼在形式上的上述差異，反而不自覺地利用這個差異來將正整數(shù)集中的點(diǎn)和單個實(shí)數(shù)編碼中的位進(jìn)行一一對應(yīng)的捆綁，牽強(qiáng)附會地證明了2m＞m成立.當(dāng)他把對角線法用在正整數(shù)集(∞個點(diǎn))和實(shí)數(shù)集(2∞個編碼)之間時，形成的錯誤很難被發(fā)現(xiàn)，反而被認(rèn)為是“天才的創(chuàng)新”［10-12］.但把同樣的對角線法用在正整數(shù)集(∞ 個點(diǎn))和自然數(shù)集(2∞個編碼)之間時，其錯誤就大白于天下了.

6)承認(rèn)所有的數(shù)都有點(diǎn)和編碼2種不同的表示形式，并且承認(rèn)∞位二進(jìn)制計數(shù)器可生成2∞個不同的編碼，是理解ICI原理和本文的其他結(jié)論的關(guān)鍵.否則會被許多圍繞2∞＞∞而建立起來的概念、理論和學(xué)說蒙蔽雙眼，從思想上拒絕和排斥統(tǒng)一實(shí)無窮概念［10-12］.

7)繼續(xù)研究的目標(biāo)就是要在ICI原理的基礎(chǔ)上，通過引入數(shù)集的界殼概念、無窮小概念、連續(xù)等各種與無窮有關(guān)的概念后，最終建立數(shù)的理想模型.建立在無窮位計數(shù)器原理基礎(chǔ)上的數(shù)的理想模型是理想計算機(jī)模型的自然延伸和發(fā)展.我們相信，數(shù)的理想模型將在數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮重要作用，就像圖靈機(jī)在計算機(jī)科學(xué)中發(fā)揮的作用那樣.

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