運(yùn)用Drucker-Prager準(zhǔn)則的深埋圓形硐室彈塑性分析

陳國祥，郭兵兵

(河南工程學(xué)院 安全工程系，河南 鄭州 451191)

地下硐室是巖石工程建造最多的地下構(gòu)造物，如公路和鐵路的隧道、地下廠房、礦山豎井等.它們有的具有圓形斷面的特點(diǎn)，而其他形狀的斷面也可作近似圓斷面來處理.對(duì)硐室圍巖進(jìn)行彈塑性區(qū)應(yīng)力、應(yīng)變分析，將直接指導(dǎo)著地下硐室的施工與設(shè)計(jì)工作.關(guān)于圓形硐室圍巖的彈塑性分析一直廣泛引用修正的Fenner 方程，它基于的屈服條件為庫侖-莫爾準(zhǔn)則[1,2].庫侖-莫爾屈服準(zhǔn)則并沒有考慮中間主應(yīng)力對(duì)屈服特性的影響，而研究表明，中間主應(yīng)力對(duì)巖石屈服還是有一定的影響作用的[3-5].但由于傳統(tǒng)因素，工程界一直沿襲至今.Drucker-Prager準(zhǔn)則計(jì)入了中間主應(yīng)力的影響，又考慮靜水壓力的作用，克服了基于庫侖-莫爾準(zhǔn)則的不足.因此，本文將以Drucker-Prager準(zhǔn)則為屈服條件，對(duì)深埋圓形硐室圍巖作彈塑性分析.

1 塑性區(qū)的應(yīng)力狀態(tài)

1.1 基本假設(shè)

圍巖為各向同性、均勻的連續(xù)介質(zhì)，無限長(zhǎng)巷道處于原巖應(yīng)力為p0的均勻應(yīng)力場(chǎng)中，側(cè)壓系數(shù)λ=1，巷道斷面為圓形，屬軸對(duì)稱問題，可作平面應(yīng)變處理.符合深埋條件，埋深大于或等于20倍巷道半徑,其模型見圖1.

圖1 圓形硐室圍巖彈塑性分析模型Fig.1 Elastic and plastic analysis model of circular roadway for surrounding rocks

1.2 塑性區(qū)應(yīng)力

將Drucker-Prager準(zhǔn)則作為巖石進(jìn)入塑性狀態(tài)的判據(jù)，該起塑條件[2，6]為：

(1)

當(dāng)λ=1時(shí)，可認(rèn)為切向應(yīng)力σθ為最大主應(yīng)力，徑向應(yīng)力σr為最小主應(yīng)力，而軸向應(yīng)力σz為中間主應(yīng)力，則I1、J2改寫成：

I1=σii=σθ+σr+σz

(2)

(3)

軸對(duì)稱問題的平衡方程為：

(4)

這兒塑性區(qū)的應(yīng)力符號(hào)(σθp、σrp)在腳標(biāo)上加以區(qū)分.

設(shè)硐室圍巖塑性區(qū)體積應(yīng)變?chǔ)舖為0[1,2]，對(duì)平面應(yīng)變?chǔ)舲=0和塑性區(qū)體積應(yīng)變?chǔ)舖=0的情況，軸向應(yīng)力σzp與σθp、σrp的關(guān)系[7]為：

(5)

將式(5)、(3)、(2)代入式(1)得：

(6)

代入式(4)得：

(7)

解此微分方程并利用邊界條件：r=rα、σrp=pα可得，

(8)

(9)

1.3 塑性區(qū)半徑

通常將彈塑性分界點(diǎn)稱作為塑性區(qū)半徑.根據(jù)條件：r=Rp，σθp=σθe；σrp=σre.利用式(8)、式(9)和當(dāng)λ=1時(shí)，彈性應(yīng)力應(yīng)滿足的條件：σre+σθe=2p0，建立如下公式：

(10)

(11)

由上式看出，塑性區(qū)半徑與巷道半徑、原巖應(yīng)力、圍巖內(nèi)摩擦角φ、粘結(jié)力c以及支護(hù)阻力有關(guān).上式還表明，圍巖具有自承能力，對(duì)于一給定的pa，硐室圍巖會(huì)通過調(diào)整塑性圈半徑來維持自身的平衡.支護(hù)阻力越大，塑性區(qū)半徑越小.對(duì)于不同埋深的硐室，在圍巖性質(zhì)變化不大的情況下，深部巷道要想獲得與淺部巷道相同或相近的穩(wěn)定性，就必須施加更大的支護(hù)阻力.

2 彈性區(qū)的應(yīng)力狀態(tài)

圍巖彈性區(qū)的應(yīng)力可直接引用平面應(yīng)變軸對(duì)稱的結(jié)果：

(12)

(13)

式中，σR0為塑性區(qū)邊界處的徑向應(yīng)力.

由式(8)得塑性區(qū)邊界處的徑向應(yīng)力為：

(14)

根據(jù)式(12)、(13)、(14)，即可確定彈性區(qū)內(nèi)應(yīng)力.

對(duì)于c=5 MPa，φ=30°，Rp/rα=1.5，pα=0.4 MPa，由式(10)、(14)算得p0=28.2 MPa，σR0=10.5 MPa，用MATLAB可繪出硐室開挖后應(yīng)力(無標(biāo)度)重分布曲線如圖2所示.

圖2 硐室開挖后應(yīng)力(無標(biāo)度)重分布曲線Fig.2 Dimensionless stresses redistribution curves

3 與修正的Fenner 方程比較

松動(dòng)圈理論[8，9]認(rèn)為，松動(dòng)圈半徑，即塑性區(qū)半徑是硐室進(jìn)行支護(hù)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)之一.因此，有必要對(duì)修正的Fenner 方程和本文推導(dǎo)得的塑性區(qū)半徑作一比較.修正的Fenner 方程確定的塑性區(qū)半徑為：

(15)

式(11)與式(15)比較，可知其影響因素均為巷道半徑、原巖應(yīng)力、圍巖內(nèi)摩擦角φ和粘結(jié)力c以及支護(hù)阻力.兩種準(zhǔn)則下塑性區(qū)半徑的變化規(guī)律比較如圖3和圖4所示.

圖3 塑性圈半徑隨內(nèi)摩擦角φ(Pa=0.4 MPa；P0=15 MPa； C=5 MPa)和原巖應(yīng)力P0(P0=15 MPa；C=5 MPa；φ=30°)的變化規(guī)律Fig.3 Variation of the plastic loosening zone radius R with internal friction angle φ and in-situ rock stress P0

圖4 塑性圈半徑隨粘結(jié)力C(Pa=0.4 MPa；P0=15 MPa； φ=30°)和支護(hù)阻力Pa(P0=15 MPa；C=5 MPa； φ=30°)的變化規(guī)律Fig.4 Variation of the plastic loosening zone radius R with the bonding strength C and the support capacity

由圖3和圖4可以看出，兩者的變化規(guī)律具有一致性.而且，在同等條件下，基于Drucker-Prager準(zhǔn)則推導(dǎo)出的塑性圈半徑要大于修正的Fenner 方程得到的塑性圈半徑.這表明，中間主應(yīng)力對(duì)巷道塑性圈半徑大小有一定的影響，其影響程度主要與公式(11)和(15)中的四大因素有關(guān).進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，內(nèi)摩擦角在20°～45°內(nèi)，粘結(jié)力較大時(shí)，兩者的塑性圈半徑相差并不大，但粘結(jié)力較小時(shí)兩者相差較大，且相差趨勢(shì)越來越明顯.這說明，如對(duì)軟巖進(jìn)行支護(hù)設(shè)計(jì)時(shí)，采用基于Drucker-Prager準(zhǔn)則推導(dǎo)出的塑性圈半徑作為支護(hù)設(shè)計(jì)依據(jù)時(shí)是偏安全的.

4 結(jié) 論

(1)基于Drucker-Prager準(zhǔn)則推導(dǎo)出的塑性圈半徑隨影響因素的變化規(guī)律與修正的Fenner 方程變化規(guī)律基本一致.而且，由于考慮了中間主應(yīng)力的影響，在同等影響因素下，前者的塑性圈半徑較后者大.圍巖內(nèi)摩擦角在20°～45°以及粘結(jié)力較大時(shí)，兩者的塑性圈半徑相差并不大，但粘結(jié)力較小時(shí)兩者相差較大，且相差趨勢(shì)越來越明顯.

(2)由于考慮了中間主應(yīng)力對(duì)巖石屈服的影響作用，克服了修正的Fenner 方程的不足.因此，該推導(dǎo)結(jié)果可用于現(xiàn)場(chǎng)巷道支護(hù)設(shè)計(jì)依據(jù).

(3)本文推導(dǎo)基于的準(zhǔn)則實(shí)際上也是一種理想彈塑性模型，并未考慮到巷道圍巖的破壞或應(yīng)變軟化特征.如果考慮到巷道圍巖的破壞或應(yīng)變軟化特征，應(yīng)該可以得到更近實(shí)際的圓形巷道周圍彈塑性解，這還需進(jìn)一步研究探討.

參考文獻(xiàn)：

[1] 沈明榮．巖體力學(xué)[M]．上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1999．

[2] 蔡美峰．巖石力學(xué)與工程[M]．北京：科學(xué)出版社，2002．

[3] 高延法．巖石真三軸壓力試驗(yàn)與巖體損傷力學(xué)[M]．北京：地震出版社，1999．

[4] 許東俊,耿乃光．巖石強(qiáng)度隨中間主應(yīng)力變化規(guī)律[J]．固體力學(xué)學(xué)報(bào),1985,(1):72-80．

[5] 茂木清夫．一般三軸壓縮下巖石的流動(dòng)和破壞[J]．巖石力學(xué),1980,(1):1-14．

[6] 賈乃文．塑性力學(xué)[M]．重慶：重慶大學(xué)出版社，1992．

[7] KACHANOV L M ．塑性理論基礎(chǔ)[M]．北京：人民教育出版社，1982.

[8] 陸士良，湯 雷．錨桿錨固力與錨固技術(shù)[M]．北京：煤炭工業(yè)出版社，1998．

[9] 侯朝炯．煤巷錨桿支護(hù)[M]．徐州：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，1999．