陳桂宏

(江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué) 226500)

平衡問題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)共點(diǎn)力求極值的情況，借助三角函數(shù)可以解決此類問題，但是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高，引入摩擦角卻可以避免繁瑣計(jì)算，簡(jiǎn)化極值的求解.本文就通過例子感受引入摩擦角對(duì)問題解決的便利.

一、依托摩擦角，研究水平面上的勻速直線運(yùn)動(dòng)

例1一木塊位于水平面上，木塊與地面之間的滑動(dòng)摩擦因素是μ(0<μ<1).現(xiàn)在在木塊上施加如圖1所示的拉力F使得木塊做勻速直線運(yùn)動(dòng).設(shè)F與水平面的夾角是θ，當(dāng)θ的角度從0逐漸增到90°的過程中，木塊始終保持速度不變，則( ).

A.F先減小后逐漸增大 B.F一直在增大

C.F的功率逐漸減小 D.F的功率始終保持不變

解析基本解法是先分析木塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因木塊速度保持不變，所以始終處于平衡狀態(tài)，因此畫出相關(guān)的受力圖，根據(jù)力的合成與分解進(jìn)行解題.經(jīng)過一系列運(yùn)算，可以判斷出A,C正確.因運(yùn)算量與借助摩擦角的方法相比，較大，因此對(duì)此類問題，也可以嘗試用摩擦角解決.將木塊所受的支持力和摩擦力用FR等效替代，則木塊只受到三個(gè)力的作用，其中FR方向保持不變，與豎直方向的夾角為φ(tanφ=μ)，畫出此時(shí)木塊的受力分析圖，并結(jié)合平行四邊形法則，最終得到如圖2的圖.當(dāng)θ的角度從0逐漸增到90°的過程中，由圖知，F(xiàn)先減小后逐漸增大.又木塊處于平衡狀態(tài)，則水平方向的合力為0，即Fcosθ=FRcosφ，則F的功率p=Fvcosθ=FRvcosφ.因此當(dāng)θ從0增到90°的過程中，F(xiàn)R逐漸減小，所以功率逐漸減小.

反思借助摩擦角避免了一般解法的繁瑣思考與計(jì)算，但需要學(xué)生切實(shí)把握物體的受力情況，和把FR等效替代的哪些力了然于心.

二、憑借摩擦角，理清斜面上的勻速直線運(yùn)動(dòng)

例2質(zhì)量為m的一物體放置在傾斜角為θ的斜面上，已知物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因素是μ，問拉力取值最小時(shí)，物體能夠沿著斜面勻速向上運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)的拉力.

三、借助摩擦角，解決磁場(chǎng)中的勻速直線運(yùn)動(dòng)

A.30° B.45° C.60° D. 90°

解析引入摩擦角，從b端看過去的平面如圖6所示，易知摩擦角φ=tan-1μ=30°，當(dāng)導(dǎo)體受到的安培力FA垂直于軌道對(duì)ab的作用力時(shí)，F(xiàn)A取值最小，又磁場(chǎng)與FA垂直，故磁場(chǎng)與導(dǎo)軌夾角是60°.

反思摩擦角可以簡(jiǎn)化問題，避免力的一一表達(dá)，讓解題思路更加清晰.

借助摩擦角解決某類問題要比常規(guī)方法簡(jiǎn)單快捷，尤其是當(dāng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)公式不太熟練時(shí).引入摩擦角，借助動(dòng)態(tài)的三角形的方法，尋找滿足題目要求的極值，在一定程度上降低了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的要求.