一道中考題的解答小議

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(東洲中學(xué) 浙江富陽 311401)

題目請你在如圖1所示的12×12的網(wǎng)格圖形中任意畫一個(gè)圓，則所畫的圓最多能經(jīng)過169個(gè)格點(diǎn)中的________個(gè)格點(diǎn)．

(2010年浙江省湖州市數(shù)學(xué)中考試題)

圖1

圖2

本題解答有誤，所給答案為12，正確答案應(yīng)為16.究其錯(cuò)誤原因可能是只從圓心為格點(diǎn)的情形加以考慮，沒有從反面說明這個(gè)值確實(shí)是最大的了.

解如圖2,圓恰好經(jīng)過16個(gè)格點(diǎn).

以下說明16是最大值.建立以左下角為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方格的邊長為單位長度，水平向右為x軸，豎直向上為y軸的坐標(biāo).

即

(2x-a)2+(2y-b)2=4R2,

(1)

其中0≤x≤12,0≤y≤12.方程(1)的整數(shù)解個(gè)數(shù)就是這個(gè)圓經(jīng)過12×12網(wǎng)格的格點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)方程(2x-a)2+(2y-b)2=4R2的左邊取整數(shù)解時(shí)，左邊的值為正整數(shù)，因此4R2也為正整數(shù).

圖3

圖4

x′2+y′2=4R2

(2)

恰有16個(gè)整數(shù)解.

綜上所述，在如圖1所示的12×12網(wǎng)格圖形中任意畫一個(gè)圓，則所畫的圓最多能經(jīng)過169個(gè)格點(diǎn)中的16個(gè)格點(diǎn)．